贡献者： int256
对于开普勒问题，还需要考虑由于太阳的强引力对轨道产生的影响。这里只考虑狭义相对论造成的影响。广义相对论的预测在子节 2 中讨论。
1. 观测值与其他星体造成的影响理论值不符
对于水星近日点的总进动值（约每世纪 $570''$），其他行星对水星的影响约仅有观测值的 $93 \%$，特别是木星、金星与地球（占约 $91\%$），人们发现有微小偏差，广义相对论的修正约是每世纪进动 $43''$，与其他星体造成的影响合并后恰好符合观测值。
特别的，广义相对论的修正包含了狭义相对论的修正，狭义相对论的修正结果只有广义相对论的约 $1/6$。
2. 狭义相对论修正的近日点进动
这个问题一般被称为相对论性开普勒问题，在经典力学中可以严格求解。第一个解决该问题的是索墨菲（Sommerfeld）。
分析力学求近似解
为简化计算，采用速度满足光速 $c=1$ 的单位制。
在狭义相对论中，粒子的拉氏量忽略常数 $-mc^2 = -m$ 后为：
$$L = -mc^2 \sqrt{1- \frac{{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }^2}{c^2}} = \frac{m}{2} { \boldsymbol{\mathbf{v}} }^2 \left( 1+\frac{1}{4} { \boldsymbol{\mathbf{v}} }^2 + \cdots \right) + \frac{\alpha}{r} ~.$$
其中省略的内容是 ${ \boldsymbol{\mathbf{v}} }^2$ 的高次项，都是更高阶的相对论修正。现仅考虑近似解，故将其忽略。
开普勒问题仍然满足在一个二维平面上，采用极坐标表示速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $，则：
$${ \boldsymbol{\mathbf{v}} }^2 = \dot r^2 + r^2 \dot \phi^2 ~.$$
令 $E$ 为扣除粒子静止能量 $mc^2 = m$ 之后的能量。那么相对论性开普勒问题的系统能量 $E$、角动量 $p_\phi \equiv J$ 仍然为守恒量。对于角动量满足：
$$p_\phi = \frac{\partial L}{\partial {\dot \phi}} \equiv \mathcal J \approx mr^2 \dot \phi \left( 1+ { \boldsymbol{\mathbf{v}} }^2/2 \right)~.$$
而对于 $r$，其共轭动量为：
$$p_r = \frac{\partial L}{\partial {\dot r}} \approx m \dot r \left( 1 + { \boldsymbol{\mathbf{v}} }^2/2 \right)~.$$
那么粒子的能量可以写作：
\begin{equation}
\begin{aligned}
E &= \dot r p_r + \dot \phi p_\phi - L \\
&\approx m { \boldsymbol{\mathbf{v}} }^2(1+{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }^2/2)-L \\
&= \frac{1}{2} m { \boldsymbol{\mathbf{v}} }^2 \left( 1 + \frac{3}{4} { \boldsymbol{\mathbf{v}} }^2 \right) - \frac{\alpha}{r} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
我们仅关心轨道形状，而非与时间依赖关系，因此考虑将上式用 $ \,\mathrm{d}{r} / \,\mathrm{d}{\phi} $ 表示。其中 $\phi$ 考虑用守恒量 $\mathcal J$ 表示，这样不显含时。
$$\dot \phi \approx \frac{\mathcal J}{mr^2} \left( 1-{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }^2/2 \right) ~.$$
实际上这个公式并没有完全求解，因为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 中还含有 $\dot \phi$ 项。但仍可以将其考虑为一个近似解。其中相对论修正的部分应当用原来问题的零级近似，也就是无相对论修正时的开普勒问题的解代入。
由于
$$\frac{ \,\mathrm{d}{r} }{ \,\mathrm{d}{t} } = \frac{ \,\mathrm{d}{r} }{ \,\mathrm{d}{\phi} } \frac{ \,\mathrm{d}{\phi} } { \,\mathrm{d}{t} }~,$$
也就是 $\dot r = \dot \phi \cdot \,\mathrm{d}{r} / \,\mathrm{d}{\phi} $。仍然采用开普勒问题常用的代换 $u = 1/r$ 可以得到：
\begin{equation}
\dot r \approx - \frac{\mathcal J}{m} \frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{\phi} } \left(1-{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }^2/2\right)
~.\end{equation}
将 $\dot \phi$ 和 $\dot r$ 的表达式代入速度的表达式便可以得到粒子动能的近似表达式：
\begin{equation}
\frac{1}{2} m \boldsymbol{\mathbf{v}} ^2 \approx \frac{\mathcal J^2}{2m} \left[\left(\frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{\phi} }\right) + u^2\right] (1- \boldsymbol{\mathbf{v}} ^2)~.
\end{equation}
与粒子能量的表达式合并，可以得到粒子总能量的表达式：
\begin{equation}
E \approx \frac{\mathcal J^2}{2 m} \left[ \left(\frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{\phi} }\right) + u^2 \right] - \frac{1}{8} m \left( \boldsymbol{\mathbf{v}} ^2\right)^2 -\alpha u ~.
\end{equation}
可以发现，其中仅有第二项为修正项，仍考虑用零级近似的 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} ^2$ 来替代，利用
$$\frac{1}{2} m \boldsymbol{\mathbf{v}} ^2 \approx E + \alpha / r = E + \alpha u ~,$$
来替换相对论修正得到的 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} ^2$，就得到了狭义相对论修正的
\begin{equation}
-\frac{m}{8} ( \boldsymbol{\mathbf{v}} )^2 \approx - \frac{1}{2m} \left(E + \alpha u\right)^2 ~.
\end{equation}
将这个关系代入能量的表达式中，相比较零级近似，多了一个常数项仅改变能量的定义、一个线性依赖于 $u$ 的项仅影响轨道的尺度以及一个正比于 $u^2$ 的项影响轨道的闭合。
现在的轨道方程应当近似于满足：
\begin{equation}
E\left(1 + \frac{E}{2mc^2}\right) + \alpha u \left(1 + \frac{E}{mc^2}\right) = \frac{\mathcal J}{2m} \left[ \left(\frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{\phi} }\right)^2 + \left( 1-\frac{\alpha^2}{\mathcal J^2 c^2} \right) u^2 \right]~.
\end{equation}
解之，并于椭圆轨道 $l_0 u = 1 + e \cos \phi$ 对比可以发现狭义相对论修正后的星星运行一周进动角为：
\begin{equation}
\delta \phi = \frac{\pi \alpha^2}{\mathcal J^2c^2} = \frac{\pi G M}{a (1-e^2) c^2} ~.
\end{equation}
哈密顿力学求精确解
仍然取 $c=1$，此时粒子的哈密顿量可以表达为：
$$H = \sqrt{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2 + m^2} - \alpha/r ~.$$
对于这个二维平面问题，仍考虑采用极坐标 $(r, \theta)$，有 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2 = p_r^2 + p_\theta^2/r^2$，从而有：
$$H = \sqrt{p_r^2+p_\theta^2/r^2 -m^2}-\alpha/r ~.$$
哈密顿量不显含时、也不显含 $\theta$，故哈密顿量的数值即机械能 $E$、角动量 $p_\theta \equiv L$ 都是守恒量，有：
$$\left(E + \alpha/r\right) ^2 = p_r^2 + L^2/r^2 + m^2 ~.$$
另外，$p_r = \gamma m \dot r$、$p_\theta = L = \gamma m r^2 \dot \theta$。故有：
$$p_r = \frac{p_\theta}{r^2}\frac{ \,\mathrm{d}{r} }{ \,\mathrm{d}{\theta} } = \frac{L}{r^2} \frac{ \,\mathrm{d}{r} }{ \,\mathrm{d}{\theta} } = -L \frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{\theta} } ~.$$
其中 $u$ 仍为开普勒问题的常用代换 $u = 1/r$。
那么粒子径向运动的方程可以写为：
$$ (E+\alpha u)^2 = L^2 [( \,\mathrm{d}{u} / \,\mathrm{d}{\theta} )^2 + u^2] + m^2 ~,$$
这个方程看起来不是很明显，再对 $\theta$ 求导一次得到：
$$\frac{\mathrm{d}^2 u}{{ \,\mathrm{d}{\theta} ^2}} + \left(1-\frac{\alpha^2}{L^2}\right) u = \frac{\alpha E}{L} ~.$$
这是一个典型的简谐运动的微分方程，解为：
$$u \equiv 1/r = (1 + e \cos[\Omega (\theta - \theta_0)])/l_0 ~.$$
其中 $\theta_0$ 仅代表极轴的选取，剩余参数由下列式子给出：
\begin{equation}
\left \{
\begin{aligned}
\Omega^2 &= 1-\frac{\alpha^2}{L^2}, \\
l_0 &= \frac{L^2}{\alpha E} \left( 1-\frac{\alpha^2}{L^2} \right), \\
e^2 &= 1 + {\left(1-\frac{\alpha^2}{L^2}\right) \left(1-\frac{m^2}{E^2}\right)/(\alpha^2 / L^2) } ~,
\end{aligned}
\right .
\end{equation}
特别的，这里的 $E$ 包含了粒子的静止能量，与分析力学求得的近似解进行比较的话需要取:
$$E \approx m + E_0, |E_0| \ll m ~.$$
需要注意的是，这里 $E_0$ 可以小于 $0$，对应束缚的情形。同时，在非相对论极限下 $\alpha^2 \ll L^2 \equiv L^2c^2$。
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