立体角

                     

贡献者: addis; _Eden_

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预备知识 重积分

  1如果我们以某种锥体(例如圆锥,三棱锥,假设其无限高)的顶点作为圆心作一个半径为 1 的球(单位球),那么这个锥体的立体角(solid angle)就是单位球的表面被锥体截出的面积,通常用 Ω 表示。

   我们知道半径为 R 的球体的表面积为 4πR2,所以立体角的取值范围是 [0,4π]

1. 对立体角积分

   考虑 dθdϕ 围成的立体角。在半径为 R 上的球面上截出的面积为 sinθdθdϕ。所以对对立体角积分的公式为

(1)dΩ=0πsinθdθ02πdϕ=4π .
由此得到了三维球体的表面对应的立体角为 4π

例 1 圆锥的立体角

   顶角为 2θ 的圆锥在单位球面上可截出一个球盖。在例 3 中我们知道球盖的面积,所以该圆锥的立体角为

(2)Ω=2π(1cosθ) .

  

未完成:例如一个质量分布不均匀的球壳质量


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面


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