曲面积分、通量

贡献者： addis

预备知识　矢量场，二重积分，曲面的法向量

　　我们先来看一个例子

例 1　匀速水流场的流量

图 1：匀速水流场的流量

　　水流中各点的速度可以看做一个矢量场 $v (r)$ ，假设 $v (r) = v_{0}$ 是一个常矢量。在矢量场中取一个平面，平面的法向量与 $v_{0}$ 的夹角为 $θ$ ，在平面上选一个面积为 $S$ 的区域，求单位时间通过该区域的水流的体积。

　　先来考虑 $θ = 0$ 的情况，在 $Δ t$ 时间内，流过区域的水是一个柱体，其底面积为 $S$ ，高为 $v_{0} Δ t$ ，所以体积为 $v_{0} S Δ t$ ，所以单位时间的体积等于流速乘以面积 $v_{0} S$ 。

　　我们再来考虑 $θ \neq 0$ 的情况， $Δ t$ 时间内流过区域的水是一个斜柱体，由图 1 可知其体积等于横截面积 $S \cos θ$ 乘以斜边长度 $v_{0} Δ t$ 即 $V = v_{0} S \cos θ Δ t$ ，所以单位时间流过的体积为 $v_{0} S \cos θ$ 。可见随着 $θ$ 增大，流量变小，直到 $θ = π / 2$ 时流量为 $0$ 。

　　现在试想速度场 $v (r)$ 不是常矢量，且有限的平面改为有限的曲面，要计算单位时间流过曲面的体积，我们可以先将曲面划分成无穷多个小曲面，每个曲面上的流速看做常矢量，再按照上述的办法计算并求和即可。

　　现在我们来定义一个矢量场在一个曲面上的曲面积分¹（或通量）。假设矢量场与曲面都处处光滑，令矢量场为 $F (r)$ ，给曲面定义一个正方向，并将曲面划分为许多面积为 $Δ S_{i}$ 的小面元，令其法向量为 ${\hat{n}}_{i}$ （与曲面正方向同侧），则一块面元可以表示为 $Δ S_{i} = Δ S_{i} {\hat{n}}_{i}$ 。当面元很小时可以假设其内部的矢量场为常矢量 $F (r_{i})$ ，则面积分被定义为

\begin{matrix} (1) & \int F (r) \cdot d S = lim_{Δ S_{i} \to 0} \sum_{i} F (r_{i}) \cdot Δ S_{i} . \end{matrix}

1. 直角坐标系中的曲面积分

　　直角坐标系中的曲面可以表示为 $f (x, y, z) = 0$ 其法向量 $\hat{n} (x, y, z)$ 等于 $\pm \nabla f (x, y, z)$ 归一化。令矢量场为 $F (x, y, z)$ ，应如何具体计算曲面积分呢？

　　以下我们来讨论曲面可以表示为 $z = g (x, y)$ 的情况²。将曲面沿 $x, y$ 方向划分成许多面元，使每个面元在 $x, y$ 平面上的投影都是一个小长方形，面积为 $Δ x_{i}, Δ y_{j}$ ，面元上任意一点的坐标为 $[x_{i}, y_{j}, g (x_{i}, y_{j})]$ 。面元面积与投影面积的关系为 $Δ S_{i j} \cos θ = Δ x_{i} Δ y_{j}$ ，其中 $θ$ 是面元的法向量与 $z$ 轴的夹角，所以 $\cos θ = \hat{n} \hat{z} = n_{z}$ 。所以，矢量场在每个面元上的通量为

\begin{matrix} (2) & F (r_{i j}) \cdot Δ S_{i j} = (\frac{n_{x}}{n_{z}} F_{x} + \frac{n_{y}}{n_{z}} F_{y} + F_{z}) Δ x_{i} Δ y_{j}, \end{matrix}

其中

\hat{n}, F

的个分量在

[x_{i}, y_{j}, g (x_{i}, y_{j})]

处取值。

　　由式 1 的定义，曲面积分为

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} \int F (r) \cdot d S & = lim_{\begin{array}{c} Δ x_{i} \to 0 \\ Δ y_{i} \to 0 \end{array}} \sum_{i j} F (r_{i j}) \cdot Δ S_{i j} \\ = \iint \frac{n_{x}}{n_{z}} F_{x} d x d y + \iint \frac{n_{y}}{n_{z}} F_{y} d x d y + \iint F_{z} d x d y . \end{aligned} \end{matrix}

这样，我们就把曲面积分转换成了三个二重积分。这三个二重积分分别等于矢量场的三个分量对曲面通量的贡献。特殊地，若曲面方程可以记为

z = g_{1} (x, y), x = g_{2} (y, z), y = g_{3} (x, z)

中的任意一种形式，我们也可以将曲面积分记为

\begin{matrix} (4) & \int F (r) \cdot d S = \iint F_{x} d y d z + \iint F_{y} d x d z + \iint F_{z} d x d y . \end{matrix}

例 2　

　　求场 $F (r) = r$ 在曲面（正方向向上） $z = x^{2} + y^{2} (x, y \in [- 1, 1])$ 上的通量。

　　我们先求曲面的法向量，令 $f (x, y, z) = x^{2} + y^{2} - z$ ，则法向量的方向为 $\nabla f = (2 x, 2 y, - 1)$ 由于曲面的正方向向上，我们将 $\nabla f$ 取相反数然后归一化得到法向量

\begin{matrix} (5) & \hat{n} = \frac{- 2 x}{\sqrt{4 x^{2} + 4 y^{2} + 1}} \hat{x} + \frac{- 2 y}{\sqrt{4 x^{2} + 4 y^{2} + 1}} \hat{y} + \frac{1}{\sqrt{4 x^{2} + 4 y^{2} + 1}} \hat{z} . \end{matrix}

将上式和

F (r) = x \hat{x} + y \hat{y} + z \hat{z}

代入式 3 得

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} \int F (r) \cdot d S & = - \iint 2 x^{2} d x d y - \iint 2 y^{2} d x d y + \iint (x^{2} + y^{2}) d x d y \\ = - {\frac{4}{3} x^{3} |}_{- 1}^{1} - {\frac{4}{3} y^{3} |}_{- 1}^{1} + {\frac{2}{3} x^{3} |}_{- 1}^{1} + {\frac{2}{3} y^{3} |}_{- 1}^{1} = - \frac{8}{3} . \end{aligned} \end{matrix}

1. ^ 简称面积分，这时需要通过语境与 “二重积分” 区分开。
2. ^ 如果不能表示为 $z = g (x, y)$ ，但可以表示为 $x = g (y, z)$ 或 $y = g (x, z)$ ，以下过程也类似。

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曲面积分、通量

例 1 匀速水流场的流量

1. 直角坐标系中的曲面积分

例 2

例 1　匀速水流场的流量

例 2　