真空中的平面电磁波

                     

贡献者: ACertainUser; addis

预备知识 电场波动方程

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图
图 1:平面电磁波的电磁场分布.注意该例子中,电场矢量与 $x, y$ 坐标无关,并占据整个空间(图片来自维基百科).一个可动的模型(站外链接)

1. 波函数

   $ \boldsymbol{\mathbf{E}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 均为矢量场,即电场 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 或磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 均是关于空间与时间的矢量函数 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} = \boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t), \boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)$.

   完全类似于机械波,电磁波的波函数的通解可以写为一组平面简谐波的线性组合.

三角形式

   平面电磁波为

\begin{align} & \boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \boldsymbol{\mathbf{E}} _0 \cos\left( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t + \varphi_0\right) \\ & \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \boldsymbol{\mathbf{B}} _0 \cos\left( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t + \varphi_0\right) \end{align}

   $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 的各分量即为 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} = \begin{pmatrix} E_{x0} \cos\left( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t+ \varphi_{x0}\right) \\ E_{y0} \cos\left( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t+ \varphi_{y0}\right) \\ E_{z0} \cos\left( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t+ \varphi_{z0}\right) \\ \end{pmatrix} $

   请注意,$ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 各分量的初相位可以不同,并且之间没有直接的约束关系.这一点没有很好地反映在式 1 中.

复指数形式

   或写为复数形式.复数形式的波函数更便于求导、相乘等计算,并在某些情况下是必不可少的数学工具(但也更难懂).最终 “实际存在的场” 是他的实数部分 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} = \operatorname{Re} (\tilde { \boldsymbol{\mathbf{E}} })$

\begin{align} \tilde { \boldsymbol{\mathbf{E}} } = \tilde { \boldsymbol{\mathbf{E}} _0} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ( \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t)}\\ \tilde { \boldsymbol{\mathbf{B}} } = \tilde { \boldsymbol{\mathbf{B}} _0} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ( \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t)}\\ \end{align}

   $\tilde { \boldsymbol{\mathbf{E}} _0}$ 表明 $\tilde { \boldsymbol{\mathbf{E}} _0}$ 是一个复矢量,即它的各分量是一个复数.$\tilde { \boldsymbol{\mathbf{E}} _0}$ 包括了初相位信息,写为分量形式即为 $ \tilde { \boldsymbol{\mathbf{E}} _0} = \begin{pmatrix} E_{x0} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \varphi_{x0}}\\ E_{y0} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \varphi_{x0}}\\ E_{z0} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \varphi_{x0}}\\ \end{pmatrix} $.同理,$\tilde { \boldsymbol{\mathbf{E}} }$ 写为分量形式即为 $\tilde { \boldsymbol{\mathbf{E}} } = \begin{pmatrix} E_{x0} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ( \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t + \varphi_{x0})}\\ E_{y0} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ( \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t + \varphi_{y0})}\\ E_{z0} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ( \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t + \varphi_{z0})}\\ \end{pmatrix} $

2. 电磁波基本结论

波速

   波速等于真空中的光速 $c$,且

\begin{equation} c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0\mu_0}} = 299,792,458 \,\mathrm{m/s} \end{equation}

波的性质

电场与磁场

   电磁波中电场与磁场二者不是相互独立的,而是互相紧密关联.在一点处的电场与磁场满足:

\begin{equation} \tilde { \boldsymbol{\mathbf{B}} _0} = \frac{1}{\omega} \boldsymbol{\mathbf{k}} \times \tilde { \boldsymbol{\mathbf{E}} _0} \end{equation}
由此,可推导出以下结论:

   可见,只要知道了 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $,就能很快确定同一处的 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $.

   部分推导可见 “电场波动方程

能量密度

预备知识 电场的能量,磁场的能量

   任意一点的瞬时能量密度为

\begin{equation} \rho_E = \frac{1}{2} \left(\epsilon_0 E^2 + \frac{B^2}{\mu_0} \right) = \epsilon_0 E^2 \end{equation}
虽然磁场 “数值上” 小于电场强度;但能量上,电场和磁场的能量相同,各贡献总能量一半.

   (一个周期内的)平均能量密度

\begin{equation} \bar \rho_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 \end{equation}

   平均能流密度(光强)为

\begin{equation} I = c \bar \rho_E = \frac12 c\epsilon_0 E_0^2 \end{equation}
另一个基于坡印廷矢量的推导见例 1


1. ^ 参考 [19] 相关章节与周磊教授的讲义


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