二次型

                     

贡献者: addis; 零穹

预备知识 双线性型(2-线性函数)

1. 定义

定义 1 二次型

  1域 $\mathbb{F}$ 上有限维空间 $V$ 上的函数 $q:V\rightarrow\mathbb{F}$,若它满足如下两个性质:

  1. $q(-{v})=q( v),\quad \forall v\in V$;
  2. 由公式
    \begin{equation} f(x, y)=\frac{1}{2} \left[q(x+ y)-q(x)-q(y) \right] \end{equation}
    决定的映射 $f:V\times V\rightarrow\mathbb{F}$ 是 $V$ 上的双线性型

   则称 $q$ 是 $V$ 上的二次型(quadratic form),并称 $f$ 的秩为 $q$ 的秩:rank $q$=rank $f$(链接未完成).另外容易证明 $f$ 是对称的,即 $f(x,y) = f(y,x)$.

   利用式 1 ,由 $q$ 得到的对称的双线性型 $f$ 称为极化的,或 $f$ 是与二次型 $q$ 配极的双线性型.

例 1 

   设 $f$ 是 $V$ 上任意一个对称的双线性型,令

\begin{equation} q_f( x)=f( x, x) \end{equation}
就得到一个满足二次型定义的函数 $q_f:V\rightarrow\mathbb{F}$.

   证明

\begin{equation} q_f(-{x})=f(-{x},-{x})=f({x},{x})=q_f({x}) \qquad (\forall x\in V) \end{equation}
\begin{equation} f(x, y)=\frac{1}{2} \left[f( x+ y, x+ y)-f( x, x)-f( y, y) \right] =\frac{1}{2} \left[q(x+ y)-q(x)-q(y) \right] \end{equation}
证毕.

定理 1 

   每一个二次型 $q$ 都可以按着自己的配极双线性型 $f$ 唯一地恢复原型;换言之,$q=q_f$

   证明:式 1 中令 $y=-x$:

\begin{equation} -f(x,x)=\frac{1}{2}[q(0)-q(x)-q(-x)] \end{equation}
从而
\begin{equation} q(x)=f(x,x)+\frac{1}{2}q(0) \end{equation}
因为 $f$ 是个双线性型,所以 $f(0,0)=0$.因为,当 $x=0$ 时有 $q(0)=\frac{1}{2}q(0)$,即 $q(0)=0$,也就是说,$q(x)=f(x,x)$.

   每一个二次型按式 1 定义一个与其配极对称双线性型 $f$,而由定理 1 ,每一个对称的双线性型 $f$ 有唯一一个二次型 $q$ 与之对应,这就是说,二次型和对称双线性型一一对应

2. 二次型的矩阵

定义 2 二次型的矩阵

   称与 $q$ 配极的双线性型 $f$ 在空间 $V$ 的基底 $(e_1,\cdots,e_n)$ 之下的矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 是二次型 $q=q_f$ 的矩阵.即矩阵元为 $f_{ij} = f(e_i, e_j)$.

   若 $a = \sum_i a_i e_i$,$b = \sum_j b_j e_j$,令对应的坐标列矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} = (a_1\ a_2\ \dots) ^{\mathrm{T}} $,$ \boldsymbol{\mathbf{b}} = (b_1\ b_2\ \dots) ^{\mathrm{T}} $.那么 $f(u, v)$ 可以表示为以下的矩阵运算

\begin{equation} f(a, b) = \boldsymbol{\mathbf{a}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol{\mathbf{b}} = \sum_{i,j} f_{ij}a_i b_j \end{equation}
对应的二次型为
\begin{equation} q(a) = \boldsymbol{\mathbf{a}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol{\mathbf{a}} = \sum_{i,j} f_{ij}a_i a_j \end{equation}
因为 $f(e_i, e_j) = f(e_j, e_i)$,所以 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 是一个对称矩阵.

3. 二次型的规范型

定义 3 二次型的规范型(或对角型)

   称二次型 $q$ 在 $V$ 的基底 $(e_1,\cdots,e_n)$ 之下具有规范型对角型,如果对 $\forall x=\sum x_i e_i\in V$,$q(x)$ 的值可用公式

\begin{equation} q(x)=\sum_{i}f_{ii}x_i^2 \end{equation}
计算.此时基底 $(e_i)$ 称为对 $q$ 的规范基底

   令变换矩阵为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $,则 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{u}} '$,$ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} '$,那么

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{u}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol{\mathbf{v}} = ( \boldsymbol{\mathbf{Au'}} ) ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{Av'}} ) = \boldsymbol{\mathbf{u}} ' ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} '= \boldsymbol{\mathbf{u}} ' \boldsymbol{\mathbf{F}} ' \boldsymbol{\mathbf{v}} ' \end{equation}
即二次型对应的矩阵在新旧基底下对应的关系为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} '= \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{FA}} $.

定义 4 合同矩阵

   若 $\det \boldsymbol{\mathbf{A}} \neq 0$,则称矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 和矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} '= \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{FA}} $ 是合同的


1. ^ 本文参考:科斯特利金.代数学引论,第二卷.


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