正则系综法

             

贡献者: _Eden_

  • 本词条处于草稿阶段.

   正则系综的分布函数可以通过让系统与一个大热源接触来导出.考虑将待研究的系统和一个温度恒定为 $T$ 的大热源1接触.我们想要研究,当两者达到平衡时,系统处于某一量子态 $S$ 的概率 $\rho_S$.我们很快将发现,这个几率只和系统处于该量子态时的能量有关:即

\begin{equation} \rho_S=\frac{1}{Z}\exp \left(-\beta E_S \right) \end{equation}
其中 $Z$ 为归一化常数,使得 $\sum_S \rho_S=1$.我们称 $Z$ 为正则系综的配分函数,它由下式给出($S$ 遍历所有量子态):
\begin{equation} Z=\sum_S \exp \left(-\beta E_S \right) \end{equation}
一旦得到了系统的配分函数,系统的一切平衡态热力学性质都可以由配分函数导出.注意这里的配分函数是系统的,而不是词条中采用的单粒子配分函数.而本文中采用的系统配分函数,可以推广到更普遍的情况,如气体分子间有相互作用势的情况.

   对于近独立子系,系统的总能量 $E$ 可以表示成所有粒子的能量之和.于是

\begin{equation} \rho_S= \exp\left(-\beta E_S\right) =\prod_{i=1}^N \exp\left(-\beta\epsilon_i\right) \end{equation}
如果再假设系统是定域的,即粒子间是可分辨的(不用考虑全同粒子假设),那么每个粒子分别处于某个量子态,对应整个系统的一个量子态 $S$.配分函数可写为:
\begin{equation} \begin{aligned} Z&=\sum_S \exp\left(-\beta E_S\right) = \left(\sum_{l} \exp\left(-\beta\epsilon_{l1}\right) \right) \cdots \left(\sum_{l} \exp\left(-\beta\epsilon_{lN}\right) \right) \\ &= \left(\prod_{l} \exp\left(-\beta\epsilon_{l}\right) \right) ^N=Z_1^N \end{aligned} \end{equation}
这说明,对于定域的近独立子系,系统的配分函数就是 $N$ 个单粒子配分函数的乘积.只要我们证明了正则系综的分布 式 1 ,玻尔兹曼分布就可以作为它的简单推论了式 8 .不仅如此,我们还可以用正则系综来推导量子气体的分布,给出有相互作用势气体的分布,还可以给出系统偏离最概然分布的概率.

1. 正则系综分布的推导

  

未完成:未完成


1. ^ 即热容为无穷大的系统.


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

         

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利