正定二次型

                     

贡献者: 零穹

  • 雅可比方法补充例子
预备知识 实二次型

1. 正定二次型

定义 1 实二次型的分类

   非退化的实二次型 q:VR 称为正定的负定的),如果 q(x)>0(q(x)<0) 对任意矢量 x0 都成立。q 称为半正定的(或非负定的),如果 q(x)0 对所有 xV 成立。最后,q 称为不定的,如果它有时取正有时取负。

   由于实二次型均可化为标准型定理 1 ,故实二次型的各种类型对应的标准型如下(n=dimRV):

  1. 正定型:
    (1)q(x)=i=1nxi2 .
  2. 负定型:
    (2)q(x)=i=1nxi2 .
  3. 半正定型:
    (3)q(x)=i=1rxi2,rn .
  4. 不定型:
    (4)q(x)=i=1sxi2i=s+1rxi2 ,0<s<r .

定义 2 正定双线性型

   与正定二次型相配极的双线性型称为正定的

   类似的术语同样可照搬到矩阵上,因为二次型对应一个与之配极的双线性型,双线性型又对应一个矩阵,它们之间这样一一对应的关系使得术语可照搬。

定理 1 

   矩阵 F 是正定矩阵的充要条件为

(5)F=ATA .
其中,A 是实的非退化矩阵。

   证明:

  1. 必要性: 因为正定矩阵的标准型为单位矩阵 E,即在某基底下,正定矩阵 F 化为 E,设这两基底对应的过渡矩阵为 B(这显然是个非退化矩阵,因为两基底可相互表示),于是
    (6)BTFB=EF=(BT)1EB1=(B1)TB1 .
    A=B1,便得 F=ATA
  2. 充分性:因为 F=ATA=ATEA,而 A 非退化,所以
    (7)(A1)TFA1=E .
    即在过渡矩阵 A1 下,矩阵 F 化为 E,由式 1 ,可知 F 正定。

   证毕!

2. 雅可比方法

定义 3 顺序主子式

(8)Δ1=f11,,Δi=|f11f1kfi1fii|, 
称为矩阵 F=(fij)顺序主子式Δi 称为 Fi 阶顺序主子式。且约定 Δ0=1

定理 2 雅可比方法

   设 qF 为矩阵的实二次型,F 的所有顺序主子式都不为 9。那么,必有空间 V 的基底 (e1,,en),使得 q(x) 具有规范形式

(9)q(x)=i=1nΔi1Δi(xi)2 .

   证明:

  1. n=1 的矢量空间 V1,命题显然成立。
  2. 假设对 n=k1 的矢量空间 Vk1,命题成立。设 (e1,,ek) 是矢量空间 Vk 的初始基底,q 是其上以 F 为矩阵的二次型,考查 k1 维子空间
    (10)L=e1,,ek1 .
    q=q|LqL 上的限制,则型 q 的矩阵 F 是由 F 去掉最后一行与最后一列得到的,故据条件,它的顺序主子式 Δi=Δi,i=1,,k1 都不为 0。由归纳假设,在 L 中必有一基底 (e1,,ek1),使得对 xL
    (11)q(x)=q(x)=i=1k1Δi1Δixi2 ,
    上式相当于,对与 q 配极的双线性型 f
    (12)f(ei,ei)=Δi1Δi,f(ei,ej)=0,1ijk1 .
    k 个未知量 x1,,xkk1 个齐次方程组
    (13)f(x,ei)=0,i=1,,k1,xVk .
    必 在 Vk 中有非零解,设为 x=ek。向量组 (e1,,ek) 必构成 Vk 的一基底,因为否则
    (14)i=1kαiei=0 ,
    意味着只能 αk0,那么
    (15)ek=ik1βiei0f(ek,ek)=f(ek,ik1βiei)=0 
    矛盾。
    确定矢量 ek 可以精确到其坐标,由式 13 ek 所在的解空间至少是 1 维的(对应 k1 个线性函数 fi=f(,ei),(i=1,,k1) 线性无关的情形),即在确定 ekVk 坐标的时候,至少有一个坐标分量可任选,而 ek 一旦选定,其在初始基底下的坐标分量就确定了,也即过渡矩阵得到确定。设基底 eiei 的过渡矩阵为 A,于是我们可以令
    (16)detA=(Δk)1=(detF)1 ,
    来确定这一任一性(亦可从式 13 式 16 关于 k 个未知数 k 个方程看出)。 设 F 是线性型 fei 下的矩阵,于是
    (17)f(ek,ek)Δk1=Δ0Δ1Δ1Δ2Δk2Δk1f(ek,ek)=i=1kf(ei,ei)=detF=det(ATFA)=(detA)2detF=1Δk .
    于是
    (18)f(ek,ek)=Δk1Δk .
    于是,二次型在基底 ei 下就为式 9 的形式。
    根据数学归纳法,命题得证!

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