真空中的平面电磁波

贡献者： ACertainUser; addis

预备知识 1　电场波动方程

图 1：平面电磁波的电磁场分布。注意该例子中，电场矢量与 $x, y$ 坐标无关，并占据整个空间（图片来自维基百科）.一个可动的模型（站外链接）

1. 波函数

　　 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 均为矢量场，即电场 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 或磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 均是关于空间与时间的矢量函数 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} = \boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t), \boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)$。

　　完全类似于机械波，电磁波的波函数的通解可以写为一组平面简谐波的线性组合。

三角形式

　　平面电磁波为

\begin{equation} \begin{aligned} & \boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \boldsymbol{\mathbf{E}} _0 \cos\left( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t + \varphi_0\right) ~,\\ & \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \boldsymbol{\mathbf{B}} _0 \cos\left( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t + \varphi_0\right) ~. \end{aligned} \end{equation}

　　 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 的各分量即为 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} = \begin{pmatrix} E_{x0} \cos\left( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t+ \varphi_{x0}\right) \\ E_{y0} \cos\left( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t+ \varphi_{y0}\right) \\ E_{z0} \cos\left( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t+ \varphi_{z0}\right) \end{pmatrix}~. $

　　请注意，$ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 各分量的初相位可以不同，并且之间没有直接的约束关系。这一点没有很好地反映在式 1 中。

复指数形式

　　或写为复数形式。复数形式的波函数更便于求导、相乘等计算，并在某些情况下是必不可少的数学工具（但也更难懂）。最终 “实际存在的场” 是他的实数部分 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} = \operatorname{Re} (\tilde { \boldsymbol{\mathbf{E}} })$

\begin{equation} \begin{aligned} &\tilde { \boldsymbol{\mathbf{E}} } = \tilde { \boldsymbol{\mathbf{E}} _0} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ( \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t)}~,\\ &\tilde { \boldsymbol{\mathbf{B}} } = \tilde { \boldsymbol{\mathbf{B}} _0} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ( \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t)}~. \end{aligned} \end{equation}

　　 $\tilde { \boldsymbol{\mathbf{E}} _0}$ 表明 $\tilde { \boldsymbol{\mathbf{E}} _0}$ 是一个复矢量，即它的各分量是一个复数。$\tilde { \boldsymbol{\mathbf{E}} }_0$ 包括了初相位信息，写为分量形式即为 $ \tilde { \boldsymbol{\mathbf{E}} _0} = \begin{pmatrix} E_{x0} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \varphi_{x0}}\\ E_{y0} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \varphi_{x0}}\\ E_{z0} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \varphi_{x0}}\\ \end{pmatrix} $。同理，$\tilde { \boldsymbol{\mathbf{E}} }$ 写为分量形式即为 $\tilde { \boldsymbol{\mathbf{E}} } = \begin{pmatrix} E_{x0} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ( \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t + \varphi_{x0})}\\ E_{y0} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ( \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t + \varphi_{y0})}\\ E_{z0} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ( \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t + \varphi_{z0})}\\ \end{pmatrix}~. $

2. 电磁波基本结论

波速

　　波速等于真空中的光速 $c$，且

\begin{equation} c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0\mu_0}} = 299,792,458 \,\mathrm{m/s} ~. \end{equation}

波的性质

$ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 被称为波矢，他的方向是电磁波的传播方向。
“色散关系”：$k^2=\frac{\omega^2}{c^2}$。
$k=\frac{2\pi}{\lambda}$, $\omega=\frac{2\pi}{T}, c=\frac{\lambda}{T}$
电磁波是横波：即在电磁场传播方向 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 上没有电场、磁场的分量。$ \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} = 0$ (如果 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _0$ 中存在平行于 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 的分量，那么 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} \ne 0$，违反麦克斯韦方程，所以二者必须垂直)

电场与磁场

　　电磁波中电场与磁场二者不是相互独立的，而是互相紧密关联。在一点处的电场与磁场满足：

\begin{equation} \tilde { \boldsymbol{\mathbf{B}} }_0 = \frac{1}{\omega} \boldsymbol{\mathbf{k}} \times \tilde{ \boldsymbol{\mathbf{E}} }_0 ~. \end{equation}

由此，可推导出以下结论：

$ \boldsymbol{\mathbf{E}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} , \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 互相垂直，且成右手螺旋关系。见图 1 右侧
$ \boldsymbol{\mathbf{E}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0, \boldsymbol{\mathbf{E}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} \parallel \boldsymbol{\mathbf{k}} $，$ \boldsymbol{\mathbf{k}} \times \boldsymbol{\mathbf{E}} \parallel \boldsymbol{\mathbf{B}} , ...$。
$ \left\lvert E_0 \right\rvert =c \left\lvert B_0 \right\rvert $

　　可见，只要知道了 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $，就能很快确定同一处的 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $。

　　部分推导可见 “电场波动方程”

能量密度

预备知识 2　电场的能量，磁场的能量

　　任意一点的瞬时能量密度为

\begin{equation} \rho_E = \frac{1}{2} \left(\epsilon_0 E^2 + \frac{B^2}{\mu_0} \right) = \epsilon_0 E^2~. \end{equation}

虽然磁场 “数值上” 小于电场强度；但能量上，电场和磁场的能量相同，各贡献总能量一半。

　　（一个周期内的）平均能量密度

\begin{equation} \bar \rho_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2~. \end{equation}

　　平均能流密度（光强）为

\begin{equation} I = c \bar \rho_E = \frac12 c\epsilon_0 E_0^2~. \end{equation}

另一个基于坡印廷矢量的推导见例 1

1. ^ 参考 [1] 相关章节与周磊教授的讲义。

[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。