理想气体（微正则系综法）

贡献者： addis; _Eden_

本文处于草稿阶段。

预备知识　理想气体的熵：纯微观分析，热力学关系式

　　在微正则系综中，计算体系的熵的方式是，计算能壳 $E \sim E + Δ E$ 内系统能级的个数，也就是微观状态数，再利用玻尔兹曼公式 $S = k \ln Ω$ 求解体系的熵。可以将微观状态数除以 $Δ E$ 来忽略能壳厚度对计算结果的影响。经过一系列计算¹，能量为 $E$ ，粒子数为 $N$ ，体积为 $V$ 的理想气体的熵的公式（式 19 ）为

\begin{matrix} (1) & S (E, V, N) = k \ln Ω = N k (\ln \frac{V}{N λ^{3}} + \frac{5}{2}), \end{matrix}

该式被称为 Sackur-Tetrode 公式。其中

\begin{matrix} (2) & λ = \frac{h}{\sqrt{4 π m E / (3 N)}} = \frac{h}{\sqrt{2 π m k T}}, \end{matrix}

1. 理想气体的热力学量

　　微正则系综的精神是，从熵公式出发，利用熵的微分关系得到各个热力学量——温度、压强、化学势，从而可以利用麦克斯韦关系计算其他的热力学势，这样理论所就能推出平衡态热力学系统的一切信息。

　　根据熵的微分关系

\begin{matrix} (3) & d S = \frac{1}{T} d E + \frac{P}{T} d V - \frac{μ}{T} d N . \end{matrix}

所以对

S

求三个偏导得

\begin{matrix} (4) & T = \frac{2 E}{3 N k}, \end{matrix}

\begin{matrix} (5) & P = N k T / V, \end{matrix}

\begin{matrix} (6) & μ = k T \ln \frac{N λ^{3}}{V} . \end{matrix}

1. ^ 具体计算过程可以参考。

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