狭义相对论效应造成的近日进动

                     

贡献者： int256

　　 对于开普勒问题，还需要考虑由于太阳的强引力对轨道产生的影响。这里只考虑狭义相对论造成的影响。广义相对论的预测在子节 2 中讨论。

1. 观测值与其他星体造成的影响理论值不符

　　 对于水星近日点的总进动值（约每世纪 ${570}^{″}$），其他行星对水星的影响约仅有观测值的 $93\mathrm{\%}$，特别是木星、金星与地球（占约 $91\mathrm{\%}$），人们发现有微小偏差，广义相对论的修正约是每世纪进动 ${43}^{″}$，与其他星体造成的影响合并后恰好符合观测值。

　　 特别的，广义相对论的修正包含了狭义相对论的修正，狭义相对论的修正结果只有广义相对论的约 $1/6$。

2. 狭义相对论修正的近日点进动

　　 这个问题一般被称为相对论性开普勒问题，在经典力学中可以严格求解。第一个解决该问题的是索墨菲（Sommerfeld）。

分析力学求近似解

　　 为简化计算，采用速度满足光速 $c=1$ 的单位制。

　　 在狭义相对论中，粒子的拉氏量忽略常数 $-m{c}^2=-m$ 后为： $$L=-m{c}^2\sqrt{1-\frac{{\mathbf{v}}^2}{c^2}}=\frac{m}{2}{\mathbf{v}}^2(1+\frac{1}{4}{\mathbf{v}}^2+\cdots )+\frac{\alpha }{r}.$$ 其中省略的内容是 ${\mathbf{v}}^2$ 的高次项，都是更高阶的相对论修正。现仅考虑近似解，故将其忽略。

　　 开普勒问题仍然满足在一个二维平面上，采用极坐标表示速度 $\mathbf{v}$，则： $${\mathbf{v}}^2={\dot{r}}^2+r^2{\dot{\varphi }}^2.$$ 令 $E$ 为扣除粒子静止能量 $m{c}^2=m$ 之后的能量。那么相对论性开普勒问题的系统能量 $E$、角动量 $p_{\varphi }\equiv J$ 仍然为守恒量。对于角动量满足： $$p_{\varphi }=\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi }}\equiv \mathcal{J}\approx m{r}^2\dot{\varphi }(1+{\mathbf{v}}^2/2).$$ 而对于 $r$，其共轭动量为： $$p_r=\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}\approx m\dot{r}(1+{\mathbf{v}}^2/2).$$ 那么粒子的能量可以写作：

我们仅关心轨道形状，而非与时间依赖关系，因此考虑将上式用 $\mathrm{d}r/\mathrm{d}\varphi$ 表示。其中 $\varphi$ 考虑用守恒量 $\mathcal{J}$ 表示，这样不显含时。 $$\dot{\varphi }\approx \frac{\mathcal{J}}{m{r}^2}(1-{\mathbf{v}}^2/2).$$ 实际上这个公式并没有完全求解，因为 $\mathbf{v}$ 中还含有 $\dot{\varphi }$ 项。但仍可以将其考虑为一个近似解。其中相对论修正的部分应当用原来问题的零级近似，也就是无相对论修正时的开普勒问题的解代入。

　　 由于 $$\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\varphi }\frac{\mathrm{d}\varphi }{\mathrm{d}t},$$ 也就是 $\dot{r}=\dot{\varphi }\cdot \mathrm{d}r/\mathrm{d}\varphi$。仍然采用开普勒问题常用的代换 $u=1/r$ 可以得到：

将 $\dot{\varphi }$ 和 $\dot{r}$ 的表达式代入速度的表达式便可以得到粒子动能的近似表达式： 与粒子能量的表达式合并，可以得到粒子总能量的表达式： 可以发现，其中仅有第二项为修正项，仍考虑用零级近似的 ${\mathbf{v}}^2$ 来替代，利用 $$\frac{1}{2}m{\mathbf{v}}^2\approx E+\alpha /r=E+\alpha u,$$ 来替换相对论修正得到的 ${\mathbf{v}}^2$，就得到了狭义相对论修正的 将这个关系代入能量的表达式中，相比较零级近似，多了一个常数项仅改变能量的定义、一个线性依赖于 $u$ 的项仅影响轨道的尺度以及一个正比于 $u^2$ 的项影响轨道的闭合。

　　 现在的轨道方程应当近似于满足：

解之，并于椭圆轨道 $l_{0}u=1+e\cos \varphi$ 对比可以发现狭义相对论修正后的星星运行一周进动角为：

哈密顿力学求精确解

　　 仍然取 $c=1$，此时粒子的哈密顿量可以表达为： $$H=\sqrt{{\mathbf{p}}^2+m^2}-\alpha /r.$$ 对于这个二维平面问题，仍考虑采用极坐标 $(r,\theta )$，有 ${\mathbf{p}}^2=p_r^2+p_{\theta }^2/r^2$，从而有： $$H=\sqrt{p_r^2+p_{\theta }^2/r^2-m^2}-\alpha /r.$$ 哈密顿量不显含时、也不显含 $\theta$，故哈密顿量的数值即机械能 $E$、角动量 $p_{\theta }\equiv L$ 都是守恒量，有： $${(E+\alpha /r)}^2=p_r^2+L^2/r^2+m^2.$$ 另外，$p_r=\gamma m\dot{r}$、$p_{\theta }=L=\gamma m{r}^2\dot{\theta }$。故有： $$p_r=\frac{p_{\theta }}{r^2}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta }=\frac{L}{r^2}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta }=-L\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta }.$$ 其中 $u$ 仍为开普勒问题的常用代换 $u=1/r$。

　　 那么粒子径向运动的方程可以写为： $$(E+\alpha u{)}^2=L^2[(\mathrm{d}u/\mathrm{d}\theta {)}^2+u^2]+m^2,$$ 这个方程看起来不是很明显，再对 $\theta$ 求导一次得到： $$\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{\theta }^2}+(1-\frac{{\alpha }^2}{L^2})u=\frac{\alpha E}{L}.$$ 这是一个典型的简谐运动的微分方程，解为： $$u\equiv 1/r=(1+e\cos [\mathrm{\Omega }(\theta -{\theta }_0)])/l_0.$$ 其中 ${\theta }_0$ 仅代表极轴的选取，剩余参数由下列式子给出：

特别的，这里的 $E$ 包含了粒子的静止能量，与分析力学求得的近似解进行比较的话需要取: $$E\approx m+E_0,|E_0|\ll m.$$ 需要注意的是，这里 $E_0$ 可以小于 $0$，对应束缚的情形。同时，在非相对论极限下 ${\alpha }^2\ll L^2\equiv L^2{c}^2$。