仿射群

                     

贡献者: 零穹

预备知识 仿射空间

   仿射群是在仿射空间利用仿射映射(定义 3 )构建的一种群.让我们进行如下思考:群首先要满足封闭性,即两个群元作用(或运算)得到的还是一个群元,对仿射群而言,群元是仿射映射,映射的运算很自然的用映射的复合(子节 5 )表示.那么封闭性要求对两仿射映射 $f,g$,$fg$ 还是仿射映射.映射的复合要求 $f$ 的定义域起码得包含 $g$ 的值域.记

\begin{equation} f:\mathbb A\rightarrow\mathbb A_1,\quad g:\mathbb A_2\rightarrow \mathbb A_3 \end{equation}
则 $\mathbb A_3\subset \mathbb A$.而任意两个群元都可以进行运算的,即还有 $gf$ 也是仿射映射,同理,这意味着 $\mathbb A_1\subset\mathbb A_2$.即
\begin{equation} \mathbb A_3\subset \mathbb A,\quad \mathbb A_1\subset\mathbb A_2 \end{equation}

   其次,群元必定得有逆元,对映射而言,就是逆映射得存在,这表明

\begin{equation} f^{-1}:\mathbb A_1\rightarrow\mathbb A,\quad g^{-1}:\mathbb A_3\rightarrow\mathbb A_2 \end{equation}
存在,和前面一样,又有
\begin{equation} \mathbb A_2\subset \mathbb A_1, \mathbb A\subset\mathbb A_3 \end{equation}
式 2 ,式 4 联立,就有
\begin{equation} \mathbb A=\mathbb A_1= \mathbb A_2=\mathbb A_3 \end{equation}
也就是说,仿射群是由仿射空间 $(\mathbb A,V)$ 上的所有自同构 $f:\mathbb A\rightarrow\mathbb A$ 实现的.由仿射映射的定义:
\begin{equation} f(\dot p+v)=f(\dot p)+Df\cdot v \end{equation}
显然,这里 $Df$ 是 $V\rightarrow V$ 上的可逆的线性映射(定理 1 ).这意味着,$Df$ 是一个可逆的线性算子(子节 1 ),可记为 $\mathcal F=Df$.于是式 6 变成
\begin{equation} f(\dot p+v)=f(\dot p)+\mathcal F v \end{equation}

1. 仿射群

定义 1 仿射群

   设 $n$ 维仿射空间 $(\mathbb A,V)$ 定义在域 $\mathbb F$ 上,则所有仿射自同构配上映射复合构成的集合 $\mathrm{Aff}(\mathbb A)=A_n(\mathbb F)$ 称为仿射空间 $\mathbb A$ 上的 $n$ 维仿射群

   用 $e$ 表示仿射群的单位元,它是单位仿射变换(或恒等变换),其线性部分为 $V$ 上的单位算子 $\mathcal E$.

   容易证明:$e$ 是单位仿射变换,当且仅当存在一点 $\dot q$,使得 $e(\dot o)=\dot o$,且 $e$ 的线性部分为 $\mathcal E$.事实上

\begin{equation} e(\dot p)=e(\dot q+\overrightarrow{qp})=e(\dot q)+\mathcal E \overrightarrow{qp}=\dot q+\overrightarrow{qp}=\dot p \end{equation}
反过来,$e$ 是单位仿射变换,则 $\forall\dot q$,都有 $e(\dot q)=\dot q$.于是
\begin{equation} \begin{aligned} e(\dot p+v)=e(\dot p)+De\cdot v&=\dot p+De\cdot v=\dot p+v\\ &\Downarrow\\ De&=\mathcal E \end{aligned} \end{equation}
故证得结论.

例 1 

   若 $f,g$ 是线性部分分别为 $\mathcal F,\mathcal G$ 的两个仿射自同构,试证明,$fg$ 的线性部分为 $\mathcal {F,G}$.

   证明

\begin{equation} (fg)(\dot p+v)=f(g(\dot p+v))+f(g(\dot p)+\mathcal G v)=fg(\dot p)+\mathcal {FG}v \end{equation}
证毕!

定理 1 

   所有保持点 $\dot o$ 不动的仿射自同构构成的集合是一个子群 $A_n(\mathbb F)_{\dot o}\in A_n(\mathbb F)$,且在

\begin{equation} D:f\rightarrow Df,\quad \forall f\in A_n(\mathbb F)_{\dot o} \end{equation}
下同构于完全线性群 $GL(V)=GL_n(\mathbb F)$(例 5 ).空间 $\mathbb A$ 的所有平移构成的子群 $T=\{t_v|v\in V\}$ 在群 $A_n(\mathbb F)$ 中是正规的(定义 1 ),并且属于映射 $D$ 的核.

   证明:先证明定理第 1 部分:

   封闭性: $\forall f,g\in A_n(\mathbb F)_{\dot o}$,设 $\mathcal F,\mathcal G$ 分别是 $f,g$ 的线性部分,于是

\begin{equation} (fg)(\dot o+x)=f(g(\dot o+x))=f(g(\dot o)+\mathcal G x)=\dot o+\mathcal{FG}x \end{equation}
故 $fg\in A_n(\mathbb F)_{\dot o}$.

   可逆性:显然 $f^{-1}(\dot o+x)=\dot o+\mathcal F^{-1}x$ 是 $f(\dot o+x)=\dot o+\mathcal F x$ 的逆.

   单位元,结合性显然.

   所以,$A_n(\mathbb F)_{\dot o}$ 是 $A_n(\mathbb F)$ 的一个子群.

   由同构的定义(),$D:f\rightarrow Df=\mathcal F$ 显然是 $A_n(\mathbb F)_{\dot o}$ 到 $GL(V)$ 上的同构.

   第 2 部分的证明:

   由习题 1 ,所有平移构成的子群 $T$ 同构于空间 $V$ 的加法群. 对 $f\in A_n(\mathbb F)$ 且 $Df=\mathcal F$,则

\begin{equation} \begin{aligned} (f^{-1}t_vf)(\dot p)&=(f^{-1}t_v)f(\dot p)=f^{-1}(f(\dot p)+v)\\ &=f^{-1}(f(\dot p))+\mathcal F^{-1}v=\dot p+\mathcal F^{-1}v\\ &=t_{\mathcal F^{-1}v}(\dot p) \end{aligned} \end{equation}
因为 $\dot p$ 的任意性,从而 $f^{-1}t_vf=t_{\mathcal F^{-1}v}$.由正规子群的定义(定义 1 ),$T$ 显然是 $A_n(\mathbb F)$ 的正规子群.

   由 $\ker D=\{f\in A_n(\mathbb F)|\mathcal F=\mathcal E\}$,$A_n(\mathbb F)$ 中的平移显然都在 $\ker D$ 中,且

\begin{equation} f\in \ker D\Rightarrow f(\dot p+v)=f(\dot p)+v=\dot p+v+\overrightarrow{pf(p)} \end{equation}
由于 $u=\overrightarrow{(\dot p+v)(f(\dot p)+v)}=\overrightarrow{pf(p)}$ 与点 $\dot p$ 无关(由 $v$ 的任意性可见),所以 $f=t_u$ 是个用矢量 $u$ 做的平移.

   证毕!

   所谓的正合列1 是指这样一个序列:

\begin{equation} \cdots\rightarrow M_{i-1}\xrightarrow{\alpha_i} M_{i}\xrightarrow{\alpha_{i+1}}M_{i+1}\rightarrow\cdots \end{equation}
其中 $\mathrm{Im}\,\alpha_{i}=\ker\alpha_{i+1}$,$\{\alpha_i\}$ 是从 $M_{i-1}$ 到 $M_i$ 的同态映射(定义 2 ).由此,容易验证
\begin{equation} e\rightarrow T\xrightarrow{\varphi}A_n(\mathbb F)\xrightarrow{D} GL_n(\mathbb F)\rightarrow \overline{e} \end{equation}
是个正合列,其中 $\varphi$ 是恒等映射,$\overline{e}$ 就是只含有一个单位元 $\overline{e}$ 的群.


1. ^ 实际上这里叫做正合性,正合列还要求 $\{M_i\}$ 是环 $R$ 的模


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