二体系统

贡献者： addis

预备知识　自由度，动量定理，质心系

　　我们现在考虑两个仅受相互作用的质点 $A$ 和 $B$ ，它们的质量分别为 $m_{A}$ 和 $m_{B}$ 。由于不受系统外力，在任何惯性系中它们的质心都会做匀速直线运动（式 2 ）。所以系统的质心参考系（子节 1 ）是一个惯性系，以下我们选取质心参考系，系统的质心将一直处于原点。

　　现在定义它们的相对位矢（也叫相对坐标）为点 $A$ 指向点 $B$ 的矢量

\begin{matrix} (1) & R = r_{B} - r_{A}, \end{matrix}

且定义相对速度和相对加速度分别为

R

关于时间的导数

\dot{R}

和二阶导数

\ddot{R}

。在质心系中观察，两质点的位矢

r_{A}

和

r_{B}

满足（式 1 ）

\begin{matrix} (2) & m_{A} r_{A} + m_{B} r_{B} = 0 . \end{matrix}

联立式 1 和式 2 可以发现在质心系中

R, r_{A}, r_{B}

间始终存在一一对应的关系（共线且模长比例固定），所以质心系中不受外力的二体系统只有三个自由度

\begin{matrix} (3) & r_{A} = \frac{- m_{B}}{m_{A} + m_{B}} R, r_{B} = \frac{m_{A}}{m_{A} + m_{B}} R . \end{matrix}

1. 运动方程

　　现在令质点 $A$ 对 $B$ 的作用力为 $F$ （与 $R$ 同向），则由牛顿第三定律， $B$ 对 $A$ 有反作用力 $- F$ 。两质点加速度分别为（牛顿第二定律） $a_{A} = - F / m_{A}$ ， $a_{B} = F / m_{B}$ 。所以相对加速度为

\begin{matrix} (4) & \ddot{R} = {\ddot{r}}_{B} - {\ddot{r}}_{A} = \frac{m_{A} + m_{B}}{m_{A} m_{B}} F . \end{matrix}

若定义两质点的约化质量（reduced mass）为

\begin{matrix} (5) & μ = \frac{m_{A} m_{B}}{m_{A} + m_{B}}, \end{matrix}

且将上式两边同乘约化质量，我们得到相对位矢的牛顿第二定律

\begin{matrix} (6) & F = μ \ddot{R} . \end{matrix}

也就是说，在质心系中使用相对位矢，二体系统的运动规律就相当于单个质量为

μ

，位矢为

R

的质点的运动规律，我们姑且将其称为等效质点。而

A

对

B

的作用力可以看成等效质点的受力。

例 1　两天体圆周运动

　　令质量分别为 $m_{1}$ 和 $m_{2}$ 的天体距离为 $R$ ，在万有引力作用下绕质心做圆周运动，求角速度 $ω$ 。

　　解：两天体之间的引力大小为（式 1 ）

\begin{matrix} (7) & F = \frac{G m_{1} m_{2}}{R^{2}} . \end{matrix}

如果不使用等效质点的概念，我们可以先用式 3 得到两个天体做圆周运动的半径，然后再令引力等于其中一个天体的向心力

\begin{matrix} (8) & F = m_{1} ω^{2} r_{1} . \end{matrix}

也可以不求

r_{1}, r_{2}

，直接使用等效天体的圆周运动向心力

\begin{matrix} (9) & F = μ ω^{2} R, \end{matrix}

易得以上两式是等效的，解得

\begin{matrix} (10) & ω = \sqrt{\frac{G (m_{1} + m_{2})}{R^{3}}} . \end{matrix}

2. 机械能

　　再来看系统的动能。令 $v = \dot{R}$ ，使用式 3 把系统在质心系中的总动能用相对位矢表示得

\begin{matrix} (11) & E_{k} = \frac{1}{2} (m_{A} {\dot{r}}_{A}^{2} + m_{B} {\dot{r}}_{B}^{2}) = \frac{1}{2} \frac{m_{A} m_{B}}{m_{A} + m_{B}} v^{2} = \frac{1}{2} μ v^{2}, \end{matrix}

这恰好是等效质点动能。

　　若两质点间的相互作用力的大小只是二者距离 $R = | R |$ 的函数，我们可以用一个标量函数 $F (R)$ 来表示力与距离的关系，即

\begin{matrix} (12) & F (R) = F (R) \hat{R} . \end{matrix}

注意

F (R) > 0

时两质点存在斥力，

F (R) < 0

时存在引力。

　　根据 “势能” 中的式 20 ，我们可以定义势能函数 $V (R)$ 为 $F (R)$ 的一个负原函数。现在写出二体系统在质心系中的机械能为

\begin{matrix} (13) & E = \frac{1}{2} μ {\dot{R}}^{2} + V (R) . \end{matrix}

由于系统不受外力，机械能守恒。

3. 动量守恒

　　在质心系中，两质点的总动量恒为零，动量守恒（式 2 ）。令它们的动量分别为 $p_{A}$ 和 $p_{B}$ ，有

\begin{matrix} (14) & p_{B} = m_{B} {\dot{r}}_{B} = μ v, \end{matrix}

令等效质点的动量为

p = μ v

，则

\begin{matrix} (15) & p = p_{B} = - p_{A} . \end{matrix}

即等效质点的动量等于质点

B

的动量或质点

A

动量的逆矢量。

4. 角动量守恒

　　由式 15 可得二体系统总角动量为

\begin{matrix} (16) & L = r_{A} \times p_{A} + r_{B} \times p_{B} = R \times p . \end{matrix}

即二体系统的总角动量等于等效质点的角动量。

　　如果两个质点之间的相互作用力沿它们连线的方向，那么所有两个力都经过质心，即都不受任何力矩，所以系统角动量守恒。