正则系综法
贡献者： _Eden_
正则系综的分布函数可以通过让系统与一个大热源接触来导出．考虑将待研究的系统和一个温度恒定为 $T$ 的大热源1接触．我们想要研究，当两者达到平衡时，系统处于某一量子态 $S$ 的概率 $\rho_S$．我们很快将发现，这个几率只和系统处于该量子态时的能量有关：即
\begin{equation}
\rho_S=\frac{1}{Z}\exp \left(-\beta E_S \right)
\end{equation}
其中 $Z$ 为归一化常数，使得 $\sum_S \rho_S=1$．我们称 $Z$ 为正则系综的配分函数，它由下式给出（$S$ 遍历所有量子态）：
\begin{equation}
Z=\sum_S \exp \left(-\beta E_S \right)
\end{equation}
一旦得到了系统的配分函数，系统的一切平衡态热力学性质都可以由配分函数导出
．注意这里的配分函数是系统的，而不是词条
中采用的单粒子配分函数．而本文中采用的系统配分函数，可以推广到更普遍的情况，如气体分子间有相互作用势的情况．
对于近独立子系，系统的总能量 $E$ 可以表示成所有粒子的能量之和．于是
\begin{equation}
\rho_S= \exp\left(-\beta E_S\right) =\prod_{i=1}^N \exp\left(-\beta\epsilon_i\right)
\end{equation}
如果再假设系统是定域的，即粒子间是可分辨的（不用考虑全同粒子假设），那么每个粒子分别处于某个量子态，对应整个系统的一个量子态 $S$．配分函数可写为：
\begin{equation}
\begin{aligned}
Z&=\sum_S \exp\left(-\beta E_S\right) = \left(\sum_{l} \exp\left(-\beta\epsilon_{l1}\right) \right) \cdots \left(\sum_{l} \exp\left(-\beta\epsilon_{lN}\right) \right) \\
&= \left(\prod_{l} \exp\left(-\beta\epsilon_{l}\right) \right) ^N=Z_1^N
\end{aligned}
\end{equation}
这说明，对于定域的近独立子系，系统的配分函数就是 $N$ 个单粒子配分函数的乘积．只要我们证明了正则系综的分布
式 1 ，玻尔兹曼分布就可以作为它的简单推论了
式 8 ．不仅如此，我们还可以用正则系综来推导量子气体的分布，给出有相互作用势气体的分布，还可以给出系统偏离最概然分布的概率．
1. 正则系综分布的推导
未完成：未完成
1. ^ 即热容为无穷大的系统．
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