欧几里得空间

                     

贡献者: 零穹

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预备知识 仿射空间,欧几里得矢量空间

   有了欧几里得矢量空间和仿射空间之后,终于可以更加贴近于我们所处的 3 维物理空间.简单来说,欧几里得空间就是与欧几里得矢量空间相伴随的仿射空间.在它上面,可以获得高中时候早就熟知的各种几何图景,比如直角坐标系,线段,线线夹角等概念.不同的是,这里是更一般的空间,其维度不止于 3 维空间.

1. 欧几里得空间

定义 1 欧几里得空间

   称仿射空间 $(\mathbb E,V)$ 是个欧几里得(点)空间,如果 $V$ 是欧几里得矢量空间.并把 $V$ 的维数称为欧几里得空间的维数

定义 2 点点距离

   欧几里得空间 $(\mathbb E,V)$ 中,函数 $\rho:\mathbb E\times\mathbb E\rightarrow\mathbb R$:

\begin{equation} \rho(\dot p,\dot q):= \left\lVert \overrightarrow{pq} \right\rVert =\sqrt{(\overrightarrow{pq}|\overrightarrow{pq})} \end{equation}
称为点点之间的距离函数

   也就是说,欧几里得空间是个三元组 $(\mathbb E,V,\rho)$.

   由矢量内积的性质,距离函数有以下性质;

  1. 对称性:$\rho(\dot p,\dot q)=\rho(\dot q,\dot p)$;
  2. 正定性:$\rho(\dot p,\dot q)\geq 0$ 且 $\rho(\dot p,\dot q)= 0\Leftrightarrow\dot p=\dot q$;
  3. 三角不等式:$\rho(\dot p,\dot q)+\rho(\dot q,\dot r)\geq\rho(\dot p,\dot r)$

   为方便起见,过点 $\dot p,\dot q$ 之间的直线(式 4 )记作 $\Pi_{\dot p\dot q}$.

定义 3 线线夹角

   矢量 $\overrightarrow{pq}$ 和 $\overrightarrow{rs}$ 之间的夹角 $\varphi$

\begin{equation} \cos\varphi=\frac{(\overrightarrow{pq}|\overrightarrow{rs})}{ \left\lVert \overrightarrow{pq} \right\rVert \cdot \left\lVert \overrightarrow{rs} \right\rVert } \end{equation}
称为直线 $\Pi_{\dot p\dot q}$ 和 $\Pi_{\dot r\dot s}$ 之间的夹角

定义 4 直角坐标系

   在欧几里得空间 $(\mathbb E,V)$ 中,称坐标系 $\{\dot o; \boldsymbol{\mathbf{e_1}} ,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e_n}} \}$ 为直角坐标系,如果 $ \boldsymbol{\mathbf{e_1}} ,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e_n}} $ 是矢量空间 $V$ 中的一个标准正交基底:$( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i| \boldsymbol{\mathbf{e}} _j)=\delta_{ij}$.其中,$n$ 为 $V$ 的维数.

例 1 

   在直角坐标系中,若点 $\dot p,\dot q$ 的坐标分别为 $x_1,\cdots,x_n$ 和 $y_1,\cdots,y_n$,则 $\overrightarrow{pq}$ 坐标为 $y_1-x_1,\cdots,y_n-x_n$(定理 3 ).于是,点 $\dot p,\dot q$ 距离为(式 16

\begin{equation} \rho(\dot p,\dot q)=\sqrt{ \left\lVert \sum_{i}(y_i-x_i) \boldsymbol{\mathbf{e}} _i \right\rVert ^2}=\sqrt{\sum_{i}(y_i-x_i)^2 \left\lVert \boldsymbol{\mathbf{e}} _i \right\rVert ^2}=\sqrt{\sum_{i}(y_i-x_i)^2} \end{equation}

定义 5 线段,中点

   称集合

\begin{equation} \dot p\dot q=\{\dot p+\lambda\overrightarrow{pq}|0\leq\lambda\leq1\} \end{equation}
是仿射空间中连接点 $\dot p,\dot q$ 的线段.满足条件 $\overrightarrow{pr}=\overrightarrow{rq}$ 的点 $\dot r\in\dot p\dot q$ 称为线段 $\dot p\dot q$ 的中点.而
\begin{equation} \left\lvert \dot p\dot q \right\rvert := \left\lVert \overrightarrow{pq} \right\rVert \end{equation}
称为线段的长度

例 2 

   试证明:$\dot p\dot q=\dot q\dot p$.

   证明:

\begin{equation} \begin{aligned} \dot p\dot q&=\{\dot p+\lambda\overrightarrow{pq}|0\leq\lambda\leq1\}\\ &=\{\dot q+(1-\lambda)\overrightarrow{qp}|0\leq\lambda\leq1\}\\ &=\{\dot q+\lambda'\overrightarrow{qp}|0\leq\lambda'\leq1\}=\dot q\dot p \end{aligned} \end{equation}

定义 6 点面距离,垂线

   设 $\dot q$ 是平面 $\Pi$ 上一点,称直线 $\Pi_{\dot p\dot q}$ 垂直于平面 $\Pi$,记作 $\Pi_{\dot p\dot q}\perp\Pi$.若

\begin{equation} \forall \dot r,\dot s\in\Pi\Rightarrow (\overrightarrow{pq}|\overrightarrow{rs})=0 \end{equation}
此时,称 $\rho(\dot p,\dot q)$ 是点 $\dot p$ 到平面 $\Pi$ 的距离.而 $\dot p,\dot q$ 之间的线段 $\dot p\dot q$ 就称为点 $\dot p$ 在 $\Pi$ 上的垂线,记为 $\dot p\dot q\perp\Pi$.

   显然,当 $\dot p\in\Pi$ 是,$\Pi_{\dot p\dot q}$ 不可能垂直于 $\Pi$.因为 $(\overrightarrow{pq}|\overrightarrow{pq}) > 0,\dot p\neq \dot q$,而当 $\dot p=\dot q$ 时,由直线定义(定义 1 ),$\{\dot p+\lambda\dot q|\lambda\in \mathbb R\}=\{\dot p\}$ 是个点,并不是直线.


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