斜对称双线性型的规范型

                     

贡献者: 零穹

预备知识 二次型的规范型

   在二次型一节中,已经知道每一对称双线性型 $f$ 对应一个二次型 $q$,并且每一对称双线性型 $f$ 都有一规范基底,在此基底下,二次型 $q$ 呈现一种简单的形式

\begin{equation} q( \boldsymbol{\mathbf{x}} )=\sum_{i}f_{ii}x_i^2 \end{equation}
现在我们转向斜对称的双线性型定义 4 ,也就是满足
\begin{equation} f( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} )=-f( \boldsymbol{\mathbf{y}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} )\quad \forall \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} \in V \end{equation}
的 2-线性函数.

   对于斜对称双线性型 $f$,设其对应矩阵为 $F=(f_{ij})$,那么

\begin{equation} f( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} )=X^{T}FY=\sum_{1\leq i < j\leq n}f_{ij}(x_iy_j-x_jy_i) \end{equation}

   若 $V_0$ 是斜对称双线性型 $f$ 的,也就是子空间

\begin{equation} V_0=\mathrm{Ker} f=\{ \boldsymbol{\mathbf{v}} \in V|f( \boldsymbol{\mathbf{v}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} )=0,\forall \boldsymbol{\mathbf{x}} \in V\} \end{equation}
那么 $f$ 在 $V_0$ 的补空间(定义 1 )$V_1$ 上的限制 $f|_{V_1}$ 必为非退化的斜对称型.这是因为,如果 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} \neq0\in V_1$ 且 $f( \boldsymbol{\mathbf{a}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} _1)=0$ 对所有的 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _1\in V$ 都成立(这句话意味着 $f$ 是退化的,因为它将非零向量 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 映射到零向量),那么任意向量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{x}} _0+ \boldsymbol{\mathbf{x}} _1\in V \;( \boldsymbol{\mathbf{x}} _0\in V_0)$,有
\begin{equation} f( \boldsymbol{\mathbf{a}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} )=f( \boldsymbol{\mathbf{a}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} _0+ \boldsymbol{\mathbf{x}} _1)=f( \boldsymbol{\mathbf{a}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} _0)+f( \boldsymbol{\mathbf{a}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} _1)=-f( \boldsymbol{\mathbf{x}} _0, \boldsymbol{\mathbf{a}} )=0 \end{equation}
这就是说 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} \in V_0$,而这是不可能的.

   上面论断使得我们可将对 $f$ 的研究归结为非退化的情形.即认为 $f:V\times V\rightarrow\mathbb{F}$ 是个非退化的双线性型.

1. 斜对称双线性型的规范型

定义 1 辛平面

   若斜对称双线性型 $f$ 在矢量空间 $V$ 的二维子空间 $W$ 上的限制 $f|_W\neq0$,则二维子空间 $W$ 称为 $V$ 中的辛平面

   辛平面也可描述为:对任意向量 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1\neq0$,必存在一向量 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2$ 使得 $f( \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2)\neq0$.

定理 1 

   设 $V$ 是个实空间(也就是 $\mathbb{F}=\mathbb{R}$),其上有一个非退化的斜对称的双线性型 $f$.那么,$\mathrm{dim}\;V=2m$ 且 $V$ 是 $m$ 个对于 $f$ 而言两两斜正交的辛平面的直和.也就是说(定义 1

\begin{equation} \begin{aligned} &V=\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} _n\rangle=\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2\rangle\oplus\cdots\oplus\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} '_{2m-1}, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_{2m}\rangle\\ &f(\alpha \boldsymbol{\mathbf{e}} '_{2i-1}+\beta \boldsymbol{\mathbf{e}} '_{2i},\gamma \boldsymbol{\mathbf{e}} '_{2j-1}+\delta \boldsymbol{\mathbf{e}} '_{2j})=0,\quad i\neq j\\ &f( \boldsymbol{\mathbf{e}} '_{2i-1}, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_{2i})=1 \end{aligned} \end{equation}

   证明:对 $n=\mathrm{dim} V$ 用归纳法.当 $n=2$ 时,显然对辛平面 $W=\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2\rangle$ 成立.当 $n > 2$,$W$ 在 $V$ 中的斜正交空间 $W^{\perp}$ 为

\begin{equation} W^{\perp}=\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} \in V|f( \boldsymbol{\mathbf{e}} '_i, \boldsymbol{\mathbf{x}} )=0,i=1,2\rangle \end{equation}
把 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2$ 扩充成空间 $V$ 的基底:
\begin{equation} V=\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_n\rangle, \boldsymbol{\mathbf{x}} =x'_1 \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1+\cdots+x'_n \boldsymbol{\mathbf{e}} '_n \end{equation}
那么,
\begin{equation} \begin{aligned} &f( \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{x}} )=\sum_{i\neq 1}f'_{1i}x'_i=0\\ &f( \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2, \boldsymbol{\mathbf{x}} )=\sum_{i\neq 2}f'_{2i}x'_i=0 \end{aligned} \end{equation}
是秩为 2 的方程组(因为 $f$ 是非退换的,与之对应的矩阵 $F$ 的行自然线性无关).于是该方程组解空间 $\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2\rangle^{\perp}$ 的维度是 n-2(推论 1 ).因为
\begin{equation} \langle \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2\rangle\cap\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2\rangle^{\perp}\in \mathrm{Ker} f \end{equation}
而 $f$ 非退化意味着对任意非零向量 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} \in V$,至少有一向量 $ \boldsymbol{\mathbf{b}} $,使得 $f( \boldsymbol{\mathbf{a}} , \boldsymbol{\mathbf{b}} )\neq0$,这表明 $\mathrm{Ker} f= \boldsymbol{\mathbf{0}} $.因此
\begin{equation} \langle \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2\rangle\cap\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2\rangle^{\perp}= \boldsymbol{\mathbf{0}} \end{equation}
于是
\begin{equation} V=\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2\rangle\oplus\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2\rangle^{\perp} \end{equation}
而且 $f$ 在 $\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2\rangle^{\perp}$ 上的限制是个非退化的斜对称型.事实上,在相反的情形,存在非零向量 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} \in \langle \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2\rangle^{\perp}$,使得对任意 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _1\in\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2\rangle^{\perp}$,都有
\begin{equation} f( \boldsymbol{\mathbf{a}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} _1)=0 \end{equation}
那么 $\forall \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{x}} _0+ \boldsymbol{\mathbf{x}} _1\in V, \boldsymbol{\mathbf{x}} _0\in\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2\rangle$,成立
\begin{equation} f( \boldsymbol{\mathbf{a}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} )=f( \boldsymbol{\mathbf{a}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} _0+ \boldsymbol{\mathbf{x}} _1)=f( \boldsymbol{\mathbf{a}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} _0)+f( \boldsymbol{\mathbf{a}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} _1)=0 \end{equation}
这与 $f$ 非退化矛盾.

   按归纳假设,$\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2\rangle^{\perp}$ 是个偶数维空间,而且是两两正交的辛曲面的直和.可知有某个整数 $m$ 使 $n=\mathrm{dim}\;V=2m$ 而且有一基底 $( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i'')$ 且 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} ''_1= \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} ''_2= \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2$,使得

\begin{equation} \begin{aligned} &V=\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} ''_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} ''_2\rangle\oplus\cdots\oplus\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} ''_{2m-1}, \boldsymbol{\mathbf{e}} ''_{2m}\rangle\\ &f(\alpha \boldsymbol{\mathbf{e}} ''_{2i-1}+\beta \boldsymbol{\mathbf{e}} ''_{2i},\gamma \boldsymbol{\mathbf{e}} ''_{2j-1}+\delta \boldsymbol{\mathbf{e}} ''_{2j})=0,\quad i\neq j\\ &f( \boldsymbol{\mathbf{e}} ''_{2i-1}, \boldsymbol{\mathbf{e}} ''_{2i})=1 \end{aligned} \end{equation}
证毕!

推论 1 

   任意非退化的斜对称的 $2m\times2m$ 阶的矩阵必然合同于

\begin{equation} J=\begin{pmatrix} 0&-1&\cdots&0&0\\ 1&0&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&0&-1\\ 0&0&\cdots&1&0 \end{pmatrix} \end{equation}
即可以找到非退化矩阵 $A$ 使 $A^{T}FA=J$.

   在对 $f$ 两两斜正交的辛平面基底 $\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2\rangle\oplus\cdots\oplus\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} '_{2m-1}, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_{2m}\rangle$ 下,

\begin{equation} f( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} )=f_{12}(x'_1y'_2-x'_2y'_1)+\cdots+f_{2m-1,2m}(x'_{2m-1}y'_{2m}-x'_{2m}y'_{2m-1}) \end{equation}
这时称斜对称型 $f$ 具有规范型,相应的基底称为 $f$ 的规范基底.


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