理想气体(微正则系综法)

             

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预备知识 理想气体的状态密度(相空间)

   当理想气体处于某个能量 $E$ 时,相空间只是位置相空间($3N$ 维)以及动量相空间中的一个球表面($3N-1$ 维).这个 $6N - 1$ 维相空间中的体积除以 $h^{3N}$(式 3 )就可以作为熵公式中的 $\Omega$,得

\begin{equation} S(E, V, N) = k\ln \Omega = Nk \left(\ln \frac{V}{N\lambda^3} + \frac52 \right) \end{equation}
该式被称为 Sackur-Tetrode 公式.其中
\begin{equation} \lambda = \frac{h}{\sqrt{4\pi mE/(3N)}} = \frac{h}{\sqrt{2\pi mkT}} \end{equation}
式 1 也用到了 Stirling 近似 $\ln N! = N\ln N - N$.

   根据熵的微分关系

\begin{equation} \,\mathrm{d}{S} = \frac{1}{T} \,\mathrm{d}{E} + \frac{P}{T} \,\mathrm{d}{V} - \frac{\mu}{T} \,\mathrm{d}{N} \end{equation}
所以对 $S$ 求三个偏导得
\begin{equation} T = \frac{2E}{3Nk} \end{equation}
\begin{equation} P = NkT/V \end{equation}
\begin{equation} \mu = kT \ln \frac{N\lambda^3}{V} \end{equation}

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