流、流密度

贡献者： addis

预备知识 1　矢量场

1. 流，流量

　　单位时间流经某个截面的某种物理量叫流（current）。最常见的例子是电流，即单位时间流经某截面的电荷量，用极限定义为

\begin{matrix} (1) & I = lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ q}{Δ t} . \end{matrix}

注意流的大小一般与所选择截面的位置，方向，面积都有关系。我们也可以把电荷

q

替换成其他物理量如质量、能量、粒子数，分别得到质量流、能流、粒子流。

　　一段时间内流经截面的某种物理量的总量就叫做流量，流量是时间 $t$ 的函数，所以由导数的定义，流是流量关于时间的导数。反之，流量是流在某段时间的定积分。

\begin{matrix} (2) & Δ q = \int_{t_{1}}^{t_{2}} I (t) d t . \end{matrix}

2. 流密度

　　 流密度（current density）可以用于描述某时刻流体在的空间流动的速率。我们以水流为例，在一条河流或管道中，某时刻 $t$ 在空间中任意一点 $r$ 处，都对应一个水流速度 $v$ ，如果我们在该点放置一个与速度垂直的微小截面（通常叫面元），令其面积为 $Δ S$ ，在一段微小时间 $Δ t$ 内流经截面的质量为 $Δ m$ ，那么质量流密度（mass current density）可以用极限定义为

\begin{matrix} (3) & j (r, t) = \hat{n} lim_{Δ S, Δ t \to 0} \frac{Δ m}{Δ S Δ t}, \end{matrix}

其中

\hat{n}

表示面元正方向法向量或者面元处流体的速度方向。流密度是一个关于位置的矢量函数，即矢量场。式 3 中的质量可以替换为不同的物理量，若替换为能量则称为能流密度，若是粒子数则称为粒子流密度，若是电荷量则称为电流密度，等等。

　　我们也可以根据密度和速度来定义流密度

\begin{matrix} (4) & j (r, t) = ρ (r, t) v (r, t) . \end{matrix}

其中密度定义为（质量同样可以替换成其他物理量）

\begin{matrix} (5) & ρ (r, t) = lim_{Δ V \to 0} \frac{Δ m}{Δ V} . \end{matrix}

式 4 的定义和式 3 是等效的，因为时间

Δ t

内流经

Δ S

的体积为

Δ V = Δ S \cdot v Δ t

，代入式 5 再代入式 4 就得到了式 3 。

3. 流密度与流

预备知识 2　曲面积分通量

　　我们来讨论如何通过流密度来计算流。通过例 1 和面积分（通量）的定义（式 1 ），易得流密度作为矢量场在某截面上的通量就是该截面的流：

\begin{matrix} (6) & I (t) = \int j (r, t) d s . \end{matrix}

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