群的同态与同构

                     

贡献者: JierPeter; addis; hfb25

预备知识 正规子群

1. 同构

   让我们来观察两个群 $(\mathbb{Z}, +)$ 和 $(2\mathbb{Z},+)$.如果我们把 $2\mathbb{Z}$ 中的 $2$ 都看成 $1$,$4$ 都看成 $2$,以此类推,将 $2k$ 都看成 $k$,那么两个群的运算规则是一模一样的.比如说,$2\mathbb{Z}$ 中有 $2+4=6$,对应的是 $\mathbb{Z}$ 中 $1+2=3$ 的等式.

   我们研究集合和群的时候,元素叫什么名字并不重要,重要的是元素之间是否相同以及运算规则是怎样的.那么,如果我们真的将 $2\mathbb{Z}$ 中的元素 $2k$ 都重命名为 $k$,它就和 $\mathbb{Z}$ 没什么区别了.所以在群的意义上,如果不考虑子群关系,单独把 $\mathbb{Z}$ 和 $2\mathbb{Z}$ 拿出来的时候,我们就认为它们是不可区分的,完全相同的两个群.

   如果我们建立一个映射 $f:\mathbb{Z}\rightarrow2\mathbb{Z}$,定义为 $f(k)=2k$,那么这个 $f$ 就是一个双射,它在两个群的元素之间一一对应地建立了联系.这样,对于任意整数 $m, n$,有 $f(m)+f(n)=f(m+n)$,也就是说 “先运算再映射” 和 “先映射再运算” 结果是相同的.

   类似地,对于任意的两个群 $G$ 和 $K$,如果存在一个双射 $f:G\rightarrow K$,使得对于任意的 $x, y\in G$ 都满足 $f(x)f(y)=f(xy)$,那么这两个群的运算结构就是一模一样的.这时我们说这两个群是同构(isomorphic)的,而这个使得它们同构的双射就被称为 $G$ 和 $K$ 之间的同构映射(isomorphic mapping),也可以简称同构(isomorphism)这里加粗的两个 “同构”,前者是形容词,后者是名词.

定义 1 自同构

   称群到自身的同构为一个自同构(automorphism)1

   群 $G$ 的全体自同构配合映射的复合,又构成一个群,称为 $G$ 的自同构群,记为 $ \operatorname {Aut}(G)$.

   由于同构使得两个群各方面表现一模一样,研究同构其实没有太大意义,我们甚至直接把同构的两个群看成同一个群,不管元素具体怎么命名的.有意思的结构,是以下定义的 “同态映射”.

2. 同态

   同构映射是一个双射.如果把这个要求拿掉,我们就得到同态的概念:

定义 2 同态映射

   对于两个群 $G$ 和 $K$,如果映射(不一定是双射)$f:G\rightarrow K$ 使得 $\forall x, y\in G, f(x)f(y)=f(xy)$,那么称 $G$ 和 $K$ 是同态(homomorphic)的,称 $f$ 是同态映射(homomorphic mapping)同态(homomorphism)

定义 3 像和核

   沿用定义 2 的设定.$K$ 中被映射到的元素构成的集合,称为 $f$ 的像(image),记作 $f(G)$.$G$ 中映射到 $K$ 的单位元 $e_K$ 的元素构成的集合,称为 $f$ 的核(kernal),记为 $\ker(f)$.

   注意,$f(G)\subset K$,$\ker(f)\subset G$.

   同态的两个群,运算结构很相似但又不完全一样.在以上定义的例子中,$K$ 的行为就像是一个弱化版的 $G$,可能会丢失一些细节,但保留的方面和 $G$ 是一模一样的.这么说可能不够具体,我们用习题 1 习题 2 来理解同态的 “似而不同”.

习题 1 

   设两个群 $G$ 和 $K$,$f:G\rightarrow K$ 是一个同态,$x\in G$,求证 $f(x^{-1})=(f(x))^{-1}$.

习题 2 群同态基本定理

   设两个群 $G$ 和 $K$,$f:G\rightarrow K$ 是一个同态.求证:

  1. $\ker(f)$ 是 $G$ 的一个正规子群2
  2. 对于 $x, y\in G$,如果 $x_1$ 和 $y_1$ 分别和 $x, y$ 同余,或者换句话来说,$x_1^{-1}x\in H$ 和 $y_1^{-1}y\in H$,那么 $f(x)=f(x_1)$,$f(y)=f(y_1)$.
  3. 由前两条的结论,证明可以用 $f$ 来导出一个映射 $f': G/\ker(f)\rightarrow K$,它是一个同构.

   由习题 2 ,同态的实质就是商群 $G/\ker(f)$ 和 $K$ 之间的同构.$G/\ker(f)$ 继承了 $G$ 的运算,但是由于把同余的元素全都当作同一个了,也就丢失了一部分细节.因此我们说同态的两个群也是 “似而不同” 的.

3. 内自同构和外自同构

   回顾线性代数中的知识:给定线性空间的基以后,线性变换和矩阵就一一对应(我们称之为给定基下用矩阵表示线性变换),而改变基以后同一个线性变换的基也会变.因此,群 $(\{\text{线性变换}\}, \text{映射的复合})$ 与群 $(\{\text{矩阵}\}, \text{矩阵乘法})$ 之间可以建立同构.这样的同构不是唯一的,而是依赖于基的选择.

   不同的矩阵可以看成同一个线性变换在不同基下的表示,也可以看成两个不同的线性变换在同一个基下的表示.因此,我们可以用一个基来将矩阵对应到线性变换上,再用另一个基将线性变换对应到另一个矩阵上,由此就得到了矩阵之间的对应,这个对应就是矩阵乘法群到自身的同构.同一个线性变换在不同基之间的矩阵表示的关系是相似,具体参见过渡矩阵小节.

   由上段论述可知,给定可逆矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{Q}} $,则矩阵到自身的映射 $f$ 是一个自同构,其中 $f( \boldsymbol{\mathbf{M}} )= \boldsymbol{\mathbf{Q}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{MQ}} $.这提示我们一种构建群自同构的方法.

定义 4 内自同构

   给定群 $G$.取 $g\in G$,定义映射 $ \operatorname {Ad}_g:G\to G$ 如下:对于任意 $x\in G$,都有 $ \operatorname {Ad}_g(x)=gxg^{-1}$.

   称 $ \operatorname {Ad}_g$ 是 $G$ 上的内自同构(inner automorphism),或者共轭自同构(cogredient automorphism)

   群 $G$ 的全体内自同构构成 $ \operatorname {Aut}(G)$ 的一个子群,称为 $G$ 的内自同构群,记为 $ \operatorname {Inn}(G)$.

定理 1 

   内自同构群是自同构群的正规子群.

   证明

   给定群 $G$,设 $f\in \operatorname {Aut}(G)$.任取 $g, x\in G$,则由习题 1 可得,

\begin{equation} \begin{aligned} f^{-1} \left(gf(x)g^{-1} \right) &=f^{-1} \left(g \right) f^{-1} \left(f(x) \right) f^{-1} \left(g^{-1} \right) \\ &=f^{-1} \left(g \right) xf^{-1} \left(g^{-1} \right) \\ &=f^{-1} \left(g \right) x \left(f^{-1} \left(g \right) \right) ^{-1} \end{aligned} \end{equation}

   由 $x$ 的任意性,式 1 意味着 $f\circ \operatorname {Ad}_g\circ f^{-1}= \operatorname {Ad}_{f^{-1}(g)}$.因此 $f\circ \operatorname {Inn}(G)\circ f^{-1}\subseteq \operatorname {Inn}(G)$,故 $ \operatorname {Inn}(G)$ 是 $ \operatorname {Aut}(G)$ 的正规子群.

   证毕

   由定理 1 ,我们可以计算商群 $ \operatorname {Aut}(G)/ \operatorname {Inn}(G)$.

定义 5 外自同构

   给定群 $G$,称 $ \operatorname {Aut}(G)/ \operatorname {Inn}(G)$ 为 $G$ 的外自同构群(outer automorphism),记为 $ \operatorname {Out} (G)$.

例 1 不是内自同构的自同构

   取复数乘法群 $(\mathbb{C}, \times)$,则取共轭映射 $f(z)=\bar{z}$ 是其上一个自同构,但它显然不是内自同构.由于复数乘法的交换性,复数乘法群上的内自同构只有恒等映射一种.

   对于任意群而言,内自同构群的结构是清楚的,由下述定理给出.这个定理其实是群同态基本定理的一个简单应用.

定理 2 

   $ \operatorname {Inn}(G)$ 同构于 $G/C(G)$.

   证明

   我们只需要给出 $G$ 到 $ \operatorname {Inn}(G)$ 的一个同态并证明其核为 $C(G)$ 即可.

   定义映射 $f:G\to \operatorname {Inn} G$ 为 $f(x)= \operatorname {Ad}_x$,容易知道这是个满射,又因为对任意 $g\in G$,有

\begin{equation} \begin{split} (f(x)f(y))(g)&=( \operatorname {Ad}_x \operatorname {Ad}_y)(g)= \operatorname {Ad}_x(( \operatorname {Ad}_y)(g))\\ &=xygy^{-1}x^{-1}=(xy)g(xy)^{-1}\\ &= \operatorname {Ad}_{xy}(g)\\ &=(f(xy))(g), \end{split} \end{equation}
即 $f(x)f(y)=f(xy)$,所以这是一个同态映射.

   其核 $\ker(f)=C(G)$,因为若 $x\in\ker(f)$,则对任意 $g\in G$,有 $xgx^{-1}=g$.

   所以由习题 2 ,$ \operatorname {Inn}(G)$ 同构于 $G/C(G)$.

   证毕

   特别地,由于当 $n\geq 3$ 时 $C(S_n)=\{e\}$,故 $ \operatorname {Inn} S_n$ 与 $S_n$ 同构.

   相比内自同构群,自同构群的结构复杂得多.这里单就置换群给出结果.

定理 3 

   当 $n\neq 2,6$ 时,置换群 $S_n$ 的自同构群同构于自身.

   $S_2$ 的自同构群是平凡群.

   $ \operatorname {Out} S_6$ 是 2 阶循环群.


1. ^ 这个词是用词根 “auto(自身的)” 和单词 “isomorphism(同构)” 组合而成的.
2. ^ 这保证了群 $G/\ker(f)$ 存在.


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