量子气体（巨正则系宗）

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预备知识　近独立子系，巨正则系综法

本文处于草稿阶段。

　　假设 $N$ 个玻色子（不可区分）之间没有互相作用，每个粒子具有能级 $ε_{i}$ （这里先假设每个粒子都只有 $m$ 个能级而不是无穷多个，最后再说明 $m \to \infty$ 时成立）。化学势为 $μ$ ，则巨配分函数为

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} Ξ & = \sum_{N = 0}^{\infty} \sum_{{n_{i}}}^{*} e^{(N μ - ε_{i}) β} = \sum_{N = 0}^{\infty} \sum_{{n_{i}}}^{*} z^{N} \exp (- β \sum_{i}^{m} n_{i} ε_{i}) \\ = \sum_{N = 0}^{\infty} \sum_{{n_{i}}}^{*} (\prod_{i = 1}^{\infty} z^{n_{i}}) (\prod_{i = 1}^{\infty} (e^{- β ε_{i}})^{n_{i}}) = \sum_{N = 0}^{\infty} \sum_{{n_{i}}}^{*} \prod_{i = 1}^{\infty} (z e^{- β ε_{i}})^{n_{i}} . \end{aligned} \end{matrix}

其中

\sum_{{n_{i}}}^{*}

求和时，由于同一个能级上的玻色子数量不限，限制条件仅为

\sum_{i}^{m} n_{i} = N

（对于费米子，由于不相容原理，要求

\sum_{i}^{m} n_{i} = N

以及

n_{i} ⩽ 1

）。

　　巨正则系综的最大优势就是可以利用关系

\begin{matrix} (2) & \sum_{N = 0}^{\infty} \sum_{{n_{i}}}^{*} (\dots) = \sum_{n_{1} = 0}^{\infty} \sum_{n_{2} = 0}^{\infty} \dots \sum_{m = 0}^{\infty} (\dots) . \end{matrix}

于是

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} Ξ & = \sum_{N = 0}^{\infty} \sum_{{n_{i}}}^{*} \prod_{i = 1}^{\infty} {(z e^{- β ε_{i}})}^{n_{i}} = \sum_{n_{1} = 0}^{\infty} \sum_{n_{2} = 0}^{\infty} \dots \sum_{n_{m} = 0}^{\infty} \prod_{i = 1}^{\infty} {(z e^{- β ε_{i}})}^{n_{i}} \\ = \sum_{n_{1} = 0}^{\infty} (z e^{- β ε_{1}})^{n_{1}} \sum_{n_{2} = 0}^{\infty} (z e^{- β ε_{2}})^{n_{2}} \dots \sum_{n_{m} = 0}^{\infty} (z e^{- β ε_{m}})^{n_{m}} \\ = \prod_{i = 1}^{m} \sum_{n_{i}}^{\infty} (z e^{- β ε_{i}})^{n_{i}} . \end{aligned} \end{matrix}

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