贡献者： _Eden_; addis
光子气体是一类特殊的理想玻色气体。由于某一个光子可以被气体容器壁的分子吸收后再放出多个光子，光子气体的光子数是不守恒的，所以它的化学势 $\mu$ 为 $0$，辐射场的不同频率的能量密度只取决于光子气体的温度 $T$。
1. 态密度
在一维情形下，施加周期性边界条件，一个电磁波振动模式所对应的波矢 $k$ 是 $2\pi/L$ 的倍数，那么波矢空间中 $d k$ 中包括了 $2\cdot \frac{L}{2\pi} dk$ 个振动模式，$2$ 来自于电磁波的两个偏振自由度。推广到三维情形，波矢空间的态密度为 $2\cdot V \frac{dk^3}{(2\pi)^3}=2\cdot Vk^2dk/(2\pi^2)$，前面的系数 $2$ 来自于电磁波的两个偏振自由度。对于电磁波，$k=\omega/c$，所以态密度为 $V \omega^2 d\omega/(\pi^2 c^3)$。
现在考察辐射场的能量 $U$，考察每个频率区间 $[\omega,\omega+d\omega]$ 范围内的辐射场能量 $U(\omega,T)d\omega$。根据玻色分布（式 10 ），每一个振动模式（能级）可以有多个光子占据，光子的平均占据数为 $\frac{1}{ \exp\left(\hbar\omega/kT\right) -1}$，而每个光子的能量为 $\hbar\omega$，即某个能级上的光子平均能量为 $\hbar\omega/( \exp\left(\hbar\omega/kT\right) -1)$。用这一结果乘以态密度，最终可以得到辐射场的能量公式
\begin{equation}
\begin{aligned}
U(\omega,T) d\omega=\frac{V}{\pi^2c^3} \left[\hbar\omega^3/( \exp\left(\hbar\omega/kT\right) -1)\right] d\omega~.
\end{aligned}
\end{equation}
对频率积分，就可以得到辐射场的总能量
\begin{equation}
\begin{aligned}
U(T)&=\int U(\omega,T) d\omega=\frac{V}{\pi^2c^3} \int \frac{\hbar\omega^3}{ \exp\left(\hbar\omega/kT\right) -1} d\omega~,\\
&=\frac{V}{\pi^2c^3 } \frac{(kT)^4}{\hbar^3}\int \frac{z^3dz}{e^z-1}=\frac{V}{\pi^2c^3\hbar^3}(kT)^4\Gamma(4)\zeta(4)\\
&=\frac{V\pi^2}{15c^3\hbar^3}(kT)^4
\end{aligned}
\end{equation}
可以看出辐射场能量正比于温度的四次方。这里运用了公式
\begin{equation}
\int_0^\infty \frac{z^n dz}{e^z-1}=\Gamma(n+1)\zeta(n+1),\quad \zeta(4)=\sum_n \frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}~.
\end{equation}
2. 巨正则系综方法
未完成：这个方法实际上是巨正则系综，光子数不确定，需要用巨配分函数。需要改一下描述，计算过程是不变的。需要引用巨正则系综的词条
我们用巨正则系综下推导光子气体的总能能量和压强。已知单模式（单频率）的光子气体的巨配分函数为 $\Xi(\omega) =\sum_{n\ge 0} \exp\left(-(n\hbar\omega-\mu n)\beta\right) = 1/[1- \exp\left(-\omega\hbar\beta\right) ]$，这里用到了光子气体化学势 $\mu=0$ 的性质。系统的巨配分函数为
\begin{equation}
\Xi = \prod_i \Xi(\omega_i) = \prod_i \frac{1}{1- \exp\left(-\omega_i\hbar\beta\right) }~.
\end{equation}
系统总能量为
\begin{equation}
U = - \frac{\partial}{\partial{\beta}} \ln \Xi = \sum_i \frac{\partial}{\partial{\beta}} \ln\left(1 - \mathrm{e} ^{-\omega_i \hbar \beta}\right) = \sum_i \frac{\omega_i \hbar \mathrm{e} ^{-\omega_i \hbar\beta}}{1- \mathrm{e} ^{-\omega_i \hbar \beta}} = \sum_i \frac{\omega_i \hbar}{ \mathrm{e} ^{\omega_i\hbar\beta} - 1}~.
\end{equation}
用积分来求和，模式密度为 $\rho(\omega) = V\omega^2/(\pi^2 c^3)$
\begin{equation}
U = \frac{V}{\pi^2 c^3} \int_0^\infty \frac{\omega^3 \hbar}{ \mathrm{e} ^{\omega\hbar\beta} - 1} \,\mathrm{d}{\omega} ~,
\end{equation}
用换元积分法，令 $x = \omega\hbar\beta$
\begin{equation}
U = \frac{V}{\pi^2c^3 \beta^4 \hbar^3} \int_0^\infty \frac{x}{ \mathrm{e} ^x - 1} \,\mathrm{d}{x} = \frac{\pi^2 V}{15c^3 \hbar^3} (kT)^4~.
\end{equation}
最后的积分利用了公式
式 3 ，也可由 Mathematica 完成。
计算压强
对于光子气体，由于化学势 $\mu=0$，所以亥姆霍兹自由能就等于热力学势 $\Omega$：$F=\Omega+\mu N=\Omega=-kT\ln \Xi$：
\begin{equation}
F =\Omega= -kT \ln \Xi = kT \sum_i \ln\left(1 - \mathrm{e} ^{-\omega_i \hbar\beta}\right) ~.
\end{equation}
光子气体的 $G=\mu N=0$，利用 $F=G-pV=-pV$，可以得到 $p=-F/V$，就求出了光子气体的压强。
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