光子气体

             

  • 本词条处于草稿阶段.
预备知识 等间隔能级系统(正则系宗)

   我们仍用正则系宗下推导光子气体的总能能量和压强.已知单模式(单频率)的光子气体配分函数为 $Q(\omega) = 1/[1- \exp\left(-\omega\hbar\beta\right) ]$,系统的配分函数为

\begin{equation} Q = \prod_i Q(\omega_i) = \prod_i \frac{1}{1- \exp\left(-\omega_i\hbar\beta\right) } \end{equation}
系统总能量为
\begin{equation} U = - \frac{\partial}{\partial{\beta}} \ln Q = \sum_i \frac{\partial}{\partial{\beta}} \ln\left(1 - \mathrm{e} ^{-\omega_i \hbar \beta}\right) = \sum_i \frac{\omega_i \hbar \mathrm{e} ^{-\omega_i \hbar\beta}}{1- \mathrm{e} ^{-\omega_i \hbar \beta}} = \sum_i \frac{\omega_i \hbar}{ \mathrm{e} ^{\omega_i\hbar\beta} - 1} \end{equation}
用积分来求和,模式密度为 $\rho(\omega) = V\omega^2/(\pi^2 c^3)$
\begin{equation} U = \frac{V}{\pi^2 c^3} \int_0^\infty \frac{\omega^3 \hbar}{ \mathrm{e} ^{\omega\hbar\beta} - 1} \,\mathrm{d}{\omega} \end{equation}
用换元积分法,令 $x = \omega\hbar\beta$
\begin{equation} U = \frac{V}{\pi^2c^3 \beta^4 \hbar^3} \int_0^\infty \frac{x}{ \mathrm{e} ^x - 1} \,\mathrm{d}{x} = \frac{\pi^2 V}{15c^3 \hbar^3} (kT)^4 \end{equation}
最后的积分可由 Mathematica 完成.

1. 压强

   由正则系宗法的步骤,先求出亥姆霍兹自由能

\begin{equation} F = -kT \ln Q = kT \sum_i \ln\left(1 - \mathrm{e} ^{-\omega_i \hbar\beta}\right) \end{equation}

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