光子气体

贡献者： _Eden_; addis

预备知识 1　近独立子系，盒中的电磁波

本文处于草稿阶段。

　　光子气体是一类特殊的理想玻色气体。由于某一个光子可以被气体容器壁的分子吸收后再放出多个光子，光子气体的光子数是不守恒的，所以它的化学势 $μ$ 为 $0$ ，辐射场的不同频率的能量密度只取决于光子气体的温度 $T$ 。

1. 态密度

　　在一维情形下，施加周期性边界条件，一个电磁波振动模式所对应的波矢 $k$ 是 $2 π / L$ 的倍数，那么波矢空间中 $d k$ 中包括了 $2 \cdot \frac{L}{2 π} d k$ 个振动模式， $2$ 来自于电磁波的两个偏振自由度。推广到三维情形，波矢空间的态密度为 $2 \cdot V \frac{d k^{3}}{(2 π)^{3}} = 2 \cdot V k^{2} d k / (2 π^{2})$ ，前面的系数 $2$ 来自于电磁波的两个偏振自由度。对于电磁波， $k = ω / c$ ，所以态密度为 $V ω^{2} d ω / (π^{2} c^{3})$ 。

　　现在考察辐射场的能量 $U$ ，考察每个频率区间 $[ω, ω + d ω]$ 范围内的辐射场能量 $U (ω, T) d ω$ 。根据玻色分布（式 10 ），每一个振动模式（能级）可以有多个光子占据，光子的平均占据数为 $\frac{1}{\exp (ℏ ω / k T) - 1}$ ，而每个光子的能量为 $ℏ ω$ ，即某个能级上的光子平均能量为 $ℏ ω / (\exp (ℏ ω / k T) - 1)$ 。用这一结果乘以态密度，最终可以得到辐射场的能量公式

\begin{matrix} (1) & \begin{array}{r} U (ω, T) d ω = \frac{V}{π^{2} c^{3}} [ℏ ω^{3} / (\exp (ℏ ω / k T) - 1)] d ω . \end{array} \end{matrix}

　　对频率积分，就可以得到辐射场的总能量

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} U (T) & = \int U (ω, T) d ω = \frac{V}{π^{2} c^{3}} \int \frac{ℏ ω^{3}}{\exp (ℏ ω / k T) - 1} d ω, \\ = \frac{V}{π^{2} c^{3}} \frac{(k T)^{4}}{ℏ^{3}} \int \frac{z^{3} d z}{e^{z} - 1} = \frac{V}{π^{2} c^{3} ℏ^{3}} (k T)^{4} Γ (4) ζ (4) \\ = \frac{V π^{2}}{15 c^{3} ℏ^{3}} (k T)^{4} \end{aligned} \end{matrix}

可以看出辐射场能量正比于温度的四次方。这里运用了公式

\begin{matrix} (3) & \int_{0}^{\infty} \frac{z^{n} d z}{e^{z} - 1} = Γ (n + 1) ζ (n + 1), ζ (4) = \sum_{n} \frac{1}{n^{4}} = \frac{π^{4}}{90} . \end{matrix}

2. 巨正则系综方法

预备知识 2　等间隔能级系统（正则系宗）

未完成：这个方法实际上是巨正则系综，光子数不确定，需要用巨配分函数。需要改一下描述，计算过程是不变的。需要引用巨正则系综的文章

我们用巨正则系综下推导光子气体的总能能量和压强。已知单模式（单频率）的光子气体的巨配分函数为

Ξ (ω) = \sum_{n \geq 0} \exp (- (n ℏ ω - μ n) β) = 1 / [1 - \exp (- ω ℏ β)]

，这里用到了光子气体化学势

μ = 0

的性质。系统的巨配分函数为

\begin{matrix} (4) & Ξ = \prod_{i} Ξ (ω_{i}) = \prod_{i} \frac{1}{1 - \exp (- ω_{i} ℏ β)} . \end{matrix}

系统总能量为

\begin{matrix} (5) & U = - \frac{\partial}{\partial β} \ln Ξ = \sum_{i} \frac{\partial}{\partial β} \ln (1 - e^{- ω_{i} ℏ β}) = \sum_{i} \frac{ω_{i} ℏ e^{- ω_{i} ℏ β}}{1 - e^{- ω_{i} ℏ β}} = \sum_{i} \frac{ω_{i} ℏ}{e^{ω_{i} ℏ β} - 1} . \end{matrix}

用积分来求和，模式密度为

ρ (ω) = V ω^{2} / (π^{2} c^{3})

\begin{matrix} (6) & U = \frac{V}{π^{2} c^{3}} \int_{0}^{\infty} \frac{ω^{3} ℏ}{e^{ω ℏ β} - 1} d ω, \end{matrix}

用换元积分法，令

x = ω ℏ β

\begin{matrix} (7) & U = \frac{V}{π^{2} c^{3} β^{4} ℏ^{3}} \int_{0}^{\infty} \frac{x}{e^{x} - 1} d x = \frac{π^{2} V}{15 c^{3} ℏ^{3}} (k T)^{4} . \end{matrix}

最后的积分利用了公式式 3 ，也可由 Mathematica 完成。

计算压强

　　对于光子气体，由于化学势 $μ = 0$ ，所以亥姆霍兹自由能就等于热力学势 $Ω$ ： $F = Ω + μ N = Ω = - k T \ln Ξ$ ：

\begin{matrix} (8) & F = Ω = - k T \ln Ξ = k T \sum_{i} \ln (1 - e^{- ω_{i} ℏ β}) . \end{matrix}

光子气体的

G = μ N = 0

，利用

F = G - p V = - p V

，可以得到

p = - F / V

，就求出了光子气体的压强。

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