Bohr-Sommerfeld 原子模型

             

预备知识 玻尔原子模型,定积分

  1本文使用原子单位制.Sommerfeld 模型和玻尔原子模型一样属于量子力学发展早期的半经典原子模型,它对玻尔模型进行了改进,能更好地符合一些实验结果(如塞曼效应).玻尔模型假设电子以圆形轨道绕原子核旋转,而 Sommerfeld 模型使用椭圆轨道.为了简单我们同样先假设原子核固定不动,要考虑原子核运动使用相对坐标和约化质量即可.

   Sommerfeld 模型中,轨道量子化的条件有两个

\begin{equation} L = l \end{equation}
\begin{equation} \oint m\dot r \,\mathrm{d}{r} = kh \end{equation}
其中 $L$ 是轨道角动量的模长,$l, k$ 是正整数,$h$ 是普朗克常数(原子单位制下等于 $2\pi$),$r$ 是电子到原子核的距离,$\dot r$ 表示 $r$ 的时间导数,$\oint$ 表示对椭圆轨道的一周环积分.

   根据这两个量子化条件,可以由量子数 $k, l$ 唯一地确定椭圆轨道的形状和大小,可以证明轨道总能量为

\begin{equation} E = -\frac{Z^2}{2n^2} \end{equation}
其中
\begin{equation} n = l + k \end{equation}
注意由于 $k$ 是正整数,$l$ 必须满足 $0 < l < n$.

1. 数值验证

   下面来验证式 3 式 4 符合量子化条件式 2 .这是一个中心力场问题,把式 14 式 1 代入式 2

\begin{equation} 2\int_{a-c}^{a+c} \sqrt{2m \left(E + \frac{Z}{r} - \frac{l^2}{2mr^2} \right) } \,\mathrm{d}{r} = kh \end{equation}
注意式 2 中的环积分可以被替换为两个相等的积分,即从椭圆轨道的近日点 $a-c$ 积分到远日点 $a+c$(详见 “椭圆的三种定义”),在从远日点积分到近日点2.在开普勒问题中,椭圆的离心率 $e$ 和参数 $a, c$ 可以用能量和角动量表示(式 4 式 5
\begin{equation} e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{mZ^2}} \qquad a = \frac{Z}{2 \left\lvert E \right\rvert } \end{equation}
式 3 式 4 式 6 代入式 5 ,若等式两边对所有的 $l,k > 0$ 成立则说明满足量子化条件.由于该积分较为复杂,我们姑且用 Matlab 进行数值积分(连接未完成).注意原子单位中 $h = 2\pi$.
l = 2; k = 1; n = l + k;
Z = 1; h = 2*pi;
E = -Z^2/(2*n^2);
me = 1;
a = abs(k)/(2*abs(E)); b = l/sqrt(2*me*abs(E));
c = sqrt(a^2 - b^2);
f = @(r)real(sqrt(2*me*(E + Z./r - l^2./(2*me*r.^2))));
r = linspace(a-c, a+c, 500);
figure; plot(r, f(r));
I = 2*integral(f, a - c, a + c);
rel_err = (I - h*k)/(h*k);
disp('relative error =');
disp(rel_err);
运行结果:
relative error =
  1.4136e-16
读者也可以把 $k, l$ 替换成其他正整数进行验证.


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面
2. ^ “近日点” 和 “远日点” 是开普勒问题中的习惯叫法,无论中心是天体还是原子核.

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