闭合轨道的条件

                     

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预备知识 比耐公式

   比耐公式可记为

(1)d2udθ2+u=ml2u2f(1u) .
其中 u=1/r,有心力 f 向外为正,l 为轨道角动量。首先易得圆形轨道满足
(2)l=mr3f .
任何 f<0 的力场都支持圆形轨道,然而根据等效一维势能,V=V+l2/(2mr2) 必须在最低点的二阶导数大于零轨道才能稳定。在稳定情况下,令半径为 r0,如果给天体一个微扰,r 会呈周期性波动,我们不妨假设这个波动很小,使
(3)f(r)=f(r0)+f(r0)(rr0) ,
则可以证明式 1 的解为
(4)u=u0+acosβθ .
其中
(5)β2=3+rfdfdr|r=r0 .
这里 β 的意义是天体每转过一周关于 r0 振动的次数,对于平方反比力的椭圆轨道,显然有 β=1。所以,当 β 为有理数(即 β=n1/n2)时,轨道是闭合的。

   为了要求在任意距离的半径上轨道都闭合, β 必须不能随 r 变化,所以可以把式 5 看成 f(r) 的微分方程,通解为

(6)f(r)=kr3β2 .

1. Bertrand 定理

   我们以上只考虑了一阶微扰的情况,如果轨道与圆形轨道偏离较大,如何找到闭合条件呢?我们可以将 f 由上面的微分近似变为高阶泰勒展开,再来寻找比耐公式的解。J. Bertrand 在 1873 年证明,只有当 β2=1β2=4 的时候才能满足所有可能的轨道都闭合,而这两种情况分别对应平方反比力,以及胡克定律。这个定理被称为 Bertrand 定理


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