闭合轨道的条件

             

预备知识 比耐公式

   比耐公式可记为

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^{2}{u}}{\mathrm{d}{\theta}^{2}} + u = -\frac{m}{l^2 u^2} f \left(\frac 1u \right) \end{equation}
其中 $u = 1/r$,有心力 $f$ 向外为正,$l$ 为轨道角动量.首先易得圆形轨道满足
\begin{equation} l = - m r^3 f \end{equation}
任何 $f < 0$ 的力场都支持圆形轨道,然而根据等效一维势能,$V' = V + l^2/(2mr^2)$ 必须在最低点的二阶导数大于零轨道才能稳定.在稳定情况下,令半径为 $r_0$,如果给天体一个微扰,$r$ 会呈周期性波动,我们不妨假设这个波动很小,使
\begin{equation} f(r) = f(r_0) + f'(r_0)(r-r_0) \end{equation}
则可以证明式 1 的解为
\begin{equation} u = u_0 + a\cos\beta\theta \end{equation}
其中
\begin{equation} \beta^2 = 3 + \left. \frac rf \frac{\mathrm{d}{f}}{\mathrm{d}{r}} \right\rvert _{r = r_0} \end{equation}
这里 $\beta$ 的意义是天体每转过一周关于 $r_0$ 振动的次数,对于平方反比力的椭圆轨道,显然有 $\beta = 1$.所以,当 $\beta$ 为有理数(即 $\beta = n_1/n_2$)时,轨道是闭合的.

   为了要求在任意距离的半径上轨道都闭合, $\beta$ 必须不能随 $r$ 变化,所以可以把式 5 看成 $f(r)$ 的微分方程,通解为

\begin{equation} f(r) = - \frac{k}{r^{3-\beta^2}} \end{equation}

1. Bertrand 定理

   我们以上只考虑了一阶微扰的情况,如果轨道与圆形轨道偏离较大,如何找到闭合条件呢?我们可以将 $f$ 由上面的微分近似变为高阶泰勒展开,再来寻找比耐公式的解.J. Bertrand 在 1873 年证明,只有当 $\beta^2 = 1$ 或 $\beta^2 = 4$ 的时候才能满足所有可能的轨道都闭合,而这两种情况分别对应平方反比力,以及胡克定律.这个定理被称为 Bertrand 定理

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