二次型

贡献者： addis; 零穹; 叶月2_

预备知识　双线性型，矩阵的秩

1. 定义

定义 1　二次型

　　¹域 $F$ 上有限维空间 $V$ 上的函数 $q : V \to F$ ，若它满足如下两个性质：

对任意 $v \in V$ 都有
$\begin{matrix} (1) & q (- v) = q (v) . \end{matrix}$
由公式
$\begin{matrix} (2) & f (x, y) = \frac{1}{2} [q (x + y) - q (x) - q (y)] \end{matrix}$
决定的映射 $f : V \times V \to F$ 是 $V$ 上的双线性型即2-线性函数。

　　则称 $q$ 是 $V$ 上的二次型（quadratic form），并称 $f$ 的秩为 $q$ 的秩： $rank q = rank f$ 。另外容易证明 $f$ 是对称的，即 $f (x, y) = f (y, x)$ 。

　　利用式 2 ，由 $q$ 得到的对称的双线性型 $f$ 称为极化的，或 $f$ 是与二次型 $q$ 配极的双线性型。

例 1　

　　设 $f$ 是 $V$ 上任意一个对称的双线性型，令

\begin{matrix} (3) & q_{f} (x) = f (x, x), \end{matrix}

就得到一个满足二次型定义的函数

q_{f} : V \to F

。

　　证明：

\begin{matrix} (4) & q_{f} (- x) = f (- x, - x) = f (x, x) = q_{f} (x) (\forall x \in V), \end{matrix}

\begin{matrix} (5) & \frac{1}{2} [q_{f} (x + y) - q_{f} (x) - q_{f} (y)] = \frac{1}{2} [f (x + y, x + y) - f (x, x) - f (y, y)] = f (x, y) . \end{matrix}

证毕。

　　注意这里只是证明了 $q_{f} (v) = f (v, v)$ 是一个二次型，却没有证明定义 1 中 $f (v, v) = q (v)$ 。

　　要证明定义 1 中有

\begin{matrix} (6) & f (v, v) = q (v), \end{matrix}

就必须

定理 1　

　　每一个二次型 $q$ 都可以按着自己的配极双线性型 $f$ 唯一地恢复原型；换言之， $q = q_{f}$

　　 证明：在式 2 中令 $y = - x$ ：

\begin{matrix} (7) & - f (x, x) = \frac{1}{2} [q (0) - q (x) - q (- x)], \end{matrix}

从而

\begin{matrix} (8) & q (x) = f (x, x) + \frac{1}{2} q (0) . \end{matrix}

因为

f

是个双线性型，所以

f (0, 0) = 0

。因为，当

x = 0

时有

q (0) = \frac{1}{2} q (0)

，即

q (0) = 0

，也就是说，

q (x) = f (x, x)

。

　　每一个二次型按式 2 定义一个与其配极对称双线性型 $f$ ，而由定理 1 ，每一个对称的双线性型 $f$ 有唯一一个二次型 $q$ 与之对应，这就是说，二次型和对称双线性型一一对应。

2. 二次型的矩阵

定义 2　二次型的矩阵

　　称与 $q$ 配极的双线性型 $f$ 在空间 $V$ 的基底 $(e_{1}, \dots, e_{n})$ 之下的矩阵 $F$ 是二次型 $q = q_{f}$ 的矩阵。即矩阵元为 $f_{i j} = f (e_{i}, e_{j})$ 。

　　若 $a = \sum_{i} a_{i} e_{i}$ ， $b = \sum_{j} b_{j} e_{j}$ ，令对应的坐标列矢量为 $a = (a_{1} a_{2} \dots)^{T}$ ， $b = (b_{1} b_{2} \dots)^{T}$ 。那么 $f (u, v)$ 可以表示为以下的矩阵运算。

\begin{matrix} (9) & f (a, b) = a^{T} F b = \sum_{i, j} f_{i j} a_{i} b_{j}, \end{matrix}

对应的二次型为

\begin{matrix} (10) & q (a) = a^{T} F a = \sum_{i, j} f_{i j} a_{i} a_{j} . \end{matrix}

因为

f (e_{i}, e_{j}) = f (e_{j}, e_{i})

，所以

F

是一个对称矩阵。

3. 二次型的规范型

定义 3　二次型的规范型（或对角型）

　　称二次型 $q$ 在 $V$ 的基底 $(e_{1}, \dots, e_{n})$ 之下具有规范型或对角型，如果对 $\forall x = \sum x_{i} e_{i} \in V$ ， $q (x)$ 的值可用公式

\begin{matrix} (11) & q (x) = \sum_{i} f_{i i} x_{i}^{2} \end{matrix}

计算。此时基底

(e_{i})

称为对

q

的规范基底。

　　令变换矩阵为 $A$ ，则 $u = A u^{'}$ ， $v = A v^{'}$ ，那么

\begin{matrix} (12) & u^{T} F v = ({Au}^{'})^{T} F ({Av}^{'}) = {u^{'}}^{T} A^{T} F A v^{'} = {u^{'}}^{T} F^{'} v^{'}, \end{matrix}

即二次型对应的矩阵在新旧基底下对应的关系为

F^{'} = A^{T} FA

。

定义 4　合同矩阵

　　若 $det A \neq 0$ ，则称矩阵 $F$ 和矩阵 $F^{'} = A^{T} FA$ 是合同的。

1. ^ 本文参考：科斯特利金。代数学引论，第二卷。

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二次型

1. 定义

定义 1 二次型

例 1

定理 1

2. 二次型的矩阵

定义 2 二次型的矩阵

3. 二次型的规范型

定义 3 二次型的规范型（或对角型）

定义 4 合同矩阵

定义 1　二次型

例 1　

定理 1　

定义 2　二次型的矩阵

定义 3　二次型的规范型（或对角型）

定义 4　合同矩阵