黑体辐射定律

                     

贡献者: addis; _Eden_

   在非绝对零度的温度下,任何物体都能辐射出电磁波(热辐射),同时也能吸收外来电磁波.假想一种黑体,它能 $100\%$ 地吸收所有辐射在其上的电磁波.并且为了能够达到热平衡,黑体也不断地辐射出能量.黑体的能量密度函数(关于频率 $\nu$ 的函数)以及辐射规律只和温度 $T$ 有关,这样才能保证热平衡定律(即热力学第零定律)的满足.

   为了研究黑体辐射,我们希望能测定温度 $T$ 下黑体辐射的能量密度1 $S_\nu(\nu,T)$ 与辐射频率 $\nu$ 和温度 $T$ 之间的关系.这样我们就可以进一步由能量密度导出黑体单位面积上的辐射功率.

1. 维恩定律与瑞利金斯公式

   Wien(1894)从经典统计出发总结黑体辐射经验规律,得到了黑体辐射能量密度的公式:

\begin{equation} S_\nu(\nu,T) \,\mathrm{d}{\nu} =C_1 \frac{\nu^3}{c^3}e^{-C_2\nu/T} \,\mathrm{d}{\nu} \end{equation}
其中 $c$ 是真空中的光速,$C_1,C_2$ 是经验常数.该公式只在高频区适用.

   瑞利(1900)和金斯(1905)则将空腔中的辐射场视为电磁驻波振子的集合,利用 Maxwell-Boltzmann 分布律与能量连续分布的观念导出

\begin{equation} S_\nu(\nu,T) \,\mathrm{d}{\nu} =\frac{8\pi\nu^2}{c^3}kT \,\mathrm{d}{\nu} \end{equation}

2. 黑体辐射定律

   在上述两个经验规律的基础上,普朗克(1900)提出了黑体辐射定律:

\begin{equation} S_\nu(\nu,T) = \frac{8\pi h}{c^3}\frac{\nu^3}{ \mathrm{e} ^{h\nu/(k_B T)} - 1} \end{equation}
如果要计算波长的分布,根据随机变量的变换,由 $ \left\lvert S_\lambda(\lambda) \,\mathrm{d}{\lambda} \right\rvert = \left\lvert S_\nu(\nu) \,\mathrm{d}{\nu} \right\rvert $ 得
\begin{equation} S_\lambda(\lambda,T) = \frac{c}{\lambda^2}S_\nu \left(\frac{c}{\lambda} \right) = \frac{8\pi ch}{\lambda^5} \frac{1}{ \mathrm{e} ^{hc/(k_B T\lambda)} - 1} \end{equation}

   由能量密度公式可以推出黑体在单位面积上的辐射功率.单位面积单位频率单位立体角的功率为

\begin{equation} B(\nu) = \frac{c}{4\pi}S_\nu(\nu) = \frac{2h}{c^2} \frac{\nu^3}{ \mathrm{e} ^{h\nu/(k_B T)} - 1} \end{equation}
在黑体内部,辐射是各向同性的,但在黑体表面,对于给定的一个平面微元,$B(\nu)$ 是垂直于平面的值,与法向量夹角为 $\theta$ 的方向的值为 $B(\nu)\cos\theta$.

3. 推导

预备知识 盒中的电磁波

   普朗克首先提出了能量量子化假设,黑体空腔中的辐射场为电磁驻波振子的集合,并且振动能量只能取离散值2

\begin{equation} \epsilon = nh\nu, \quad n=0,1,\cdots \end{equation}
并且,腔中的辐射场与温度为 $T$ 的腔壁交换的能量也是一份一份的量子化的.

   根据平衡态统计理论,能量为 $\epsilon=nh\nu$ 振子数目的相对值是 $e^{-nh\nu/kT}$,于是频率为 $\nu$ 的振子的平均能量为3(令 $\beta = 1/(k_BT)$)

\begin{equation} \overline{\epsilon_\nu}=\frac{\sum_{n=0}^\infty nh\nu e^{-nh\nu/kT}}{\sum_{n=0}^\infty e^{-nh\nu/kT}}=- \frac{\partial}{\partial{\beta}} \ln \sum_{n=0}^\infty e^{-nh\nu\beta}=\frac{h\nu}{e^{h\nu\beta}-1} \end{equation}

   最后,我们要求出单位频率 $ \,\mathrm{d}{\nu} $ 内,振子的数量,即态密度.电磁波作为横场,独立自由度数为 $2$,因此单位体积的态密度为

\begin{equation} \rho(\nu) \,\mathrm{d}{\nu} = \frac{1}{V}\cdot 2\cdot \frac{ \,\mathrm{d}{} ^3 k}{(2\pi/L)^3}=\frac{8\pi \omega^2 \,\mathrm{d}{\omega} }{(2\pi c)^3}= \frac{8\pi}{c^3}\nu^2 \,\mathrm{d}{\nu} \end{equation}
结合式 7 式 8 ,我们可以得到黑体辐射公式:
\begin{equation} S_\nu(\nu,T) = \frac{8\pi h}{c^3}\frac{\nu^3}{ \mathrm{e} ^{h\nu/(k_B T)} - 1} \end{equation}


1. ^ 单位体积单位频率间隔内辐射场的能量.
2. ^ 事实上对每一个振子都会有一个基态真空能 $\frac{1}{2}h\nu$ 的贡献,在这里我们忽略这一常数,即从能量密度中减去这一常数,它对我们所关心的辐射公式是没有影响的.
3. ^ 或者我们也可以从玻色爱因斯坦分布进行推导


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