斯特藩—玻尔兹曼定律

贡献者： addis

　　 斯特藩—玻尔兹曼定律（Stefan-Boltzmann law）指的是，黑体单位面积的辐射功率与温度的 4 次方成正比

\begin{matrix} (1) & \frac{d P}{d S} = σ T^{4} . \end{matrix}

其中

σ

是斯特藩—玻尔兹曼常数（Stefan-Boltzmann constant）

\begin{matrix} (2) & σ = \frac{2 π^{5} k_{B}^{4}}{15 c^{2} h^{3}} = 5.670374419 \dots \times 10^{- 8} {Wm}^{- 2} K^{- 4} . \end{matrix}

其中

k_{B}

是玻尔兹曼常数，

c

是真空中的光速，

h

是普朗克常数，详见 “物理学常数”。

1. 从黑体辐射定律推导

预备知识　黑体辐射定律

　　我们考虑黑体表面一个小平面，以它的法向量（指向真空）为极轴建立球坐标系。单位面积单位频率单位立体角的功率见（式 5 ）

\begin{matrix} (3) & I (ν) = \frac{2 h}{c^{2}} \frac{ν^{3}}{e^{h ν / (k_{B} T)} - 1}, \end{matrix}

我们只需要对频率和上半球面的立体角做积分即可。但是注意在不垂直黑体表面的方向，功率需要乘以

\cos θ

（表面积在该方向的投影是

\cos θ

）。

\begin{matrix} (4) & \frac{d P}{d S} = \int_{0}^{\infty} I (ν) d ν \int_{0}^{2 π} d ϕ \int_{0}^{π / 2} \cos θ \sin θ d θ = π \int_{0}^{\infty} I (ν) d ν . \end{matrix}

使用换元积分，令

u = h ν / (k_{B} T)

得

\begin{matrix} (5) & \frac{d P}{d S} = \frac{2 π h}{c^{2}} {(\frac{k_{B} T}{h})}^{4} \int_{0}^{\infty} \frac{u^{3}}{e^{u} - 1} d u, \end{matrix}

其中积分的结果可以用黎曼

ζ

函数表示为

6 ζ (4) = π^{4} / 15

。代入即可得式 1 。

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