正定二次型
贡献者: 零穹
1. 正定二次型
定义 1 实二次型的分类
非退化的实二次型 称为正定的(负定的),如果 对任意矢量 都成立。 称为半正定的(或非负定的),如果 对所有 成立。最后, 称为不定的,如果它有时取正有时取负。
由于实二次型均可化为标准型定理 1 ,故实二次型的各种类型对应的标准型如下():
- 正定型:
- 负定型:
- 半正定型:
- 不定型:
定义 2 正定双线性型
与正定二次型相配极的双线性型称为正定的。
类似的术语同样可照搬到矩阵上,因为二次型对应一个与之配极的双线性型,双线性型又对应一个矩阵,它们之间这样一一对应的关系使得术语可照搬。
定理 1
矩阵 是正定矩阵的充要条件为
其中, 是实的非退化矩阵。
证明:
- 必要性:
因为正定矩阵的标准型为单位矩阵 ,即在某基底下,正定矩阵 化为 ,设这两基底对应的过渡矩阵为 (这显然是个非退化矩阵,因为两基底可相互表示),于是
令 ,便得 。
- 充分性:因为 ,而 非退化,所以
即在过渡矩阵 下,矩阵 化为 ,由式 1 ,可知 正定。
证毕!
2. 雅可比方法
定义 3 顺序主子式
称为矩阵 的
顺序主子式。 称为
的 阶顺序主子式。且约定
定理 2 雅可比方法
设 以 为矩阵的实二次型, 的所有顺序主子式都不为 9。那么,必有空间 的基底 ,使得 具有规范形式
证明:
- 对 的矢量空间 ,命题显然成立。
- 假设对 的矢量空间 ,命题成立。设 是矢量空间 的初始基底, 是其上以 为矩阵的二次型,考查 维子空间
设 是 在 上的限制,则型 的矩阵 是由 去掉最后一行与最后一列得到的,故据条件,它的顺序主子式 都不为 0。由归纳假设,在 中必有一基底 ,使得对
上式相当于,对与 配极的双线性型 :
个未知量 的 个齐次方程组
必 在 中有非零解,设为 。向量组 必构成 的一基底,因为否则
意味着只能 ,那么
矛盾。
确定矢量 可以精确到其坐标,由式 13 , 所在的解空间至少是 1 维的(对应 个线性函数 线性无关的情形),即在确定 坐标的时候,至少有一个坐标分量可任选,而 一旦选定,其在初始基底下的坐标分量就确定了,也即过渡矩阵得到确定。设基底 到 的过渡矩阵为 ,于是我们可以令
来确定这一任一性(亦可从式 13 和式 16 关于 个未知数 个方程看出)。
设 是线性型 在 下的矩阵,于是
于是
于是,二次型在基底 下就为式 9 的形式。
根据数学归纳法,命题得证!
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