贡献者： addis; 零穹; 叶月2_
1. 定义
定义 1 二次型
1域 $\mathbb{F}$ 上有限维空间 $V$ 上的函数 $q:V\rightarrow\mathbb{F}$，若它满足如下两个性质：
- 对任意 $v\in V$ 都有
\begin{equation}
q(-{v})=q(v)~.
\end{equation}
- 由公式
\begin{equation}
f(x, y)=\frac{1}{2} \left[q(x+ y)-q(x)-q(y) \right] ~
\end{equation}
则称 $q$ 是 $V$ 上的二次型（quadratic form），并称 $f$ 的秩为 $q$ 的秩：$ \operatorname {rank} q = \operatorname {rank} f$。另外容易证明 $f$ 是对称的，即 $f(x,y) = f(y,x)$。
利用式 2 ，由 $q$ 得到的对称的双线性型 $f$ 称为极化的，或 $f$ 是与二次型 $q$ 配极的双线性型。
例 1
设 $f$ 是 $V$ 上任意一个对称的双线性型，令
\begin{equation}
q_f( x)=f( x, x)~,
\end{equation}
就得到一个满足二次型定义的函数 $q_f:V\rightarrow\mathbb{F}$。
证明：
\begin{equation}
q_f(-{x})=f(-{x},-{x})=f({x},{x})=q_f({x}) \qquad (\forall x\in V)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{1}{2} \left[q_f(x+ y)-q_f(x)-q_f(y) \right] = \frac{1}{2} \left[f( x+ y, x+ y)-f( x, x)-f( y, y) \right] = f(x, y)~.
\end{equation}
证毕。
注意这里只是证明了 $q_f(v) = f(v,v)$ 是一个二次型，却没有证明定义 1 中 $f(v,v) = q(v)$。
要证明定义 1 中有
\begin{equation}
f(v, v) = q(v)~,
\end{equation}
就必须
定理 1
每一个二次型 $q$ 都可以按着自己的配极双线性型 $f$ 唯一地恢复原型；换言之，$q=q_f$
证明：在式 2 中令 $y=-x$：
\begin{equation}
-f(x,x)=\frac{1}{2}[q(0)-q(x)-q(-x)]~,
\end{equation}
从而
\begin{equation}
q(x)=f(x,x)+\frac{1}{2}q(0)~.
\end{equation}
因为 $f$ 是个双线性型，所以 $f(0,0)=0$。因为，当 $x=0$ 时有 $q(0)=\frac{1}{2}q(0)$，即 $q(0)=0$，也就是说，$q(x)=f(x,x)$。
每一个二次型按式 2 定义一个与其配极对称双线性型 $f$，而由定理 1 ，每一个对称的双线性型 $f$ 有唯一一个二次型 $q$ 与之对应，这就是说，二次型和对称双线性型一一对应。
2. 二次型的矩阵
定义 2 二次型的矩阵
称与 $q$ 配极的双线性型 $f$ 在空间 $V$ 的基底 $(e_1,\cdots,e_n)$ 之下的矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 是二次型 $q=q_f$ 的矩阵。即矩阵元为 $f_{ij} = f(e_i, e_j)$。
若 $a = \sum_i a_i e_i$，$b = \sum_j b_j e_j$，令对应的坐标列矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} = (a_1\ a_2\ \dots) ^{\mathrm{T}} $，$ \boldsymbol{\mathbf{b}} = (b_1\ b_2\ \dots) ^{\mathrm{T}} $。那么 $f(u, v)$ 可以表示为以下的矩阵运算。
\begin{equation}
f(a, b) = \boldsymbol{\mathbf{a}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol{\mathbf{b}} = \sum_{i,j} f_{ij}a_i b_j~,
\end{equation}
对应的二次型为
\begin{equation}
q(a) = \boldsymbol{\mathbf{a}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol{\mathbf{a}} = \sum_{i,j} f_{ij}a_i a_j~.
\end{equation}
因为 $f(e_i, e_j) = f(e_j, e_i)$，所以 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $
是一个对称矩阵。
3. 二次型的规范型
定义 3 二次型的规范型（或对角型）
称二次型 $q$ 在 $V$ 的基底 $(e_1,\cdots,e_n)$ 之下具有规范型或对角型，如果对 $\forall x=\sum x_i e_i\in V$，$q(x)$ 的值可用公式
\begin{equation}
q(x)=\sum_{i}f_{ii}x_i^2~
\end{equation}
计算。此时基底 $(e_i)$ 称为对 $q$ 的
规范基底。
令变换矩阵为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $，则 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{u}} '$，$ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} '$，那么
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{u}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol{\mathbf{v}} = ( \boldsymbol{\mathbf{Au'}} ) ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{Av'}} ) = { \boldsymbol{\mathbf{u}} '} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} '={ \boldsymbol{\mathbf{u}} '} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{F}} ' \boldsymbol{\mathbf{v}} '~,
\end{equation}
即二次型对应的矩阵在新旧基底下对应的关系为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} '= \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{FA}} $。
定义 4 合同矩阵
若 $\det \boldsymbol{\mathbf{A}} \neq 0$，则称矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 和矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} '= \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{FA}} $ 是合同的。
1. ^ 本文参考：科斯特利金。代数学引论，第二卷。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损， 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。