真空中的平面电磁波

             

预备知识 电场波动方程
图
图 1:平面电磁波的电磁场分布.注意于电磁场矢量与 $x, y$ 坐标无关,并占据整个空间(图片来自维基百科)

  1平面电磁波为

\begin{align} & \boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \boldsymbol{\mathbf{E}} _0 \cos\left( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t\right) \\ & \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \boldsymbol{\mathbf{B}} _0 \cos\left( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t\right) \end{align}
其中 $\omega = c \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rvert = ck$.而通解是这些平面波的任意线性组合.注意如果 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _0$ 中存在平行于 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 的分量,那么 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} \ne 0$,所以二者必须垂直,即 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{k}} = 0$. 平面电磁波如图 1 所示.同一位置处电场与磁感互相垂直,且模长长比例
\begin{equation} \left\lvert E( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \right\rvert = c \left\lvert B( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \right\rvert \end{equation}
方向满足 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{E}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{B}}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} $.可见电磁波是横波.推导见 “电场波动方程”.

1. 能量密度

预备知识 电场的能量,磁场的能量

   任意一点的能量密度为

\begin{equation} \rho_E = \frac{1}{2} \left(\epsilon_0 E^2 + \frac{B^2}{\mu_0} \right) = \epsilon_0 E^2 \end{equation}
其中电场和磁场各贡献一般.平均能流密度(光强)为
\begin{equation} I = \frac12 c\epsilon_0 E_0^2 \end{equation}
推导见例 1 ,也可以认为瞬时能流密度等于能量密度乘以波速 $c$,对于简谐波,需要除以二得平均值.

   波速等于真空中的光速 $c$,且

\begin{equation} c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0\mu_0}} = 299,792,458 \,\mathrm{m/s} \end{equation}


1. ^ 参考 [15] 相关章节.

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