闭合轨道的条件
贡献者： 待更新
比耐公式可记为
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}^{2}{u}}{\mathrm{d}{\theta}^{2}} + u = -\frac{m}{l^2 u^2} f \left(\frac 1u \right) ~.
\end{equation}
其中 $u = 1/r$，有心力 $f$ 向外为正，$l$ 为轨道角动量。首先易得圆形轨道满足
\begin{equation}
l = - m r^3 f~.
\end{equation}
任何 $f < 0$ 的力场都支持圆形轨道，然而根据等效一维势能，$V' = V + l^2/(2mr^2)$ 必须在最低点的二阶导数大于零轨道才能稳定。在稳定情况下，令半径为 $r_0$，如果给天体一个微扰，$r$ 会呈周期性波动，我们不妨假设这个波动很小，使
\begin{equation}
f(r) = f(r_0) + f'(r_0)(r-r_0)~,
\end{equation}
则可以证明
式 1 的解为
\begin{equation}
u = u_0 + a\cos\beta\theta~.
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\beta^2 = 3 + \left. \frac rf \frac{\mathrm{d}{f}}{\mathrm{d}{r}} \right\rvert _{r = r_0}~.
\end{equation}
这里 $\beta$ 的意义是天体每转过一周关于 $r_0$ 振动的次数，对于平方反比力的椭圆轨道，显然有 $\beta = 1$。所以，当 $\beta$ 为有理数（即 $\beta = n_1/n_2$）时，轨道是闭合的。
为了要求在任意距离的半径上轨道都闭合， $\beta$ 必须不能随 $r$ 变化，所以可以把式 5 看成 $f(r)$ 的微分方程，通解为
\begin{equation}
f(r) = - \frac{k}{r^{3-\beta^2}}~.
\end{equation}
1. Bertrand 定理
我们以上只考虑了一阶微扰的情况，如果轨道与圆形轨道偏离较大，如何找到闭合条件呢？我们可以将 $f$ 由上面的微分近似变为高阶泰勒展开，再来寻找比耐公式的解。J. Bertrand 在 1873 年证明，只有当 $\beta^2 = 1$ 或 $\beta^2 = 4$ 的时候才能满足所有可能的轨道都闭合，而这两种情况分别对应平方反比力，以及胡克定律。这个定理被称为 Bertrand 定理。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。