贡献者： 零穹
在二次型一节中，已经知道每一对称双线性型 $f$ 对应一个二次型 $q$，并且每一对称双线性型 $f$ 都有一规范基底，在此基底下，二次型 $q$ 呈现一种简单的形式
\begin{equation}
q( \boldsymbol{\mathbf{x}} )=\sum_{i}f_{ii}x_i^2~,
\end{equation}
现在我们转向斜对称的双线性型
定义 2 ，也就是满足
\begin{equation}
f( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} )=-f( \boldsymbol{\mathbf{y}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} )\quad (\forall \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} \in V)~
\end{equation}
的 2-线性函数。
对于斜对称双线性型 $f$，设其对应矩阵为 $F=(f_{ij})$，那么
\begin{equation}
f( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} )=X^{T}FY=\sum_{1\leq i< j\leq n}f_{ij}(x_iy_j-x_jy_i)~.
\end{equation}
若 $V_0$ 是斜对称双线性型 $f$ 的核，也就是子空间
\begin{equation}
V_0=\mathrm{Ker} f=\{ \boldsymbol{\mathbf{v}} \in V|f( \boldsymbol{\mathbf{v}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} )=0,\forall \boldsymbol{\mathbf{x}} \in V\}~.
\end{equation}
那么 $f$ 在 $V_0$ 的补空间（
定义 1 ）$V_1$ 上的限制 $f|_{V_1}$ 必为非退化的斜对称型。这是因为，如果 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} \neq0\in V_1$ 且 $f( \boldsymbol{\mathbf{a}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} _1)=0$ 对所有的 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _1\in V$ 都成立（这句话意味着 $f$ 是退化的，因为它将非零向量 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 映射到零向量），那么任意向量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{x}} _0+ \boldsymbol{\mathbf{x}} _1\in V \;( \boldsymbol{\mathbf{x}} _0\in V_0)$，有
\begin{equation}
f( \boldsymbol{\mathbf{a}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} )=f( \boldsymbol{\mathbf{a}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} _0+ \boldsymbol{\mathbf{x}} _1)=f( \boldsymbol{\mathbf{a}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} _0)+f( \boldsymbol{\mathbf{a}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} _1)=-f( \boldsymbol{\mathbf{x}} _0, \boldsymbol{\mathbf{a}} )=0~.
\end{equation}
这就是说 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} \in V_0$，而这是不可能的。
上面论断使得我们可将对 $f$ 的研究归结为非退化的情形。即认为 $f:V\times V\rightarrow\mathbb{F}$ 是个非退化的双线性型。
1. 斜对称双线性型的规范型
定义 1 辛平面
若斜对称双线性型 $f$ 在矢量空间 $V$ 的二维子空间 $W$ 上的限制 $f|_W\neq0$，则二维子空间 $W$ 称为 $V$ 中的辛平面。
辛平面也可描述为：对任意向量 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1\neq0$，必存在一向量 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2$ 使得 $f( \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2)\neq0$。
定理 1
设 $V$ 是个实空间（也就是 $\mathbb{F}=\mathbb{R}$），其上有一个非退化的斜对称的双线性型 $f$。那么，$\mathrm{dim}\;V=2m$ 且 $V$ 是 $m$ 个对于 $f$ 而言两两斜正交的辛平面的直和。也就是说（定义 1 ）
\begin{equation}
\begin{aligned}
&V=\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} _n\rangle=\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2\rangle\oplus\cdots\oplus\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} '_{2m-1}, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_{2m}\rangle\\
&f(\alpha \boldsymbol{\mathbf{e}} '_{2i-1}+\beta \boldsymbol{\mathbf{e}} '_{2i},\gamma \boldsymbol{\mathbf{e}} '_{2j-1}+\delta \boldsymbol{\mathbf{e}} '_{2j})=0\quad (i\neq j)~\\
&f( \boldsymbol{\mathbf{e}} '_{2i-1}, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_{2i})=1~.
\end{aligned}
\end{equation}
证明：对 $n=\mathrm{dim} V$ 用归纳法。当 $n=2$ 时，显然对辛平面 $W=\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2\rangle$ 成立。当 $n>2$，$W$ 在 $V$ 中的斜正交空间 $W^{\perp}$ 为
\begin{equation}
W^{\perp}=\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} \in V|f( \boldsymbol{\mathbf{e}} '_i, \boldsymbol{\mathbf{x}} )=0,i=1,2\rangle~.
\end{equation}
把 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2$ 扩充成空间 $V$ 的基底：
\begin{equation}
V=\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_n\rangle, \boldsymbol{\mathbf{x}} =x'_1 \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1+\cdots+x'_n \boldsymbol{\mathbf{e}} '_n~.
\end{equation}
那么，
\begin{equation}
\begin{aligned}
&f( \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{x}} )=\sum_{i\neq 1}f'_{1i}x'_i=0~,\\
&f( \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2, \boldsymbol{\mathbf{x}} )=\sum_{i\neq 2}f'_{2i}x'_i=0~.
\end{aligned}
\end{equation}
是秩为 2 的方程组（因为 $f$ 是非退换的，与之对应的矩阵 $F$ 的行自然线性无关）。于是该方程组解空间 $\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2\rangle^{\perp}$ 的维度是 n-2（
推论 1 ）。因为
\begin{equation}
\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2\rangle\cap\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2\rangle^{\perp}\in \mathrm{Ker} f~,
\end{equation}
而 $f$ 非退化意味着对任意非零向量 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} \in V$，至少有一向量 $ \boldsymbol{\mathbf{b}} $，使得 $f( \boldsymbol{\mathbf{a}} , \boldsymbol{\mathbf{b}} )\neq0$，这表明 $\mathrm{Ker} f= \boldsymbol{\mathbf{0}} $。因此
\begin{equation}
\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2\rangle\cap\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2\rangle^{\perp}= \boldsymbol{\mathbf{0}} ~,
\end{equation}
于是
\begin{equation}
V=\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2\rangle\oplus\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2\rangle^{\perp}~.
\end{equation}
而且 $f$ 在 $\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2\rangle^{\perp}$ 上的限制是个非退化的斜对称型。事实上，在相反的情形，存在非零向量 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} \in \langle \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2\rangle^{\perp}$，使得对任意 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _1\in\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2\rangle^{\perp}$，都有
\begin{equation}
f( \boldsymbol{\mathbf{a}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} _1)=0~.
\end{equation}
那么 $\forall \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{x}} _0+ \boldsymbol{\mathbf{x}} _1\in V, \boldsymbol{\mathbf{x}} _0\in\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2\rangle$，成立
\begin{equation}
f( \boldsymbol{\mathbf{a}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} )=f( \boldsymbol{\mathbf{a}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} _0+ \boldsymbol{\mathbf{x}} _1)=f( \boldsymbol{\mathbf{a}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} _0)+f( \boldsymbol{\mathbf{a}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} _1)=0~,
\end{equation}
这与 $f$ 非退化矛盾。
按归纳假设，$\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2\rangle^{\perp}$ 是个偶数维空间，而且是两两正交的辛曲面的直和。可知有某个整数 $m$ 使 $n=\mathrm{dim}\;V=2m$ 而且有一基底 $( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i'')$ 且 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} ''_1= \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} ''_2= \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2$，使得
\begin{equation}
\begin{aligned}
&V=\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} ''_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} ''_2\rangle\oplus\cdots\oplus\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} ''_{2m-1}, \boldsymbol{\mathbf{e}} ''_{2m}\rangle\\
&f(\alpha \boldsymbol{\mathbf{e}} ''_{2i-1}+\beta \boldsymbol{\mathbf{e}} ''_{2i},\gamma \boldsymbol{\mathbf{e}} ''_{2j-1}+\delta \boldsymbol{\mathbf{e}} ''_{2j})=0\quad (i\neq j)\\
&f( \boldsymbol{\mathbf{e}} ''_{2i-1}, \boldsymbol{\mathbf{e}} ''_{2i})=1~.
\end{aligned}
\end{equation}
推论 1
任意非退化的斜对称的 $2m\times2m$ 阶的矩阵必然合同于
\begin{equation}
J=\begin{pmatrix}
0&-1&\cdots&0&0\\
1&0&\cdots&0&0\\
\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots\\
0&0&\cdots&0&-1\\
0&0&\cdots&1&0
\end{pmatrix}~,
\end{equation}
即可以找到非退化矩阵 $A$ 使 $A^{T}FA=J$。
在对 $f$ 两两斜正交的辛平面基底 $\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_2\rangle\oplus\cdots\oplus\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} '_{2m-1}, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_{2m}\rangle$ 下，
\begin{equation}
f( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} )=f_{12}(x'_1y'_2-x'_2y'_1)+\cdots+f_{2m-1,2m}(x'_{2m-1}y'_{2m}-x'_{2m}y'_{2m-1})~,
\end{equation}
这时称斜对称型 $f$ 具有
规范型，相应的基底称为 $f$ 的
规范基底.
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