Bohr-Sommerfeld 原子模型
贡献者: addis
本文使用原子单位制。
1Bohr-Sommerfeld 模型(以下简称 Sommerfeld 模型)和玻尔原子模型一样属于量子力学发展早期的半经典原子模型,它对玻尔模型进行了改进,能更好地符合一些实验结果(如塞曼效应)。玻尔模型假设电子以圆形轨道绕原子核旋转,而 Sommerfeld 模型使用椭圆轨道。为了简单我们同样先假设原子核固定不动,要考虑原子核运动使用相对坐标和约化质量即可。
Sommerfeld 模型中,轨道量子化的条件有两个
其中 是轨道角动量的模长, 是正整数, 是普朗克常数(原子单位制下等于 ), 是电子到原子核的距离, 表示 的时间导数, 表示延椭圆轨道的
环积分。
根据这两个量子化条件,可以由量子数 唯一地确定椭圆轨道的形状和大小,可以证明轨道总能量为
其中
注意由于 是正整数, 必须满足 。
1. 数值验证
下面来验证式 3 ,式 4 符合量子化条件式 2 。这是一个中心力场问题,把式 14 和式 1 代入式 2 得
注意
式 2 中的环积分可以被替换为两个相等的积分,即从椭圆轨道的近日点 积分到远日点 (详见 “
椭圆的”),在从远日点积分到近日点
2。在开普勒问题中,椭圆的离心率 和参数 可以用能量和角动量表示(
式 4 ,
式 5 )
把
式 3 ,
式 4 和
式 6 代入
式 5 ,若等式两边对所有的 成立则说明满足量子化条件。由于该积分较为复杂,我们姑且用 Matlab 进行数值积分。注意原子单位中 。
以下给出 Matlab 代码:
运行结果:
读者也可以把 替换成其他正整数进行验证。
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面
。
2. ^ “近日点” 和 “远日点” 是开普勒问题中的习惯叫法,无论中心是天体还是原子核。
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