二体系统

             

预备知识 自由度,动量定理

   我们现在考虑两个仅受相互作用的质点 $A$ 和 $B$,它们的质量分别为 $m_A$ 和 $m_B$.由于不受系统外力,在任何惯性系中它们的质心都会做匀速直线运动(式 2 ).所以系统的质心参考系是一个惯性系,以下我们选取质心参考系,系统的质心将一直处于原点.

   现在定义它们的相对位矢(也叫相对坐标)为点 $A$ 指向点 $B$ 的矢量

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{R}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} _B - \boldsymbol{\mathbf{r}} _A \end{equation}
且定义相对速度相对加速度分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 的导数 $\dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }$ 和二阶导数 $\ddot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }$. 在质心系中观察,由于质心始终处于原点,两质点的位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _A$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _B$ 满足
\begin{equation} m_A \boldsymbol{\mathbf{r}} _A + m_B \boldsymbol{\mathbf{r}} _B = \boldsymbol{\mathbf{0}} \end{equation}
联立式 1 式 2 可以发现在质心系中 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} _A, \boldsymbol{\mathbf{r}} _B$ 间始终存在一一对应的关系(共线且模长呈固定比例),所以质心系中不受外力的二体系统只有三个自由度
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} _A = \frac{-m_B}{m_A + m_B} \boldsymbol{\mathbf{R}} \qquad \boldsymbol{\mathbf{r}} _B = \frac{m_A}{m_A + m_B} \boldsymbol{\mathbf{R}} \end{equation}

1. 运动方程

   现在令质点 $A$ 对 $B$ 的作用力为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $(与 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 同向),则由牛顿第三定律,$B$ 对 $A$ 有反作用力 $- \boldsymbol{\mathbf{F}} $.两质点加速度分别为(牛顿第二定律)$ \boldsymbol{\mathbf{a}} _A = - \boldsymbol{\mathbf{F}} /m_A$,$ \boldsymbol{\mathbf{a}} _B = \boldsymbol{\mathbf{F}} /m_B$.所以相对加速度为

\begin{equation} \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } = \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_B - \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_A = \frac{m_A+m_B}{m_Am_B} \boldsymbol{\mathbf{F}} \end{equation}
若定义两质点的约化质量
\begin{equation} \mu = \frac{m_A m_B}{m_A + m_B} \end{equation}
且将上式两边同乘约化质量,我们得到相对位矢的牛顿第二定律
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} = \mu\ddot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } \end{equation}
也就是说,在质心系中使用相对位矢,二体系统的运动规律就相当于单个质量为 $\mu$,位矢为 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 的质点的运动规律,我们姑且将其称为等效质点.而 $A$ 对 $B$ 的作用力可以看成等效质点的受力.

例 1 两天体圆周运动

   令质量分别为 $m_1$ 和 $m_2$ 的天体距离为 $R$,在万有引力作用下绕质心做圆周运动,求角速度 $\omega$.

   解:两天体之间的引力大小为(式 1

\begin{equation} F = \frac{Gm_1m_2}{R^2} \end{equation}
如果不使用等效质点的概念,我们可以先用式 3 得到两个天体做圆周运动的半径,然后再令引力等于其中一个天体的向心力
\begin{equation} F = m_1 \omega^2 r_1 \end{equation}
也可以不求 $r_1, r_2$,直接使用等效天体的圆周运动向心力
\begin{equation} F = \mu \omega^2 R \end{equation}
易得以上两式是等效的,解得
\begin{equation} \omega = \sqrt{\frac{G(m_1 + m_2)}{R^3}} \end{equation}

2. 机械能

   再来看系统的动能.令 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \dot { \boldsymbol{\mathbf{R}} }$,使用式 3 把系统在质心系中的总动能用相对位矢表示得

\begin{equation} E_k = \frac12 (m_A \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_A^2 + m_B \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_B^2) = \frac12 \frac{m_A m_B}{m_A + m_B} { \boldsymbol{\mathbf{v}} }^2 = \frac12 \mu { \boldsymbol{\mathbf{v}} }^2 \end{equation}
这恰好是等效质点动能.

   若两质点间的相互作用力的大小只是二者距离 $R = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{R}} \right\rvert $ 的函数,我们可以用一个标量函数 $F(R)$ 来表示力与距离的关系,即

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{R}} ) = F(R) \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} \end{equation}
注意 $F(R) > 0$ 时两质点存在斥力,$F(R) < 0$ 时存在引力.

   根据 “势能” 中的式 20 ,我们可以定义势能函数 $V(R)$ 为 $F(R)$ 的一个负原函数.现在写出二体系统在质心系中的机械能为

\begin{equation} E = \frac12 \mu \dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }^2 + V(R) \end{equation}
由于系统不受外力,机械能守恒.

3. 动量守恒

   在质心系中,两质点的总动量恒为零,动量守恒.令它们的动量分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} _A$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} _B$,有

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{p}} _B = m_B \dot { \boldsymbol{\mathbf{r}} }_B = \mu \boldsymbol{\mathbf{v}} \end{equation}
令等效质点的动量为 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} = \mu \boldsymbol{\mathbf{v}} $,则
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{p}} = \boldsymbol{\mathbf{p}} _B = - \boldsymbol{\mathbf{p}} _A \end{equation}
即等效质点的动量等于质点 $B$ 的动量或质点 $A$ 动量的逆矢量.

4. 角动量守恒

   由式 15 可得二体系统总角动量为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} _A \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} _A + \boldsymbol{\mathbf{r}} _B \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} _B = \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} \end{equation}
即二体系统的总角动量等于等效质点的角动量.

   如果两个质点之间的相互作用力沿它们连线的方向,那么所有两个力都经过质心,即都不受任何力矩,所以系统角动量守恒.

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