Bohr-Sommerfeld 原子模型

贡献者： addis

预备知识　玻尔原子模型，环积分

　　¹Bohr-Sommerfeld 模型（以下简称 Sommerfeld 模型）和玻尔原子模型一样属于量子力学发展早期的半经典原子模型，它对玻尔模型进行了改进，能更好地符合一些实验结果（如塞曼效应）。玻尔模型假设电子以圆形轨道绕原子核旋转，而 Sommerfeld 模型使用椭圆轨道。为了简单我们同样先假设原子核固定不动，要考虑原子核运动使用相对坐标和约化质量即可。

　　 Sommerfeld 模型中，轨道量子化的条件有两个

\begin{matrix} (1) & L = l, \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & \oint m \dot{r} d r = k h . \end{matrix}

其中

L

是轨道角动量的模长，

l, k

是正整数，

h

是普朗克常数（原子单位制下等于

2 π

），

r

是电子到原子核的距离，

\dot{r}

表示

r

的时间导数，

\oint

表示延椭圆轨道的环积分。

　　根据这两个量子化条件，可以由量子数 $k, l$ 唯一地确定椭圆轨道的形状和大小，可以证明轨道总能量为

\begin{matrix} (3) & E = - \frac{Z^{2}}{2 n^{2}} . \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (4) & n = l + k . \end{matrix}

注意由于

k

是正整数，

l

必须满足

0 < l < n

。

1. 数值验证

　　下面来验证式 3 ，式 4 符合量子化条件式 2 。这是一个中心力场问题，把式 14 和式 1 代入式 2 得

\begin{matrix} (5) & 2 \int_{a - c}^{a + c} \sqrt{2 m (E + \frac{Z}{r} - \frac{l^{2}}{2 m r^{2}})} d r = k h . \end{matrix}

注意式 2 中的环积分可以被替换为两个相等的积分，即从椭圆轨道的近日点

a - c

积分到远日点

a + c

（详见 “椭圆的”），在从远日点积分到近日点²。在开普勒问题中，椭圆的离心率

e

和参数

a, c

可以用能量和角动量表示（式 4 ，式 5 ）

\begin{matrix} (6) & e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 + \frac{2 E L^{2}}{m Z^{2}}}, a = \frac{Z}{2 | E |} . \end{matrix}

把式 3 ，式 4 和式 6 代入式 5 ，若等式两边对所有的

l, k > 0

成立则说明满足量子化条件。由于该积分较为复杂，我们姑且用 Matlab 进行数值积分。注意原子单位中

h = 2 π

。

　　以下给出 Matlab 代码：

l = 2; k = 1; n = l + k;
Z = 1; h = 2*pi;
E = -Z^2/(2*n^2);
me = 1;
a = abs(k)/(2*abs(E)); b = l/sqrt(2*me*abs(E));
c = sqrt(a^2 - b^2);
f = @(r)real(sqrt(2*me*(E + Z./r - l^2./(2*me*r.^2))));
r = linspace(a-c, a+c, 500);
figure; plot(r, f(r));
I = 2*integral(f, a - c, a + c);
rel_err = (I - h*k)/(h*k);
disp('relative error =');
disp(rel_err);

运行结果：

relative error =
  1.4136e-16

读者也可以把

k, l

替换成其他正整数进行验证。

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。
2. ^ “近日点” 和 “远日点” 是开普勒问题中的习惯叫法，无论中心是天体还是原子核。

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