斯特藩—玻尔兹曼定律

                     

贡献者: addis

   斯特藩—玻尔兹曼定律(Stefan-Boltzmann law)指的是,黑体单位面积的辐射功率与温度的 4 次方成正比

(1)dPdS=σT4 .
其中 σ斯特藩—玻尔兹曼常数(Stefan-Boltzmann constant)
(2)σ=2π5kB415c2h3=5.670374419×108Wm2K4 .
其中 kB 是玻尔兹曼常数,c 是真空中的光速,h 是普朗克常数,详见 “物理学常数”。

1. 从黑体辐射定律推导

预备知识 黑体辐射定律

   我们考虑黑体表面一个小平面,以它的法向量(指向真空)为极轴建立球坐标系。单位面积单位频率单位立体角的功率见(式 5

(3)I(ν)=2hc2ν3ehν/(kBT)1 ,
我们只需要对频率和上半球面的立体角做积分即可。但是注意在不垂直黑体表面的方向,功率需要乘以 cosθ(表面积在该方向的投影是 cosθ)。
(4)dPdS=0I(ν)dν02πdϕ0π/2cosθsinθdθ=π0I(ν)dν .
使用换元积分,令 u=hν/(kBT)
(5)dPdS=2πhc2(kBTh)40u3eu1du ,
其中积分的结果可以用黎曼 ζ 函数表示为 6ζ(4)=π4/15。代入即可得式 1


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