随机变量的变换

例 1　线性变换

　　 若随机变量 $x$ 的分布为 $f(x)$，那么 $y=ax$ 的分布为 $g(y)=f(y/a)/a$。平均值变为 $a\mu$，方差变为 $a^2{\sigma }^2$。

例 2　

　　 已知 $f_1(x_1)=3x_1^2$，$x_1\in [0,1]$，$x_2=x_1^2$，求 $x_2$ 的分布函数。

　　 用 $x_2$ 表示 $x_1$ 得 $x_1=\sqrt{x_2}$，代入 $\mathrm{d}P=f_1(x_1)\mathrm{d}{x}_1$，得

例 3　

　　 已知随机变量 $x_1(x_1\in [0,1])$ 的分布函数为 $f_1(x_1)=1$，求函数关系 $x_2=g(x_1)$ 使得 $x_2$ 的分布函数为 $f_2(x_2)=2x_2(x_2\in [0,1])$。

　　 将 $f_1,f_2$ 代入式 6 并两边积分得

例 4　

　　 给出两个随机变量 ${\xi }_1,{\xi }_2({\xi }_1,{\xi }_2\in [0,1])$，分布函数均为 $f({\xi }_i)=1$，用 ${\xi }_1,{\xi }_2$ 表示某随机点的极坐标 $(r,\theta )$ 使得该点在单位圆内均匀随机分布。

　　 要使随机点在单位圆内随机分布，$\theta$ 显然应该在 $[0,2\pi ]$ 间均匀随机分布，所以令 $\theta =2\pi {\xi }_2$ 即可。要决定 $r$ 的分布函数，我们把单位圆划分为许多小圆环，随机点出现在某圆环内的概率等于该圆环的面积比单位圆的面积，即