二体系统

贡献者： addis

预备知识　自由度，动量定理，质心系

　　我们现在考虑两个仅受相互作用的质点 $A$ 和 $B$，它们的质量分别为 $m_A$ 和 $m_B$。由于不受系统外力，在任何惯性系中它们的质心都会做匀速直线运动（式 2 ）。所以系统的质心参考系（子节 1 ）是一个惯性系，以下我们选取质心参考系，系统的质心将一直处于原点。

　　现在定义它们的相对位矢（也叫相对坐标）为点 $A$ 指向点 $B$ 的矢量

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{R}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} _B - \boldsymbol{\mathbf{r}} _A~, \end{equation}

且定义相对速度和相对加速度分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 关于时间的导数 $\dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }$ 和二阶导数 $\ddot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }$。在质心系中观察，两质点的位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _A$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _B$ 满足（式 1 ）

\begin{equation} m_A \boldsymbol{\mathbf{r}} _A + m_B \boldsymbol{\mathbf{r}} _B = \boldsymbol{\mathbf{0}} ~. \end{equation}

联立式 1 和式 2 可以发现在质心系中 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} _A, \boldsymbol{\mathbf{r}} _B$ 间始终存在一一对应的关系（共线且模长比例固定），所以质心系中不受外力的二体系统只有三个自由度

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} _A = \frac{-m_B}{m_A + m_B} \boldsymbol{\mathbf{R}} ~,\qquad \boldsymbol{\mathbf{r}} _B = \frac{m_A}{m_A + m_B} \boldsymbol{\mathbf{R}} ~. \end{equation}

1. 运动方程

　　现在令质点 $A$ 对 $B$ 的作用力为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $（与 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 同向），则由牛顿第三定律，$B$ 对 $A$ 有反作用力 $- \boldsymbol{\mathbf{F}} $。两质点加速度分别为（牛顿第二定律）$ \boldsymbol{\mathbf{a}} _A = - \boldsymbol{\mathbf{F}} /m_A$，$ \boldsymbol{\mathbf{a}} _B = \boldsymbol{\mathbf{F}} /m_B$。所以相对加速度为

\begin{equation} \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } = \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_B - \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_A = \frac{m_A+m_B}{m_Am_B} \boldsymbol{\mathbf{F}} ~. \end{equation}

若定义两质点的约化质量（reduced mass）为

\begin{equation} \mu = \frac{m_A m_B}{m_A + m_B}~, \end{equation}

且将上式两边同乘约化质量，我们得到相对位矢的牛顿第二定律

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} = \mu\ddot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }~. \end{equation}

也就是说，在质心系中使用相对位矢，二体系统的运动规律就相当于单个质量为 $\mu$，位矢为 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 的质点的运动规律，我们姑且将其称为等效质点。而 $A$ 对 $B$ 的作用力可以看成等效质点的受力。

例 1　两天体圆周运动

　　令质量分别为 $m_1$ 和 $m_2$ 的天体距离为 $R$，在万有引力作用下绕质心做圆周运动，求角速度 $\omega$。

　　解：两天体之间的引力大小为（式 1 ）

\begin{equation} F = \frac{Gm_1m_2}{R^2}~. \end{equation}

如果不使用等效质点的概念，我们可以先用式 3 得到两个天体做圆周运动的半径，然后再令引力等于其中一个天体的向心力

\begin{equation} F = m_1 \omega^2 r_1~. \end{equation}

也可以不求 $r_1, r_2$，直接使用等效天体的圆周运动向心力

\begin{equation} F = \mu \omega^2 R~, \end{equation}

易得以上两式是等效的，解得

\begin{equation} \omega = \sqrt{\frac{G(m_1 + m_2)}{R^3}}~. \end{equation}

2. 机械能

　　再来看系统的动能。令 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \dot { \boldsymbol{\mathbf{R}} }$，使用式 3 把系统在质心系中的总动能用相对位矢表示得

\begin{equation} E_k = \frac12 (m_A \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_A^2 + m_B \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_B^2) = \frac12 \frac{m_A m_B}{m_A + m_B} { \boldsymbol{\mathbf{v}} }^2 = \frac12 \mu { \boldsymbol{\mathbf{v}} }^2~, \end{equation}

这恰好是等效质点动能。

　　若两质点间的相互作用力的大小只是二者距离 $R = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{R}} \right\rvert $ 的函数，我们可以用一个标量函数 $F(R)$ 来表示力与距离的关系，即

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{R}} ) = F(R) \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} ~. \end{equation}

注意 $F(R)>0$ 时两质点存在斥力，$F(R)<0$ 时存在引力。

　　根据 “势能” 中的式 20 ，我们可以定义势能函数 $V(R)$ 为 $F(R)$ 的一个负原函数。现在写出二体系统在质心系中的机械能为

\begin{equation} E = \frac12 \mu \dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }^2 + V(R)~. \end{equation}

由于系统不受外力，机械能守恒。

3. 动量守恒

　　在质心系中，两质点的总动量恒为零，动量守恒（式 2 ）。令它们的动量分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} _A$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} _B$，有

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{p}} _B = m_B \dot { \boldsymbol{\mathbf{r}} }_B = \mu \boldsymbol{\mathbf{v}} ~, \end{equation}

令等效质点的动量为 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} = \mu \boldsymbol{\mathbf{v}} $，则

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{p}} = \boldsymbol{\mathbf{p}} _B = - \boldsymbol{\mathbf{p}} _A~. \end{equation}

即等效质点的动量等于质点 $B$ 的动量或质点 $A$ 动量的逆矢量。

4. 角动量守恒

　　由式 15 可得二体系统总角动量为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} _A \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} _A + \boldsymbol{\mathbf{r}} _B \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} _B = \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} ~. \end{equation}

即二体系统的总角动量等于等效质点的角动量。

　　如果两个质点之间的相互作用力沿它们连线的方向，那么所有两个力都经过质心，即都不受任何力矩，所以系统角动量守恒。