欧几里得矢量空间

                     

贡献者: 零穹; addis; Giacomo

预备知识 正定二次型

定义 1 欧几里得矢量空间

   定义在实数域 $\mathbb R$ 上的矢量空间 $V$,若其带有一个对称的双线性型 $( x, y)\mapsto( x| y)$(定义 3 ),且对应的二次型 $ x\mapsto( x| x)$ 是正定的,则称空间 $V$ 是一个欧几里得矢量空间

   在欧几里得矢量空间,矢量使用正体粗体表示.

   通常,对称的双线性型 $(*|*)$ 在 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 处的值称为它们的内积(或纯量积).我们用符号 $(*|*)$ 代替通常的 $f( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} )$.这里我们不用 $( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} )$ 和 $\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} \rangle$ 代替内积,出于这样的考虑:已经有简单的矢量对 $( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} )$,它是笛卡尔积 $V\times V$ 的元素(式 2 );而 $\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} \rangle $ 又是矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 生成的子空间(定义 1 ). 再一次把内积的性质列出来:

  1. 对称性:$( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{y}} )=( \boldsymbol{\mathbf{y}} | \boldsymbol{\mathbf{x}} )$;
  2. 线性:$(\alpha \boldsymbol{\mathbf{x}} +\beta \boldsymbol{\mathbf{y}} | \boldsymbol{\mathbf{z}} )=\alpha( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{z}} )+\beta( \boldsymbol{\mathbf{y}} | \boldsymbol{\mathbf{z}} )$;
  3. 正定性:$( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{x}} ) > 0,\;\forall \boldsymbol{\mathbf{x}} \neq0(( \boldsymbol{\mathbf{0}} | \boldsymbol{\mathbf{x}} )=0)$.

例 1 

   次数 $\leq n-1$ 的多项式(其域为实数域 $\mathbb R$)对通常的加法和数乘构成一个矢量空间 $V=P_n$.对任意两个矢量(多项式)$f,g\in P_n$,数

\begin{equation} (f|g)=\int_a^b f(x)g(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
给出 $P_n$ 上向量间的内积.此内积是用式 1 在连续函数(区间 $[a,b]$ 上)的无穷维矢量空间 $C(a,b)$ 上给出的.相应的无穷维欧几里得空间则表示为 $C_2(a,b)$.

例 2 

   欧几里得矢量空间 $V$ 的任一子空间 $U$ 本身也是欧几里得矢量空间,因为 $V$ 中内积在 $U$ 中的限制定义了双线性函数 $U\times U\rightarrow\mathbb R$,且保持内积的性质.特别的,域 $\mathbb R$ 本身可看成是个 1 维的实的矢量空间.

定义 2 长度

   在欧几里得矢量空间 $V$ 中,称非负实数

\begin{equation} \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rvert \right\rvert =\sqrt{( \boldsymbol{\mathbf{v}} | \boldsymbol{\mathbf{v}} )} \end{equation}
是任意矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} \in V$ 的长度.长度为 1 的矢量称为标准的

   因为 $( \boldsymbol{\mathbf{v}} | \boldsymbol{\mathbf{v}} )\neq0$,所以任意矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的长度都是完全确定的.

   容易验证下面几个性质:

  1. $ \boldsymbol{\mathbf{v}} \neq0\Rightarrow \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rvert \right\rvert > 0$.
  2. $ \left\lvert \left\lvert \lambda \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rvert \right\rvert = \left\lvert \lambda \right\rvert \cdot \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rvert \right\rvert $

例 3 矢量的标准化

   任意矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 乘以它的长度的倒数 $\frac{1}{ \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rvert \right\rvert }$ 便可将其标准化,即

\begin{equation} \left\lvert \left\lvert \frac{1}{ \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rvert \right\rvert } \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rvert \right\rvert =1 \end{equation}

定理 1 柯西-布尼亚科夫斯基不等式

   欧几里得向量空间中,对任意矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} \in V$,成立不等式

\begin{equation} \left\lvert ( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{y}} ) \right\rvert \leq \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rvert \right\rvert \, \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \right\rvert \end{equation}
且等号仅在 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} =\lambda_0 \boldsymbol{\mathbf{x}} ,\;\lambda_0\in\mathbb R$(即矢量共线)时成立.

   证明:由内积的性质

\begin{equation} \begin{aligned} &(\lambda \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{y}} |\lambda \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{y}} )\\ &\underset{\text{线性}}{=}\lambda^2( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{x}} )-\lambda ( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{y}} )-\lambda ( \boldsymbol{\mathbf{y}} | \boldsymbol{\mathbf{x}} )+( \boldsymbol{\mathbf{y}} | \boldsymbol{\mathbf{y}} )\\ &\underset{\text{对称性}}{=}\lambda^2( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{x}} )-2\lambda ( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{y}} )+( \boldsymbol{\mathbf{y}} | \boldsymbol{\mathbf{y}} )\\ &\underset{\text{正定性}}{\geq}0 \end{aligned} \end{equation}
式 5 最后一不等式可看成关于 $\lambda$ 的二次三项式,其判别式满足
\begin{equation} (2( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{y}} ))^2-4( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{x}} )( \boldsymbol{\mathbf{y}} | \boldsymbol{\mathbf{y}} )\leq0 \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{y}} )^2&\leq( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{x}} )( \boldsymbol{\mathbf{y}} | \boldsymbol{\mathbf{y}} )\\ &\Downarrow\\ \left\lvert ( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{y}} ) \right\rvert &\leq \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rvert \right\rvert \, \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \right\rvert \end{aligned} \end{equation}
当等号成立时,式 6 应取等,即二次三项式仅有一根 $\lambda_0$.对照式 5
\begin{equation} (\lambda_0 \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{y}} |\lambda_0 \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{y}} )=0 \end{equation}
即 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} =\lambda_0 \boldsymbol{\mathbf{x}} $.

   证毕!

推论 1 三角不等式

   矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} + \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 的长度满足不等式

\begin{equation} \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \pm \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \right\rvert \leq \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rvert \right\rvert + \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \right\rvert \end{equation}

   证明:定理 1

\begin{equation} \begin{aligned} \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \pm \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \right\rvert ^2&= \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rvert \right\rvert ^2+ \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \right\rvert ^2\pm2( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{y}} )\leq \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rvert \right\rvert ^2+ \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \right\rvert ^2+2( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{y}} )\\ &\leq \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rvert \right\rvert ^2+ \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \right\rvert ^2+2 \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rvert \right\rvert \cdot \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \right\rvert =( \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rvert \right\rvert + \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \right\rvert )^2 \end{aligned} \end{equation}

例 4 

   在空间 $C_2(a,b)$(例 1 )上,式 4 就变为

\begin{equation} \left\lvert \int_a^b f(x)g(x) \,\mathrm{d}{x} \right\rvert \leq\sqrt{\int_a^b f^2(x) \,\mathrm{d}{x} }\cdot\sqrt{\int_a^b g^2(x) \,\mathrm{d}{x} } \end{equation}

   定理 1 意味着

\begin{equation} -1\leq\frac{( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{y}} )}{ \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rvert \right\rvert \, \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \right\rvert }\leq1 \end{equation}
也就是说,存在一个角 $\varphi$,使得
\begin{equation} \cos\varphi=\frac{( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{y}} )}{ \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rvert \right\rvert \, \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \right\rvert } \end{equation}

定义 3 夹角

   欧几里得矢量空间中,由

\begin{equation} \cos\varphi=\frac{( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{y}} )}{ \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rvert \right\rvert \, \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \right\rvert } \end{equation}
确定的角 $\varphi$ 称之为矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 的夹角

定义 4 正交

   如果矢量的夹角为 $\pi/2$,亦即 $( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{y}} )=0$,则称它们是正交的,记作 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} \perp \boldsymbol{\mathbf{y}} $.

定理 2 毕达哥拉斯定理

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{x}} \perp \boldsymbol{\mathbf{y}} \Rightarrow \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} + \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \right\rvert ^2= \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rvert \right\rvert ^2+ \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \right\rvert ^2 \end{equation}

习题 1 

   试证明对两两正交的矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{v}} _n$,成立

\begin{equation} \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} _1+\cdots+ \boldsymbol{\mathbf{v}} _n \right\rvert \right\rvert ^2= \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 \right\rvert \right\rvert ^2+\cdots+ \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} _n \right\rvert \right\rvert ^2 \end{equation}

例 5 

   与给定矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 正交的所有矢量的集合是一个子空间,该空间称为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的正交补.事实上,若

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{x}} \perp \boldsymbol{\mathbf{v}} ,\quad \boldsymbol{\mathbf{y}} \perp \boldsymbol{\mathbf{v}} \end{equation}
\begin{equation} (\alpha \boldsymbol{\mathbf{x}} +\beta \boldsymbol{\mathbf{y}} | \boldsymbol{\mathbf{v}} )=\alpha( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{v}} )+\beta( \boldsymbol{\mathbf{y}} | \boldsymbol{\mathbf{v}} )=0,\quad \forall\alpha,\beta\in\mathbb R \end{equation}

   若矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 与子空间 $U$ 任意矢量都正交,则说 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 正交于子空间 $U$,记作 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} \perp U$.

定义 5 正交补

   设 $U$ 是 $V$ 的子空间,则集合

\begin{equation} \{ \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{x}} \perp U\wedge \boldsymbol{\mathbf{x}} \in V\} \end{equation}
也是一个子空间,称为 $U$ 的正交补,记作 $U^{\perp}$.

定义 6 正交基底

   称欧几里得空间 $V$ 的基底 $( \boldsymbol{\mathbf{e}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} _n)$ 是正交的,如果

\begin{equation} ( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i| \boldsymbol{\mathbf{e}} _j)=0,\;i\neq j=1,\dots,n. \end{equation}
若此外还有 $( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i| \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)=1,\;i=1,\cdots ,n$,则称此基底为标准正交基底.

   和所有的正定型一样,欧几里得矢量空间必有标准正交基底(因为对称双线性型必有规范基底定理 1 ,而正定的双线性型是非退化的定义 2 ,而每一基都可标准化例 3 ).

习题 2 

   在标准正交基底下,矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 在基矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i$ 上的坐标 $x_i$ 为

\begin{equation} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)=x_i \end{equation}

定义 7 投影

   称内积 $( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{e}} )$ 是矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 在直线 $\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} \rangle_{\mathbb R}$ 上的投影,其中 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} $ 是个长度为 1 的矢量.

   如此,矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 在标准正交基底 $( \boldsymbol{\mathbf{e}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} _n)$ 下的坐标与 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 在坐标轴 $\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\rangle_\mathbb{R}$ 上的投影一致.


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