斯特藩—玻尔兹曼定律

             

   斯特藩—玻尔兹曼定律(Stefan-Boltzmann law)指的是,黑体单位面积的辐射功率与温度的 4 次方成正比

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{P}}{\mathrm{d}{S}} = \sigma T^4 \end{equation}
其中 $\sigma$ 是斯特藩—玻尔兹曼常数(Stefan-Boltzmann constant)
\begin{equation} \sigma = \frac{2\pi^5k_B^4}{15c^2h^3} = 5.670374419\dots \times 10^{-8} \,\mathrm{Wm^{-2}K^{-4}} \end{equation}
其中 $k_B$ 是玻尔兹曼常数,$c$ 是真空中的光速,$h$ 是普朗克常数,详见 “物理学常数”.

1. 从黑体辐射定律推导

预备知识 黑体辐射定律

   我们考虑黑体表面一个小平面,以它的法向量(指向真空)为极轴建立球坐标系.单位面积单位频率单位立体角的功率见(式 3

\begin{equation} I(\nu) = \frac{2h}{c^2} \frac{\nu^3}{ \mathrm{e} ^{h\nu/(k_B T)} - 1} \end{equation}
我们只需要对频率和上半球面的立体角做积分即可.但是注意在不垂直黑体表面的方向,功率需要乘以 $\cos\theta$(表面积在该方向的投影是 $\cos\theta$).
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{P}}{\mathrm{d}{S}} = \int_0^\infty I(\nu) \,\mathrm{d}{\nu} \int_0^{2\pi} \,\mathrm{d}{\phi} \int_0^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta \,\mathrm{d}{\theta} = \pi \int_0^\infty I(\nu) \,\mathrm{d}{\nu} \end{equation}
使用换元积分,令 $u = h\nu/(k_BT)$ 得
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{P}}{\mathrm{d}{S}} = \frac{2\pi h}{c^2} \left(\frac{k_B T}{h} \right) ^4 \int_0^\infty \frac{u^3}{ \mathrm{e} ^u - 1} \,\mathrm{d}{u} \end{equation}
其中积分的结果可以用黎曼 $\zeta$ 函数表示为 $6\zeta(4) = \pi^4/15$.代入即可得式 1

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