Bohr-Sommerfeld 原子模型

                     

贡献者: addis

预备知识 玻尔原子模型环积分

   本文使用原子单位制

  1Bohr-Sommerfeld 模型(以下简称 Sommerfeld 模型)和玻尔原子模型一样属于量子力学发展早期的半经典原子模型,它对玻尔模型进行了改进,能更好地符合一些实验结果(如塞曼效应)。玻尔模型假设电子以圆形轨道绕原子核旋转,而 Sommerfeld 模型使用椭圆轨道。为了简单我们同样先假设原子核固定不动,要考虑原子核运动使用相对坐标和约化质量即可。

   Sommerfeld 模型中,轨道量子化的条件有两个

(1)L=l ,
(2)mr˙dr=kh .
其中 L 是轨道角动量的模长,l,k 是正整数,h 是普朗克常数(原子单位制下等于 2π),r 是电子到原子核的距离,r˙ 表示 r 的时间导数, 表示延椭圆轨道的环积分

   根据这两个量子化条件,可以由量子数 k,l 唯一地确定椭圆轨道的形状和大小,可以证明轨道总能量为

(3)E=Z22n2 .
其中
(4)n=l+k .
注意由于 k 是正整数,l 必须满足 0<l<n

1. 数值验证

   下面来验证式 3 式 4 符合量子化条件式 2 。这是一个中心力场问题,把式 14 式 1 代入式 2

(5)2aca+c2m(E+Zrl22mr2)dr=kh .
注意式 2 中的环积分可以被替换为两个相等的积分,即从椭圆轨道的近日点 ac 积分到远日点 a+c(详见 “椭圆的”),在从远日点积分到近日点2。在开普勒问题中,椭圆的离心率 e 和参数 a,c 可以用能量和角动量表示(式 4 式 5
(6)e=ca=1+2EL2mZ2 ,a=Z2|E| .
式 3 式 4 式 6 代入式 5 ,若等式两边对所有的 l,k>0 成立则说明满足量子化条件。由于该积分较为复杂,我们姑且用 Matlab 进行数值积分。注意原子单位中 h=2π

   以下给出 Matlab 代码:

l = 2; k = 1; n = l + k;
Z = 1; h = 2*pi;
E = -Z^2/(2*n^2);
me = 1;
a = abs(k)/(2*abs(E)); b = l/sqrt(2*me*abs(E));
c = sqrt(a^2 - b^2);
f = @(r)real(sqrt(2*me*(E + Z./r - l^2./(2*me*r.^2))));
r = linspace(a-c, a+c, 500);
figure; plot(r, f(r));
I = 2*integral(f, a - c, a + c);
rel_err = (I - h*k)/(h*k);
disp('relative error =');
disp(rel_err);
运行结果:
relative error =
  1.4136e-16
读者也可以把 k,l 替换成其他正整数进行验证。


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面
2. ^ “近日点” 和 “远日点” 是开普勒问题中的习惯叫法,无论中心是天体还是原子核。


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