随机变量的变换

             

预备知识 概率分布函数

1. 求新变量的分布函数

   我们先来讨论这样一个问题:令两个随机变量 $x_1, x_2$ 间有函数关系 $x_1 = g(x_2)$,若已知 $x_1$ 的分布函数为 $f_1(x_1)$,求 $x_2$ 的分布函数 $f_2(x_2)$.

   将两个概率分布写成微分形式,有

\begin{gather} \,\mathrm{d}{P} = f_1(x_1) \,\mathrm{d}{x_1} \\ \,\mathrm{d}{P} = f_2(x_2) \,\mathrm{d}{x_2} \end{gather}
若将式 1 中的 $x_1$ 替换成 $g(x_2)$,$ \,\mathrm{d}{x_1} $ 替换成 $g'(x_2) \,\mathrm{d}{x_2} $,有
\begin{equation} \,\mathrm{d}{P} = f_1[g(x_2)] g'(x_2) \,\mathrm{d}{x_2} \end{equation}
对比式 2 ,得
\begin{equation} f_2(x) = f_1[g(x)] g'(x) \end{equation}
这样,就求出了 $x_2$ 的分布函数 $f_2(x)$.

例 1 

   已知 $f_1(x_1) = 3x_1^2$,$x_1 \in [0, 1]$,$x_2 = x_1^2$,求 $x_2$ 的分布函数.

   用 $x_2$ 表示 $x_1$ 得 $x_1 = \sqrt{x_2}$,代入 $ \,\mathrm{d}{P} = f_1(x_1) \,\mathrm{d}{x_1} $,得

\begin{equation} \,\mathrm{d}{P} = 3\sqrt{x_2}^2 \,\mathrm{d}\left(\sqrt{x_2} \right) = \frac32 \sqrt{x_2} \,\mathrm{d}{x_2} \end{equation}
所以 $x_2$ 的分布函数为 $f_2(x_2) = 3\sqrt{x_2}/2$.

2. 求两变量的关系

预备知识 可分离变量的微分方程

   另一个常见的问题是已知 $x_1$ 和 $x_2$ 的分布函数 $f_1(x_1), f_2(x_2)$,求两个随机变量需要满足的函数关系.

   对比式 1 式 2 可得一个已分离变量的微分方程

\begin{equation} f_1(x_1) \,\mathrm{d}{x_1} = f_2(x_2) \,\mathrm{d}{x_2} \end{equation}
将方程两边积分即可得到两变量所满足的函数关系
\begin{equation} F_1(x_1) = F_2(x_2) + C \end{equation}
其中函数 $F_1, F_2$ 分别是函数 $f_1, f_2$ 的一个原函数,待定常数 $C$ 通常可以由 $x_1$ 和 $x_2$ 的取值范围确定.

   这个问题的一个常见应用是在程序中生成指定分布函数的随机变量.在许多编程语言中,随机数生成器只能生成一个从 0 到 1 均匀分布的随机变量(即 $f(x) = 1$),若我们需要一个其他分布的随机变量,就可以使用以上方法.

例 2 

   已知随机变量 $x_1\ \ (x_1\in [0,1])$ 的分布函数为 $f_1(x_1) = 1$,求函数关系 $x_2 = g(x_1)$ 使得 $x_2$ 的分布函数为 $f_2(x_2) = 2x_2\ \ (x_2\in [0,1])$.

   将 $f_1, f_2$ 代入式 6 并两边积分得

\begin{equation} x_1 = x_2^2 + C \end{equation}
由于 $x_1$ 和 $x_2$ 的区间关系得 $C = 0$,所以有 $x_2 = \sqrt{x_1}$.

例 3 

   给出两个随机变量 $\xi_1, \xi_2\ \ (\xi_1, \xi_2\in [0,1])$,分布函数均为 $f(\xi_i) = 1$,用 $\xi_1, \xi_2$ 表示某随机点的极坐标 $(r,\theta)$ 使得该点在单位圆内均匀随机分布.

   要使随机点在单位圆内随机分布,$\theta$ 显然应该在 $[0,2\pi]$ 间均匀随机分布,所以令 $\theta = 2\pi\xi_2$ 即可.要决定 $r$ 的分布函数,我们把单位圆划分为许多小圆环,随机点出现在某圆环内的概率等于该圆环的面积比单位圆的面积,即

\begin{equation} \,\mathrm{d}{P} = \frac{2\pi r \,\mathrm{d}{r} }{\pi} = 2r \,\mathrm{d}{r} \end{equation}
所以 $r$ 的分布函数为 $2r$.令 $r$ 与 $\xi_1$ 间存在函数关系,由式 6
\begin{equation} 1 \,\mathrm{d}{\xi_1} = 2r \,\mathrm{d}{r} \end{equation}
两边积分得 $\xi_1 = r^2$($\xi_1 = 0$ 时 $r = 0$,所以积分常数为零),即 $r = \sqrt{\xi_1}$.所以,随机点的极坐标取 $(\sqrt{\xi_1}, 2\pi \xi_2)$ 即可.

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