立体角
贡献者： addis; _Eden_
1如果我们以某种锥体（例如圆锥，三棱锥，假设其无限高）的顶点作为圆心作一个半径为 1 的球（单位球），那么这个锥体的立体角（solid angle）就是单位球的表面被锥体截出的面积，通常用 $\Omega$ 表示。
我们知道半径为 $R$ 的球体的表面积为 $4\pi R^2$，所以立体角的取值范围是 $[0, 4\pi]$。
1. 对立体角积分
考虑 $ \,\mathrm{d}{\theta} $ 与 $ \,\mathrm{d}{\phi} $ 围成的立体角。在半径为 $R$ 上的球面上截出的面积为 $\sin\theta \,\mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}{\phi} $。所以对对立体角积分的公式为
\begin{equation}
\int \,\mathrm{d}{\Omega} =\int_0^\pi \sin\theta \,\mathrm{d}{\theta} \int_0^{2\pi } \,\mathrm{d}{\phi} =4\pi~.
\end{equation}
由此得到了三维球体的表面对应的立体角为 $4\pi$。
例 1 圆锥的立体角
顶角为 $2\theta$ 的圆锥在单位球面上可截出一个球盖。在例 3 中我们知道球盖的面积，所以该圆锥的立体角为
\begin{equation}
\Omega = 2\pi (1 - \cos\theta)~.
\end{equation}
未完成：例如一个质量分布不均匀的球壳质量
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。
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