贡献者： 零穹
1. 实二次型
在二次型的规范型一节里，已经知道，在任意域 $\mathbb F$ 上的二次型都具有规范型（或对角型）定义 3 。一般来说，规范型是二次型最简单的形式。但是，在域为实数域，即 $\mathbb F=\mathbb R$ 时，可以让规范型式 6
\begin{equation}
q({x})=\lambda_1 x_1^2+\cdots+\lambda_r x_r^2~
\end{equation}
的所有系数 $\lambda_i$ 均为 $\pm 1$。
定义 1 实二次型
若二次型 $q$ 所配备的矢量空间 $V$ 定义在实数域 $\mathbb R$ 上，则 $q$ 称为实二次型。
适当置换基底矢量，可认为前 $s$ 个系数 $\lambda_1,\cdots,\lambda_s$ 是正的，而其余的系数是负的。进行替换
\begin{equation}
\begin{aligned}
&x'_i=\sqrt{\lambda_i}x_i\;&(1\leq i\leq s)~,\\
&x'_i=\sqrt{-\lambda_i}x_i\;&(s+1\leq i\leq r)~,\\
&x'_i=x_i\; &(r+1\leq i\leq n)~.
\end{aligned}
\end{equation}
即得
\begin{equation}
q({x})=\sum_{i=1}^{s}{x'_i}^2-\sum_{i=s+1}^{r} {x'_{i}}^{2}~.
\end{equation}
而若对于有理数域 $\mathbb Q$，在 $\sqrt{\lambda_i}$ 为无理数时并不能作这样的简化。
定义 2 标准型
称可以按公式
\begin{equation}
q( x)=\sum_{i=1}^{s}{x_i}^2-\sum_{i=s+1}^{r} {x_{i}}^{2}~
\end{equation}
计算值的二次型有
标准型。
由上面的讨论立刻得
定理 1
实矢量空间 $V$ 上的所有二次型 $q$ 均可化为标准型。
2. 惯性定理
定理 2 惯性定理
实二次型 $q$ 的标准型式 4 中的整数 $r$ 和 $s$，$s\leq r\leq n$ 仅依赖于 $q$，即与规范基底的选择无关。
证明： 由于 $r$ 不变，故只需证明 $s$ 不变。
设另有一基底 $( e'_1,\cdots, e'_n)$，在其上 $q$ 具有标准型
\begin{equation}
q( x)=\sum_{i=1}^{t}{x'_i}^2-\sum_{i=t+1}^{r} {x'_{i}}^{2}~
\end{equation}
不是一般性，令 $t< s$。
对子空间
\begin{equation}
L=\langle e_1,\cdots, e_s\rangle_\mathbb{R},\quad L'=\langle e'_{t+1},\cdots, e'_n\rangle_\mathbb{R}~,
\end{equation}
因为 $\mathrm{dim}\;(L+L')\leq s+n-t\leq n=$，那么
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathrm{dim}\;(L\cap L')&=\mathrm{dim}\; L+\mathrm{dim}\; L'-\mathrm{dim}\;(L+L')\\
&\geq s+(n-t)-n=s-t> 0~.
\end{aligned}
\end{equation}
可见，存在一非零矢量 $ a\in(L\cap L')$:
\begin{equation}
0\neq a=\sum_{i=1}^s a_i e_i=\sum_{i=t+1}^n a'_i e'_i~.
\end{equation}
由
式 4
\begin{equation}
q( a)=\sum_{i=1}^s a_i^2>0~.
\end{equation}
由
式 5
\begin{equation}
q( a)=-\sum_{i=t+1}^n a_i^2\leq 0~.
\end{equation}
联立得出矛盾。因此，只能是 $s=t$。
证毕！
定义 3 惯性指数
称实二次型的秩为惯性指数，数 $s$ 为正惯性指数，$r-s$ 为负惯性指数。
注意：对于复二次型，即 $\mathbb F=\mathbb C$ 的情形，正负惯性指数失去任何意义，因为它的规范型完全可以做成所有的 $\lambda_i$ 都为 $1$（或 $-1$）。
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