正定二次型

                     

贡献者: 零穹

  • 雅可比方法补充例子
预备知识 实二次型

1. 正定二次型

定义 1 实二次型的分类

   非退化的实二次型 $q:V\rightarrow\mathbb R$ 称为正定的负定的),如果 $q( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) > 0(q( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) < 0)$ 对任意矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} \neq0$ 都成立.$q$ 称为半正定的(或非负定的),如果 $q( \boldsymbol{\mathbf{x}} )\geq0$ 对所有 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} \in V$ 成立.最后,$q$ 称为不定的,如果它有时取正有时取负.

   由于实二次型均可化为标准型定理 1 ,故实二次型的各种类型对应的标准型如下($n=\mathrm{dim}_\mathbb R \,V$):

  1. 正定型:
    \begin{equation} q( \boldsymbol{\mathbf{x}} )=\sum_{i=1}^n x_i^2; \end{equation}
  2. 负定型:
    \begin{equation} q( \boldsymbol{\mathbf{x}} )=-\sum_{i=1}^n x_i^2; \end{equation}
  3. 半正定型:
    \begin{equation} q( \boldsymbol{\mathbf{x}} )=\sum_{i=1}^r x_i^2,\quad r\leq n; \end{equation}
  4. 不定型:
    \begin{equation} q( \boldsymbol{\mathbf{x}} )=\sum_{i=1}^s x_i^2-\sum_{i=s+1}^r x_i^2,\quad0 < s < r. \end{equation}

定义 2 正定双线性型

   与正定二次型相配极的双线性型称为正定的

   类似的术语同样可照搬到矩阵上,因为二次型对应一个与之配极的双线性型,双线性型又对应一个矩阵,它们之间这样一一对应的关系使得术语可照搬.

定理 1 

   矩阵 $F$ 是正定矩阵的充要条件为

\begin{equation} F=A^TA \end{equation}
其中,$A$ 是实的非退化矩阵.

   证明:

  1. 必要性: 因为正定矩阵的标准型为单位矩阵 $E$,即在某基底下,正定矩阵 $F$ 化为 $E$,设这两基底对应的过渡矩阵为 $B$(这显然是个非退化矩阵,因为两基底可相互表示),于是
    \begin{equation} B^TFB=E\quad\Rightarrow\quad F={(B^T)}^{-1}EB^{-1}={(B^{-1})}^TB^{-1} \end{equation}
    令 $A=B^{-1}$,便得 $F=A^TA$.
  2. 充分性:因为 $F=A^TA=A^TEA$,而 $A$ 非退化,所以
    \begin{equation} {(A^{-1})}^TFA^{-1}=E \end{equation}
    即在过渡矩阵 $A^{-1}$ 下,矩阵 $F$ 化为 $E$,由式 1 ,可知 $F$ 正定.

   证毕!

2. 雅可比方法

定义 3 顺序主子式

\begin{equation} \Delta_1=f_{11},\;\cdots,\;\Delta_i=\begin{vmatrix} f_{11}&\cdots&f_{1k}\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ f_{i1}&\cdots&f{ii} \end{vmatrix},\quad \cdots \end{equation}
称为矩阵 $F=(f_{ij})$ 的顺序主子式.$\Delta_i$ 称为 $F$ 的 $i$ 阶顺序主子式.且约定 $\Delta_0=1$

定理 2 雅可比方法

   设 $q$ 以 $F$ 为矩阵的实二次型,$F$ 的所有顺序主子式都不为 9.那么,必有空间 $V$ 的基底 $( \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_n)$,使得 $q( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$ 具有规范形式

\begin{equation} q( \boldsymbol{\mathbf{x}} )=\sum_{i=1}^n\frac{\Delta_{i-1}}{\Delta_i}(x'_i)^2 \end{equation}

   证明:

  1. 对 $n=1$ 的矢量空间 $V_1$,命题显然成立.
  2. 假设对 $n=k-1$ 的矢量空间 $V_{k-1}$,命题成立.设 $( \boldsymbol{\mathbf{e}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} _k)$ 是矢量空间 $V_k$ 的初始基底,$q$ 是其上以 $F$ 为矩阵的二次型,考查 $k-1$ 维子空间
    \begin{equation} L=\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} _{k-1}\rangle \end{equation}
    设 $\overline q=q|_L$ 是 $q$ 在 $L$ 上的限制,则型 $\overline q$ 的矩阵 $\overline F$ 是由 $F$ 去掉最后一行与最后一列得到的,故据条件,它的顺序主子式 $\overline\Delta_i=\Delta_i,\;i=1,\cdots,k-1$ 都不为 0.由归纳假设,在 $L$ 中必有一基底 $( \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_{k-1})$,使得对 $\overline{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }\in L$
    \begin{equation} \overline q(\overline{ \boldsymbol{\mathbf{x}} })=q(\overline{ \boldsymbol{\mathbf{x}} })=\sum_{i=1}^{k-1}\frac{\Delta_{i-1}}{\Delta_i}{x'_{i}}^2 \end{equation}
    上式相当于,对与 $q$ 配极的双线性型 $f$:
    \begin{equation} f( \boldsymbol{\mathbf{e}} '_i, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_i)=\frac{\Delta_{i-1}}{\Delta_{i}},\quad f( \boldsymbol{\mathbf{e}} '_i, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_j)=0,\quad 1\leq i\neq j\leq k-1. \end{equation}
    $k$ 个未知量 $x'_1,\cdots,x'_k$ 的 $k-1$ 个齐次方程组
    \begin{equation} f( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{e}} '_i)=0,\quad i=1,\cdots,k-1,\; \boldsymbol{\mathbf{x}} \in V_k \end{equation}
    必 在 $V_k$ 中有非零解,设为 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{e}} '_k$.向量组 $( \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_k)$ 必构成 $V_k$ 的一基底,因为否则
    \begin{equation} \sum_{i=1}^k\alpha_i \boldsymbol{\mathbf{e}} '_i= \boldsymbol{\mathbf{0}} \end{equation}
    意味着只能 $\alpha_k\neq0$,那么
    \begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{e}} '_k=\sum_i^{k-1}\beta_i \boldsymbol{\mathbf{e}} '_i\quad \Rightarrow\quad 0\neq f( \boldsymbol{\mathbf{e}} '_k, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_k)=f( \boldsymbol{\mathbf{e}} '_k,\sum_i^{k-1}\beta_i \boldsymbol{\mathbf{e}} '_i)=0 \end{equation}
    矛盾.
    确定矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_k$ 可以精确到其坐标,由式 13 ,$ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_k$ 所在的解空间至少是 1 维的(对应 $k-1$ 个线性函数 $f_i=f(*, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_i),\;(i=1,\cdots,k-1)$ 线性无关的情形),即在确定 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_k\in V_k$ 坐标的时候,至少有一个坐标分量可任选,而 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_k$ 一旦选定,其在初始基底下的坐标分量就确定了,也即过渡矩阵得到确定.设基底 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i$ 到 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_i$ 的过渡矩阵为 $A$,于是我们可以令
    \begin{equation} \det A=(\Delta_k)^{-1}=(\det\,F)^{-1} \end{equation}
    来确定这一任一性(亦可从式 13 式 16 关于 $k$ 个未知数 $k$ 个方程看出). 设 $F'$ 是线性型 $f$ 在 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_i$ 下的矩阵,于是
    \begin{equation} \begin{aligned} \frac{f( \boldsymbol{\mathbf{e}} '_k, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_k)}{\Delta_{k-1}}&=\frac{\Delta_0}{\Delta_1}\frac{\Delta_1}{\Delta_2}\cdots\frac{\Delta_{k-2}}{\Delta_{k-1}}f( \boldsymbol{\mathbf{e}} '_k, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_k)\\ &=\prod_{i=1}^k f( \boldsymbol{\mathbf{e}} '_i, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_i)=\det\, F'=\det\, (A^TFA)\\ &=(\det{\,A})^2\det\, F=\frac{1}{\Delta_k} \end{aligned} \end{equation}
    于是
    \begin{equation} f( \boldsymbol{\mathbf{e}} '_k, \boldsymbol{\mathbf{e}} '_k)=\frac{\Delta_{k-1}}{\Delta_k} \end{equation}
    于是,二次型在基底 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_i$ 下就为式 9 的形式.
    根据数学归纳法,命题得证!

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