伯努利方程

贡献者： addis; ACertainUser

本文缺少预备知识，初学者可能会遇到困难。

　　伯努利方程是关于不可压缩的流体的方程。¹

　　假设液体不可被压缩、没有粘滞性、与管壁也没有摩擦阻力，那么处处满足伯努利方程

\begin{matrix} (1) & \frac{v^{2}}{2} + g z + \frac{p}{ρ} = 常数 . \end{matrix}

其中

g

是重力加速度，

z

是高度，

p

是液体的压强，

ρ

是液体的密度

　　可以根据伯努利原理设计液体测速计等设备。

推导

图 1：伯努利方程的推导 (参考相关页面)

　　²如图，一根管子的粗细不同两部分的横截面面积分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，压强分别为 $p_{1}, p_{2}$ ，高度分别为 $h_{1}, h_{2}$ ；其中流过的液体密度为 $ρ$ ，管内流速分布不随时间变化，在 1,2 两处的速度分别为 $v_{1}, v_{2}$ 。

　　考虑 $A_{1}, A_{2}$ 之间的这段液体，假设一段 $Δ t$ 时间内，起左端和右端分别移动了 $s_{1}, s_{2}$ 。根据不可压缩的假设，流入水管的水量等于流出水管的水量， $A_{1} v_{1} Δ t = A_{2} v_{2} Δ t = V$ ，即 $m 1 = m 2$ 。这个过程中这段液体的机械能改变了多少呢？机械能包括动能和重力势能。由于中间深蓝色的部分的机械能保持不变，所以可以等效视为 1 处的一小截液体移动到了 2 处。

　　浅蓝色的两段液体的机械能为

\begin{matrix} (2) & E_{1} = \frac{1}{2} m v_{1}^{2} + m g h_{1}, E_{2} = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} + m g h_{2}, \end{matrix}

所以

A_{1}, A_{2}

间的液体在时间

Δ t

内机械能增量为

E_{2} - E_{1}

。

　　再考虑液体压力的做功。 $A_{1}, A_{2}$ 之间的液体向右移动时， $A_{1}$ 处的压强对其做正功， $A_{2}$ 处的压强对其做负功。

\begin{matrix} (3) & W_{1} = p_{1} v_{1} A_{1} Δ t = p_{1} V, W_{2} = - p_{2} v_{2} A_{2} Δ t = - p_{2} V, \end{matrix}

根据机械能定理

W_{1} + W_{2} = E_{2} - E_{1}

，代入得

\begin{matrix} (4) & p_{1} V + \frac{1}{2} m v_{1}^{2} + m g h_{1} = p_{2} V + \frac{1}{2} m v_{2}^{2} + m g h_{2} . \end{matrix}

事实上 1，2 的位置可以任意选取，因此任意位置都有

\begin{matrix} (5) & p V + \frac{1}{2} m v^{2} + m g h = 常数, \end{matrix}

两边同除以

V ρ

有

\begin{matrix} (6) & \frac{p}{ρ} + \frac{v^{2}}{2} + g h = 常数 . \end{matrix}

未完成：这样的推导如何拓展到开放空间的情况呢？举例：水龙头下的乒乓球，香蕉球，机翼，两张纸中间吹气

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。
2. ^ 推导过程还参考了安宇教授等的《大学物理》课程

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。