群同态

             

预备知识 正规子群

1. 同构

   让我们来观察两个群 $(\mathbb{Z}, +)$ 和 $(2\mathbb{Z},+)$.如果我们把 $2\mathbb{Z}$ 中的 $2$ 都看成 $1$,$4$ 都看成 $2$,以此类推,将 $2k$ 都看成 $k$,那么两个群的运算规则是一模一样的.比如说,$2\mathbb{Z}$ 中有 $2+4=6$,对应的是 $\mathbb{Z}$ 中 $1+2=3$ 的等式.

   我们研究集合和群的时候,元素叫什么名字并不重要,重要的是元素之间是否相同以及运算规则是怎样的.那么,如果我们真的将 $2\mathbb{Z}$ 中的元素 $2k$ 都重命名为 $k$,它就和 $\mathbb{Z}$ 没什么区别了.所以在群的意义上,如果不考虑子群关系,单独把 $\mathbb{Z}$ 和 $2\mathbb{Z}$ 拿出来的时候,我们就认为它们是不可区分的,完全相同的两个群.

   如果我们建立一个映射 $f:\mathbb{Z}\rightarrow2\mathbb{Z}$,定义为 $f(k)=2k$,那么这个 $f$ 就是一个双射,它在两个群的元素之间一一对应地建立了联系.这样,对于任意整数 $m, n$,有 $f(m)+f(n)=f(m+n)$,也就是说 “先运算再映射” 和 “先映射再运算” 结果是相同的.

   类似地,对于任意的两个群 $G$ 和 $K$,如果存在一个双射 $f:G\rightarrow K$,使得对于任意的 $x, y\in G$ 都满足 $f(x)f(y)=f(xy)$,那么这两个群的运算结构就是一模一样的.这时我们说这两个群是同构(isomorphic)的,而这个使得它们同构的双射就被称为 $G$ 和 $K$ 之间的同构映射(isomorphic mapping),也可以简称同构(isomorphism)这里加粗的两个 “同构”,前者是形容词,后者是名词.

   由于同构使得两个群各方面表现一模一样,研究同构其实没有太大意义,我们甚至直接把同构的两个群看成同一个群,不管元素具体怎么命名的.有意思的结构,是以下定义的 “同态映射”.

2. 同态

   同构映射是一个双射.如果把这个要求拿掉,我们就得到同态的概念:

定义 1 同态映射

   对于两个群 $G$ 和 $K$,如果映射(不一定是双射)$f:G\rightarrow K$ 使得 $\forall x, y\in G, f(x)f(y)=f(xy)$,那么称 $G$ 和 $K$ 是同态(homomorphic)的,称 $f$ 是同态映射(homomorphic mapping)同态(homomorphism)

定义 2 像和核

   沿用定义 1 的设定.$K$ 中被映射到的元素构成的集合,称为 $f$ 的像(image),记作 $f(G)$.$G$ 中映射到 $K$ 的单位元 $e_K$ 的元素构成的集合,称为 $f$ 的核(kernal),记为 $\ker(f)$.

   注意,$f(G)\subset K$,$\ker(f)\subset G$.

   同态的两个群,运算结构很相似但又不完全一样.在以上定义的例子中,$K$ 的行为就像是一个弱化版的 $G$,可能会丢失一些细节,但保留的方面和 $G$ 是一模一样的.这么说可能不够具体,我们用习题来理解同态的 “似而不同”.

习题 1 群同态基本定理

   设两个群 $G$ 和 $K$,$f:G\rightarrow K$ 是一个同态.求证:

  • $\ker(f)$ 是 $G$ 的一个正规子群1
  • 对于 $x, y\in G$,如果 $x_1$ 和 $y_1$ 分别和 $x, y$ 同余,或者换句话来说,$x_1^{-1}x\in H$ 和 $y_1^{-1}y\in H$,那么 $f(x)=f(x_1)$,$f(y)=f(y_1)$.
  • 由前两条的结论,证明可以用 $f$ 来导出一个映射 $f': G/\ker(f)\rightarrow K$ 是一个同构.

   由习题 1 ,同态的实质就是商群 $G/\ker(f)$ 和 $K$ 之间的同构.$G/\ker(f)$ 继承了 $G$ 的运算,但是由于把同余的元素全都当作同一个了,也就丢失了一部分细节.因此我们说同态的两个群也是 “似而不同” 的.


1. ^ 这保证了群 $G/\ker(f)$ 存在.

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