流 流密度

             

预备知识 矢量场

1. 流,流量

   单位时间流经某个截面的某种物理量叫流(current).最常见的例子是电流,即单位时间流经某截面的电荷量,用极限定义为

\begin{equation} I = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta q}{\Delta t} \end{equation}
注意流的大小一般与所选择截面的位置,方向,面积都有关系.我们也可以把电荷 $q$ 替换成其他物理量如质量、能量、粒子数,分别得到质量流、能流、粒子流.

   一段时间内流经截面的某种物理量的总量就叫做流量,流量是时间 $t$ 的函数,所以由导数 的定义,流是流量关于时间的导数.反之,流量是流在某段时间的定积分

\begin{equation} \Delta q = \int_{t_1}^{t_2} I(t) \,\mathrm{d}{t} \end{equation}

2. 流密度

   流密度(current density)可以用于描述某时刻流体在的空间流动的速率.我们以水流为例,在一条河流或管道中,某时刻 $t$ 在空间中任意一点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 处,都对应一个水流速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $,如果我们在该点放置一个与速度垂直的微小截面(通常叫面元),令其面积为 $\Delta S$,在一段微小时间 $\Delta t$ 内流经截面的质量为 $\Delta m$,那么质量流密度(mass current density)可以用极限定义为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} \lim_{\Delta S, \Delta t \to 0} \frac{\Delta m}{\Delta S \Delta t} \end{equation}
其中 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} $ 表示面元正方向法向量或者面元处流体的速度方向.流密度是一个关于位置的矢量函数,即矢量场式 3 中的质量可以替换为不同的物理量,若替换为能量则称为能流密度,若是粒子数则称为粒子流密度,若是电荷量则称为电流密度,等等.

   我们也可以根据密度和速度来定义流密度

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) \boldsymbol{\mathbf{v}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) \end{equation}
其中密度定义为(质量同样可以替换成其他物理量)
\begin{equation} \rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \lim_{\Delta V\to 0} \frac{\Delta m}{\Delta V} \end{equation}
式 4 的定义和式 3 是等效的,因为时间 $\Delta t$ 内流经 $\Delta S$ 的体积为 $\Delta V = \Delta S \cdot v \Delta t$,代入式 5 再代入式 4 就得到了式 3

3. 流密度与流

预备知识 曲面积分 通量

   我们来讨论如何通过流密度来计算流.通过例 1 和面积分(通量)的定义(式 1 ),易得流密度作为矢量场在某截面上的通量就是该截面的流:

\begin{equation} I(t) = \int \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \end{equation}

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