闭合轨道的条件

贡献者：待更新

预备知识　比耐公式

　　比耐公式可记为

\begin{matrix} (1) & \frac{d^{2} u}{d θ^{2}} + u = - \frac{m}{l^{2} u^{2}} f (\frac{1}{u}) . \end{matrix}

其中

u = 1 / r

，有心力

f

向外为正，

l

为轨道角动量。首先易得圆形轨道满足

\begin{matrix} (2) & l = - m r^{3} f . \end{matrix}

任何

f < 0

的力场都支持圆形轨道，然而根据等效一维势能，

V^{'} = V + l^{2} / (2 m r^{2})

必须在最低点的二阶导数大于零轨道才能稳定。在稳定情况下，令半径为

r_{0}

，如果给天体一个微扰，

r

会呈周期性波动，我们不妨假设这个波动很小，使

\begin{matrix} (3) & f (r) = f (r_{0}) + f^{'} (r_{0}) (r - r_{0}), \end{matrix}

则可以证明式 1 的解为

\begin{matrix} (4) & u = u_{0} + a \cos β θ . \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (5) & β^{2} = 3 + {\frac{r}{f} \frac{d f}{d r} |}_{r = r_{0}} . \end{matrix}

这里

β

的意义是天体每转过一周关于

r_{0}

振动的次数，对于平方反比力的椭圆轨道，显然有

β = 1

。所以，当

β

为有理数（即

β = n_{1} / n_{2}

）时，轨道是闭合的。

　　为了要求在任意距离的半径上轨道都闭合， $β$ 必须不能随 $r$ 变化，所以可以把式 5 看成 $f (r)$ 的微分方程，通解为

\begin{matrix} (6) & f (r) = - \frac{k}{r^{3 - β^{2}}} . \end{matrix}

1. Bertrand 定理

　　我们以上只考虑了一阶微扰的情况，如果轨道与圆形轨道偏离较大，如何找到闭合条件呢？我们可以将 $f$ 由上面的微分近似变为高阶泰勒展开，再来寻找比耐公式的解。J. Bertrand 在 1873 年证明，只有当 $β^{2} = 1$ 或 $β^{2} = 4$ 的时候才能满足所有可能的轨道都闭合，而这两种情况分别对应平方反比力，以及胡克定律。这个定理被称为 Bertrand 定理。

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