实二次型

贡献者：零穹

预备知识　二次型的规范型

1. 实二次型

　　在二次型的规范型一节里，已经知道，在任意域 $F$ 上的二次型都具有规范型（或对角型）定义 3 。一般来说，规范型是二次型最简单的形式。但是，在域为实数域，即 $F = R$ 时，可以让规范型式 6

\begin{matrix} (1) & q (x) = λ_{1} x_{1}^{2} + \dots + λ_{r} x_{r}^{2} \end{matrix}

的所有系数

λ_{i}

均为

\pm 1

。

定义 1　实二次型

　　若二次型 $q$ 所配备的矢量空间 $V$ 定义在实数域 $R$ 上，则 $q$ 称为实二次型。

　　适当置换基底矢量，可认为前 $s$ 个系数 $λ_{1}, \dots, λ_{s}$ 是正的，而其余的系数是负的。进行替换

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} x_{i}^{'} = \sqrt{λ_{i}} x_{i} & (1 \leq i \leq s), \\ x_{i}^{'} = \sqrt{- λ_{i}} x_{i} & (s + 1 \leq i \leq r), \\ x_{i}^{'} = x_{i} & (r + 1 \leq i \leq n) . \end{aligned} \end{matrix}

即得

\begin{matrix} (3) & q (x) = \sum_{i = 1}^{s} {x_{i}^{'}}^{2} - \sum_{i = s + 1}^{r} {x_{i}^{'}}^{2} . \end{matrix}

而若对于有理数域

Q

，在

\sqrt{λ_{i}}

为无理数时并不能作这样的简化。

定义 2　标准型

　　称可以按公式

\begin{matrix} (4) & q (x) = \sum_{i = 1}^{s} {x_{i}}^{2} - \sum_{i = s + 1}^{r} {x_{i}}^{2} \end{matrix}

计算值的二次型有标准型。

　　由上面的讨论立刻得

定理 1　

　　实矢量空间 $V$ 上的所有二次型 $q$ 均可化为标准型。

2. 惯性定理

定理 2　惯性定理

　　实二次型 $q$ 的标准型式 4 中的整数 $r$ 和 $s$ ， $s \leq r \leq n$ 仅依赖于 $q$ ，即与规范基底的选择无关。

　　 证明： 由于 $r$ 不变，故只需证明 $s$ 不变。

　　设另有一基底 $(e_{1}^{'}, \dots, e_{n}^{'})$ ，在其上 $q$ 具有标准型

\begin{matrix} (5) & q (x) = \sum_{i = 1}^{t} {x_{i}^{'}}^{2} - \sum_{i = t + 1}^{r} {x_{i}^{'}}^{2} \end{matrix}

不是一般性，令

t < s

。对子空间

\begin{matrix} (6) & L = ⟨ e_{1}, \dots, e_{s} ⟩_{R}, L^{'} = ⟨ e_{t + 1}^{'}, \dots, e_{n}^{'} ⟩_{R}, \end{matrix}

因为

\dim (L + L^{'}) \leq s + n - t \leq n =

，那么

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} \dim (L \cap L^{'}) & = \dim L + \dim L^{'} - \dim (L + L^{'}) \\ \geq s + (n - t) - n = s - t > 0 . \end{aligned} \end{matrix}

可见，存在一非零矢量

a \in (L \cap L^{'})

\begin{matrix} (8) & 0 \neq a = \sum_{i = 1}^{s} a_{i} e_{i} = \sum_{i = t + 1}^{n} a_{i}^{'} e_{i}^{'} . \end{matrix}

由式 4

\begin{matrix} (9) & q (a) = \sum_{i = 1}^{s} a_{i}^{2} > 0 . \end{matrix}

由式 5

\begin{matrix} (10) & q (a) = - \sum_{i = t + 1}^{n} a_{i}^{2} \leq 0 . \end{matrix}

式 9 式 10 联立得出矛盾。因此，只能是

s = t

。

　　 证毕！

定义 3　惯性指数

　　称实二次型的秩为惯性指数，数 $s$ 为正惯性指数， $r - s$ 为负惯性指数。

　　 注意：对于复二次型，即 $F = C$ 的情形，正负惯性指数失去任何意义，因为它的规范型完全可以做成所有的 $λ_{i}$ 都为 $1$ （或 $- 1$ ）。

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实二次型

1. 实二次型

定义 1 实二次型

定义 2 标准型

定理 1

2. 惯性定理

定理 2 惯性定理

定义 3 惯性指数

定义 1　实二次型

定义 2　标准型

定理 1　

定理 2　惯性定理

定义 3　惯性指数