伯努利方程

                     

贡献者: addis; ACertainUser

   伯努利方程是关于不可压缩的流体的方程.1

   假设液体不可被压缩、没有粘滞性、与管壁也没有摩擦阻力,那么处处满足伯努利方程

\begin{equation} \frac{v^2}{2} + gz + \frac{p}{\rho} = \text{常数} \end{equation}
其中 $g$ 是重力加速度,$z$ 是高度,$p$ 是液体的压强,$\rho$ 是液体的密度

   可以根据伯努利原理设计液体测速计等设备.

推导

图
图 1:伯努利方程的推导 (参考相关页面)

  2如图,一根管子的粗细不同两部分的横截面面积分别为 $A_1, A_2$,压强分别为 $p_1, p_2$,高度分别为 $h_1, h_2$;其中流过的液体密度为 $\rho$,管内流速分布不随时间变化,在 1,2 两处的速度分别为 $v_1, v_2$.

   考虑 $A_1, A_2$ 之间的这段液体,假设一段 $\Delta t$ 时间内,起左端和右端分别移动了 $s_1, s_2$. 根据不可压缩的假设,流入水管的水量等于流出水管的水量,$A_1v_1\Delta t=A_2v_2\Delta t=V$,即 $m1=m2$.这个过程中这段液体的机械能改变了多少呢?机械能包括动能和重力势能.由于中间深蓝色的部分的机械能保持不变,所以可以等效视为 1 处的一小截液体移动到了 2 处.

   浅蓝色的两段液体的机械能为

\begin{equation} E_1=\frac{1}{2}mv_1^2+mgh_1, \qquad E_2=\frac{1}{2}mv_2^2+mgh_2 \end{equation}
所以 $A_1,A_2$ 间的液体在时间 $\Delta t$ 内机械能增量为 $E_2 - E_1$.

   再考虑液体压力的做功.$A_1,A_2$ 之间的液体向右移动时,$A_1$ 处的压强对其做正功,$A_2$ 处的压强对其做负功.

\begin{equation} W_1=p_1v_1A_1\Delta t=p_1V, \qquad W_2=-p_2v_2A_2 \Delta t=-p_2V \end{equation}
根据机械能定理 $W_1 + W_2 = E_2 - E_1$,代入得
\begin{equation} p_1V+\frac{1}{2}mv_1^2+mgh_1=p_2V+\frac{1}{2}mv_2^2+mgh_2 \end{equation}
事实上 1,2 的位置可以任意选取,因此任意位置都有
\begin{equation} pV+\frac{1}{2}mv^2+mgh=\text{常数} \end{equation}
两边同除以 $V\rho$ 有
\begin{equation} \frac{p}{\rho} + \frac{v^2}{2} + gh = \text{常数} \end{equation}

  

未完成:这样的推导如何拓展到开放空间的情况呢?举例:水龙头下的乒乓球,香蕉球,机翼,两张纸中间吹气


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面
2. ^ 推导过程还参考了安宇教授等的《大学物理》课程


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