理想气体（微正则系综法）
当理想气体处于某个能量 $E$ 时，相空间只是位置相空间（$3N$ 维）以及动量相空间中的一个球表面（$3N-1$ 维）．这个 $6N - 1$ 维相空间中的体积除以 $h^{3N}$（式 3 ）就可以作为熵公式中的 $\Omega$，得
\begin{equation}
S(E, V, N) = k\ln \Omega = Nk \left(\ln \frac{V}{N\lambda^3} + \frac52 \right)
\end{equation}
该式被称为
Sackur-Tetrode 公式．其中
\begin{equation}
\lambda = \frac{h}{\sqrt{4\pi mE/(3N)}} = \frac{h}{\sqrt{2\pi mkT}}
\end{equation}
也用到了 Stirling 近似 $\ln N! = N\ln N - N$．
根据熵的微分关系
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{S} = \frac{1}{T} \,\mathrm{d}{E} + \frac{P}{T} \,\mathrm{d}{V} - \frac{\mu}{T} \,\mathrm{d}{N}
\end{equation}
所以对 $S$ 求三个偏导得
\begin{equation}
T = \frac{2E}{3Nk}
\end{equation}
\begin{equation}
P = NkT/V
\end{equation}
\begin{equation}
\mu = kT \ln \frac{N\lambda^3}{V}
\end{equation}
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