仿射群

贡献者：零穹; addis

预备知识　仿射空间

　　 仿射群是在仿射空间利用仿射映射（定义 3 ）构建的一种群。让我们进行如下思考：群首先要满足封闭性，即两个群元作用（或运算）得到的还是一个群元，对仿射群而言，群元是仿射映射，映射的运算很自然的用映射的复合（子节 5 ）表示。那么封闭性要求对两仿射映射 $f, g$ ， $f g$ 还是仿射映射。映射的复合要求 $f$ 的定义域起码得包含 $g$ 的值域。记

\begin{matrix} (1) & f : A \to A_{1}, g : A_{2} \to A_{3} . \end{matrix}

则

A_{3} \subset A

。而任意两个群元都可以进行运算的，即还有

g f

也是仿射映射，同理，这意味着

A_{1} \subset A_{2}

。即

\begin{matrix} (2) & A_{3} \subset A, A_{1} \subset A_{2} . \end{matrix}

　　其次，群元必定得有逆元，对映射而言，就是逆映射得存在，这表明

\begin{matrix} (3) & f^{- 1} : A_{1} \to A, g^{- 1} : A_{3} \to A_{2} . \end{matrix}

存在，和前面一样，又有

\begin{matrix} (4) & A_{2} \subset A_{1}, A \subset A_{3} . \end{matrix}

式 2 ,式 4 联立，就有

\begin{matrix} (5) & A = A_{1} = A_{2} = A_{3} . \end{matrix}

也就是说，仿射群是由仿射空间

(A, V)

上的所有自同构

f : A \to A

实现的。由仿射映射的定义：

\begin{matrix} (6) & f (\dot{p} + v) = f (\dot{p}) + D f \cdot v . \end{matrix}

显然，这里

D f

是

V \to V

上的可逆的线性映射（定理 1 ）。这意味着，

D f

是一个可逆的线性算子（子节 1 ），可记为

F = D f

。于是式 6 变成

\begin{matrix} (7) & f (\dot{p} + v) = f (\dot{p}) + F v . \end{matrix}

1. 仿射群

定义 1　仿射群

　　设 $n$ 维仿射空间 $(A, V)$ 定义在域 $F$ 上，则所有仿射自同构配上映射复合构成的集合 $Aff (A) = A_{n} (F)$ 称为仿射空间 $A$ 上的 $n$ 维仿射群。

　　用 $e$ 表示仿射群的单位元，它是单位仿射变换(或恒等变换)，其线性部分为 $V$ 上的单位算子 $E$ 。

　　容易证明： $e$ 是单位仿射变换，当且仅当存在一点 $\dot{q}$ ，使得 $e (\dot{o}) = \dot{o}$ ，且 $e$ 的线性部分为 $E$ 。事实上

\begin{matrix} (8) & e (\dot{p}) = e (\dot{q} + \vec{q p}) = e (\dot{q}) + E \vec{q p} = \dot{q} + \vec{q p} = \dot{p} . \end{matrix}

反过来，

e

是单位仿射变换，则

\forall \dot{q}

，都有

e (\dot{q}) = \dot{q}

。于是

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} e (\dot{p} + v) = e (\dot{p}) + D e \cdot v & = \dot{p} + D e \cdot v = \dot{p} + v \\ ⇓ \\ D e & = E . \end{aligned} \end{matrix}

故证得结论。

例 1　

　　若 $f, g$ 是线性部分分别为 $F, G$ 的两个仿射自同构，试证明， $f g$ 的线性部分为 $F, G$ .

　　证明：

\begin{matrix} (10) & (f g) (\dot{p} + v) = f (g (\dot{p} + v)) + f (g (\dot{p}) + G v) = f g (\dot{p}) + FG v . \end{matrix}

证毕!

定理 1　

　　所有保持点 $\dot{o}$ 不动的仿射自同构构成的集合是一个子群 $A_{n} (F)_{\dot{o}} \in A_{n} (F)$ ，且在

\begin{matrix} (11) & D : f \to D f, \forall f \in A_{n} (F)_{\dot{o}} . \end{matrix}

下同构于完全线性群

G L (V) = G L_{n} (F)

（例 5 ）。空间

A

的所有平移构成的子群

T = {t_{v} | v \in V}

在群

A_{n} (F)

中是正规的（定义 1 ），并且属于映射

D

的核。

　　 证明：先证明定理第 1 部分：

　　 封闭性： $\forall f, g \in A_{n} (F)_{\dot{o}}$ ，设 $F, G$ 分别是 $f, g$ 的线性部分，于是

\begin{matrix} (12) & (f g) (\dot{o} + x) = f (g (\dot{o} + x)) = f (g (\dot{o}) + G x) = \dot{o} + FG x, \end{matrix}

故

f g \in A_{n} (F)_{\dot{o}}

。

　　 可逆性：显然 $f^{- 1} (\dot{o} + x) = \dot{o} + F^{- 1} x$ 是 $f (\dot{o} + x) = \dot{o} + F x$ 的逆。

　　 单位元，结合性显然。

　　所以， $A_{n} (F)_{\dot{o}}$ 是 $A_{n} (F)$ 的一个子群。

　　由同构的定义， $D : f \to D f = F$ 显然是 $A_{n} (F)_{\dot{o}}$ 到 $G L (V)$ 上的同构。

　　第 2 部分的证明：

　　由习题 1 ，所有平移构成的子群 $T$ 同构于空间 $V$ 的加法群。对 $f \in A_{n} (F)$ 且 $D f = F$ ，则

\begin{matrix} (13) & \begin{aligned} (f^{- 1} t_{v} f) (\dot{p}) & = (f^{- 1} t_{v}) f (\dot{p}) = f^{- 1} (f (\dot{p}) + v) \\ = f^{- 1} (f (\dot{p})) + F^{- 1} v = \dot{p} + F^{- 1} v \\ = t_{F^{- 1} v} (\dot{p}) . A f Q \end{aligned} \end{matrix}

因为

\dot{p}

的任意性，从而

f^{- 1} t_{v} f = t_{F^{- 1} v}

。由正规子群的定义（定义 1 ），

T

显然是

A_{n} (F)

的正规子群。

　　由 $\ker D = {f \in A_{n} (F) | F = E}$ ， $A_{n} (F)$ 中的平移显然都在 $\ker D$ 中，且

\begin{matrix} (14) & f \in \ker D \Rightarrow f (\dot{p} + v) = f (\dot{p}) + v = \dot{p} + v + \vec{p f (p)} . \end{matrix}

由于

u = \vec{(\dot{p} + v) (f (\dot{p}) + v)} = \vec{p f (p)}

与点

\dot{p}

无关（由

v

的任意性可见），所以

f = t_{u}

是个用矢量

u

做的平移。

　　 证毕！

　　所谓的正合列¹ 是指这样一个序列：

\begin{matrix} (15) & \dots \to M_{i - 1} \overset{α_{i}}{\to} M_{i} \overset{α_{i + 1}}{\to} M_{i + 1} \to \dots, \end{matrix}

其中

Im α_{i} = \ker α_{i + 1}

，

{α_{i}}

是从

M_{i - 1}

到

M_{i}

的同态映射（定义 2 ）。由此，容易验证

\begin{matrix} (16) & e \to T \overset{φ}{\to} A_{n} (F) \overset{D}{\to} G L_{n} (F) \to \overset{―}{e} \end{matrix}

是个正合列，其中

φ

是恒等映射，

\overset{―}{e}

就是只含有一个单位元

\overset{―}{e}

的群。

1. ^ 实际上这里叫做正合性，正合列还要求 ${M_{i}}$ 是环 $R$ 的模

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仿射群

1. 仿射群

定义 1 仿射群

例 1

定理 1

定义 1　仿射群

例 1　

定理 1　