用极值点大致确定函数图像

             

预备知识 导数与函数的极值

   许多时候,我们可以通过函数极值点的位置以及种类确定函数的大致图像.

例 1 

   求以下函数的极值点,并判断该函数的大致图像

\begin{equation} f(x) = a + \frac{b}{2} x^2 - \frac{c}{4} x^4 + \frac{d}{6} x^6 \quad (a,b,c,d > 0) \end{equation}

图
图 1:导数 $f'(x)$ 与原函数 $f(x)$

   先对函数求导,得

\begin{equation} f'(x) = bx - c x^3 + d x^5 \end{equation}
这是一个 $5$ 次多项式,最多可能有五个零点.但由于多项式只有奇数项,不难解出可能的根.
\begin{equation} bx + c x^3 + d x^5 = x[b + c(x^2) + d(x^2)^2 ] \end{equation}
所以其中一个解是 $x = 0$,而 $b + c(x^2) + d (x^2)^2$ 是关于 $x^2$ 的二次方程,当判别式 $\Delta = c^2 - 4bd$ 大于零时,$x^2$ 存在两个大小不等的正根,姑且记为 $x_1^2$ 和 $x_1^2$,$x_1 < x_2$. 此时五个根分别为 $0, \pm x_1, \pm x_2$.
\begin{equation} f'(x) = d \cdot x (x^2 - x_2^2) (x^2 - x_2^2) = d \cdot x (x + x_1)(x - x_1)(x + x_1)(x - x_2) \end{equation}
由于 $d > 0$,可以大致画出 $f'(x)$ 图像如图 1 (下).

   用二阶导数判断分类.若二阶导数为正,则是极小值,若为负,则是极大值,若为零,则是鞍点.

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