伯努利方程

             

  • 本词条处于草稿阶段.

  1不可压缩流体的方程.

\begin{equation} \frac{v^2}{2} + gz + \frac{p}{\rho} = \text{常数} \end{equation}
其中 $g$ 是重力加速度,$z$ 是高度,$p$ 是压强,$\rho$ 是液体的密度(液体不可压缩,是常数).

1. 推导

   如图,一根管子的粗细不同两部分的横截面面积分别为 $A_1, A_2$,压强分别为 $p_1, p_2$,速度分别为 $v_1, v_2$.

   穿过横截面 $i = 1, 2$ 的功率分别为

\begin{equation} P_i = p_i A_i v_i + \frac{1}{2} (\rho v_i A_i) v_i^2 + \rho v_i A_i g z_i \end{equation}
而且我们要求
\begin{equation} P_1 = P_2 \end{equation}

   另外由于液体不可压缩,有

\begin{equation} A_1v_1 = A_2 v_2 \end{equation}
所以式 3 两边同时除以 $\rho v_i A_i$ 得
\begin{equation} \frac{v_1^2}{2} + gz_1 + \frac{p_1}{\rho} = \frac{v_2^2}{2} + gz_2 + \frac{p_2}{\rho} \end{equation}

  

未完成:这样的推导如何拓展到开放空间的情况呢?举例:水龙头下的乒乓球,香蕉球,机翼,两张纸中间吹气


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面

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