黑体辐射定律

贡献者： addis; _Eden_

预备知识 1　热平衡、热力学第零定律

　　在非绝对零度的温度下，任何物体都能辐射出电磁波（热辐射），同时也能吸收外来电磁波。假想一种黑体，它能 $100 %$ 地吸收所有辐射在其上的电磁波。并且为了能够达到热平衡，黑体也不断地辐射出能量。黑体的能量密度函数（关于频率 $ν$ 的函数）以及辐射规律只和温度 $T$ 有关，这样才能保证热平衡定律（即热力学第零定律）的满足。

　　为了研究黑体辐射，我们希望能测定温度 $T$ 下黑体辐射的能量密度¹ $S_{ν} (ν, T)$ 与辐射频率 $ν$ 和温度 $T$ 之间的关系。这样我们就可以进一步由能量密度导出黑体单位面积上的辐射功率。

1. 维恩定律与瑞利金斯公式

　　 Wien（1894）从经典统计出发总结黑体辐射经验规律，得到了黑体辐射能量密度的公式：

\begin{matrix} (1) & S_{ν} (ν, T) d ν = C_{1} \frac{ν^{3}}{c^{3}} e^{- C_{2} ν / T} d ν . \end{matrix}

其中

c

是真空中的光速，

C_{1}, C_{2}

是经验常数。该公式只在高频区适用。

　　瑞利（1900）和金斯（1905）则将空腔中的辐射场视为电磁驻波振子的集合，利用 Maxwell-Boltzmann 分布律与能量连续分布的观念导出

\begin{matrix} (2) & S_{ν} (ν, T) d ν = \frac{8 π ν^{2}}{c^{3}} k T d ν . \end{matrix}

2. 黑体辐射定律

　　在上述两个经验规律的基础上，普朗克（1900）提出了黑体辐射定律：

\begin{matrix} (3) & S_{ν} (ν, T) = \frac{8 π h}{c^{3}} \frac{ν^{3}}{e^{h ν / (k_{B} T)} - 1} . \end{matrix}

如果要计算波长的分布，根据随机变量的变换，由

| S_{λ} (λ) d λ | = | S_{ν} (ν) d ν |

得

\begin{matrix} (4) & S_{λ} (λ, T) = \frac{c}{λ^{2}} S_{ν} (\frac{c}{λ}) = \frac{8 π c h}{λ^{5}} \frac{1}{e^{h c / (k_{B} T λ)} - 1} . \end{matrix}

　　由能量密度公式可以推出黑体在单位面积上的辐射功率。由于球面立体角为 $4 π$ ，单位面积单位频率单位立体角的功率为

\begin{matrix} (5) & B (ν) = \frac{c}{4 π} S_{ν} (ν) = \frac{2 h}{c^{2}} \frac{ν^{3}}{e^{h ν / (k_{B} T)} - 1} . \end{matrix}

在黑体内部，辐射是各向同性的，但在黑体表面，对于给定的一个平面微元，

B (ν)

是垂直于平面的值，与法向量夹角为

θ

的方向的辐射功率为

B (ν) \cos θ

。对

θ

从

0

到

π / 2

积分得到单位面积上的辐射功率

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} J (ν) & = \int_{0}^{2 π} d ϕ \int_{0}^{π / 2} \sin θ d θ \cdot [B (ν) \cos θ], \\ = \frac{c}{4 π} \cdot 2 π S_{ν} (ν) \cdot \int_{0}^{π / 2} \sin θ \cos θ d θ, \\ = \frac{c}{4} S_{ν} (ν) . \end{aligned} \end{matrix}

这就是著名的斯特藩—玻尔兹曼（Stefan-Boltzmann）定律，它指出了单位面积上辐射功率与辐射场能量密度之间的关系。对频率积分就可以得到总的辐射功率和辐射场能量密度之间的关系

\begin{matrix} (7) & J = \frac{c}{4} \frac{U}{V} = \frac{c}{4} \int S_{ν} (ν, T) d ν \propto T^{4} . \end{matrix}

利用光子气体的计算结果式 7 ，可以最终得到

\begin{matrix} (8) & \frac{U}{V} = \frac{π^{2}}{15 c^{3} ℏ^{3}} (k T)^{4}, J = \frac{π^{2}}{60 c^{2} ℏ^{3}} (k T)^{4} = σ T^{4} . \end{matrix}

σ = \frac{π^{2} k^{4}}{60 c^{2} ℏ^{3}}

为 stefan 常数，约为

5.670373 \times 10^{- 8} W / (m^{2} \cdot K^{4})

。

3. 推导-辐射场能量密度

预备知识 2　盒中的电磁波

　　普朗克首先提出了能量量子化假设，黑体空腔中的辐射场为电磁驻波振子的集合，并且振动能量只能取离散值²：

\begin{matrix} (9) & ϵ = n h ν, n = 0, 1, \dots \end{matrix}

并且，腔中的辐射场与温度为

T

的腔壁交换的能量也是一份一份的量子化的。

　　根据平衡态统计理论，能量为 $ϵ = n h ν$ 振子数目的相对值是 $e^{- n h ν / k T}$ ，于是频率为 $ν$ 的振子的平均能量为³（令 $β = 1 / (k_{B} T)$ ）

\begin{matrix} (10) & \overset{―}{ϵ_{ν}} = \frac{\sum_{n = 0}^{\infty} n h ν e^{- n h ν / k T}}{\sum_{n = 0}^{\infty} e^{- n h ν / k T}} = - \frac{\partial}{\partial β} \ln \sum_{n = 0}^{\infty} e^{- n h ν β} = \frac{h ν}{e^{h ν β} - 1} . \end{matrix}

　　最后，我们要求出单位频率 $d ν$ 内，振子的数量，即态密度。电磁波作为横场，独立自由度数为 $2$ ，因此单位体积的态密度为

\begin{matrix} (11) & ρ (ν) d ν = \frac{1}{V} \cdot 2 \cdot \frac{d^{3} k}{(2 π / L)^{3}} = \frac{8 π ω^{2} d ω}{(2 π c)^{3}} = \frac{8 π}{c^{3}} ν^{2} d ν . \end{matrix}

结合式 10 和式 11 ，我们可以得到黑体辐射公式：

\begin{matrix} (12) & S_{ν} (ν, T) = \frac{8 π h}{c^{3}} \frac{ν^{3}}{e^{h ν / (k_{B} T)} - 1} . \end{matrix}

1. ^ 单位体积单位频率间隔内辐射场的能量。
2. ^ 事实上对每一个振子都会有一个基态真空能 $\frac{1}{2} h ν$ 的贡献，在这里我们忽略这一常数，即从能量密度中减去这一常数，它对我们所关心的辐射公式是没有影响的。
3. ^ 或者我们也可以从玻色爱因斯坦分布进行推导

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