闭合轨道的条件
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比耐公式可记为
其中 ,有心力 向外为正, 为轨道角动量。首先易得圆形轨道满足
任何 的力场都支持圆形轨道,然而根据等效一维势能, 必须在最低点的二阶导数大于零轨道才能稳定。在稳定情况下,令半径为 ,如果给天体一个微扰, 会呈周期性波动,我们不妨假设这个波动很小,使
则可以证明
式 1 的解为
其中
这里 的意义是天体每转过一周关于 振动的次数,对于平方反比力的椭圆轨道,显然有 。所以,当 为有理数(即 )时,轨道是闭合的。
为了要求在任意距离的半径上轨道都闭合, 必须不能随 变化,所以可以把式 5 看成 的微分方程,通解为
1. Bertrand 定理
我们以上只考虑了一阶微扰的情况,如果轨道与圆形轨道偏离较大,如何找到闭合条件呢?我们可以将 由上面的微分近似变为高阶泰勒展开,再来寻找比耐公式的解。J. Bertrand 在 1873 年证明,只有当 或 的时候才能满足所有可能的轨道都闭合,而这两种情况分别对应平方反比力,以及胡克定律。这个定理被称为 Bertrand 定理。
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