贡献者： addis
1. 流，流量
单位时间流经某个截面的某种物理量叫流（current）。最常见的例子是电流，即单位时间流经某截面的电荷量，用极限定义为
\begin{equation}
I = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta q}{\Delta t}~.
\end{equation}
注意流的大小一般与所选择截面的位置，方向，面积都有关系。我们也可以把电荷 $q$ 替换成其他物理量如质量、能量、粒子数，分别得到质量流、能流、粒子流。
一段时间内流经截面的某种物理量的总量就叫做流量，流量是时间 $t$ 的函数，所以由导数 的定义，流是流量关于时间的导数。反之，流量是流在某段时间的定积分。
\begin{equation}
\Delta q = \int_{t_1}^{t_2} I(t) \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{equation}
2. 流密度
流密度（current density）可以用于描述某时刻流体在的空间流动的速率。我们以水流为例，在一条河流或管道中，某时刻 $t$ 在空间中任意一点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 处，都对应一个水流速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $，如果我们在该点放置一个与速度垂直的微小截面（通常叫面元），令其面积为 $\Delta S$，在一段微小时间 $\Delta t$ 内流经截面的质量为 $\Delta m$，那么质量流密度（mass current density）可以用极限定义为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} \lim_{\Delta S, \Delta t \to 0} \frac{\Delta m}{\Delta S \Delta t}~,
\end{equation}
其中 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} $ 表示面元正方向法向量或者面元处流体的速度方向。流密度是一个关于位置的矢量函数，即矢量场
。
式 3 中的质量可以替换为不同的物理量，若替换为能量则称为
能流密度，若是粒子数则称为
粒子流密度，若是电荷量则称为
电流密度，等等。
我们也可以根据密度和速度来定义流密度
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) \boldsymbol{\mathbf{v}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)~.
\end{equation}
其中密度定义为（质量同样可以替换成其他物理量）
\begin{equation}
\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \lim_{\Delta V\to 0} \frac{\Delta m}{\Delta V}~.
\end{equation}
的定义和
式 3 是等效的，因为时间 $\Delta t$ 内流经 $\Delta S$ 的体积为 $\Delta V = \Delta S \cdot v \Delta t$，代入
式 5 再代入
式 4 就得到了
式 3 。
3. 流密度与流
我们来讨论如何通过流密度来计算流。通过例 1 和面积分（通量）的定义（式 1 ），易得流密度作为矢量场在某截面上的通量就是该截面的流：
\begin{equation}
I(t) = \int \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } ~.
\end{equation}
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