正规子群和商群

贡献者：叶月2_; JierPeter; addis

预备知识　陪集和同余

1. 正规子群

　　在上文中，我们在群上定义了元素和子集间、子集和子集间的运算，还知道了左陪集是一种等价类划分。假设我们有群 $G$ 和它的子群 $H$ ，能不能用 $H$ 的全部左陪集当元素，构成一个集合，并在上面定义一个和 $G$ 的运算相关的群运算呢？

　　最直接的想法，就是直接进行左陪集之间的运算：对于左陪集 $A$ 和 $B$ ，有 $A B = {a b | a \in A, b \in B}$ 。但是一般来说，如果 $G$ 的运算不是可交换的，我们这样算出来的 $A B$ 甚至不一定是一个左陪集，那么这个左陪集之间的运算甚至不满足封闭性，自然不能是个群运算了。

　　如何让左陪集之间的运算满足封闭性呢？

　　假设我们有 $x, y \in G$ ，它们对应的左陪集分别是 $x H$ 和 $y H$ 。由于 $x H = {x h_{1} | h_{1} \in H}$ ， $y H = {y h_{2} | h_{2} \in H}$ ，那么根据定义有： $x H y H = {x h_{1} y h_{2} | h_{1}, h_{2} \in H}$ 。每一个 $x h_{1} y h_{2}$ 都在左陪集 $x h_{1} y H$ 中，我们希望每一个 $h_{1}$ 对应的 $x h_{1} y H$ 都是同一个左陪集。

　　在定理 2 的证明中我们提到了一个判断两元素是否在同一个左陪集中的方法。现在假设 $x h_{1} y$ 和 $x h_{2} y$ 在同一个左陪集里，应用判断方法得到： $(x h_{1} y)^{- 1} (x h_{2} y) \in H$ 。由于 $(x h_{1} y)^{- 1} = y^{- 1} h_{1}^{- 1} x^{- 1}$ ，我们有：

\begin{matrix} (1) & y^{- 1} h_{1}^{- 1} x^{- 1} x h_{2} y \in H, \end{matrix}

也就是说

\begin{matrix} (2) & y^{- 1} h_{1}^{- 1} h_{2} y \in H . \end{matrix}

　　由于这里的 $y$ 是 $G$ 中任意元素， $h_{1}$ 和 $h_{2}$ 是 $H$ 中任意元素，故我们要求 $y^{- 1} H y \subseteq H$ 对于任何 $y \in G$ 都成立，其中 $y^{- 1} H y = {y^{- 1} h_{i} y | h_{i} \in H}$ 。巧的是，让 $H$ 满足了这个要求之后，封闭性就满足了。

习题 1　

　　证明：对于群 $G$ 和它的子群 $H$ ，如果 $H$ 满足对于任意的 $g \in G$ ，都有 $g^{- 1} H g \subseteq H$ ，那么对于任意的 $x, y \in G$ ， $x H y H$ 中的元素都在同一个左陪集中。

推论 1　

　　由于群运算的唯一性，从 $g^{- 1} H g \subseteq H$ 我们还可以推知 $| g^{- 1} H g | = | H |$ ，因此所需要的条件等价于 $g^{- 1} H g = H$ ，即 $H g = g H$ ，也就是左陪集等于右陪集。

定义 1　正规子群

　　满足推论 1 中条件的子群，被称作正规子群（normal subgroup）。我们把 “ $H$ 是 $G$ 的正规子群” 简记为 $H ⊲ G$ 或 $G ⊳ H$ ¹。

　　现在我们考察一下，如果 $H$ 满足了条件，那么在左陪集的集合中通过 $G$ 的运算而导出的集合间的运算，是不是一个群运算。

封闭性：由习题 1 知，该运算有封闭性。
结合性：由于 $G$ 的运算具有结合性可知，设 $x, y, z \in G$ ，那么 $(x h_{1} y h_{2}) z h_{3} = x h_{1} (y h_{2} z h_{3})$ 对任意的 $h_{n} \in H$ 都成立，故而 $(x H y H) z H = x H (y H z H)$ 成立。
单位元存在性： $H$ 就是单位元。
逆元存在性： $x H x^{- 1} H = H H = H$ 。

　　这样一来，在左陪集的集合上也诱导了一个群运算，构成了一个群。我们把这个群叫做群 $G$ 模去正规子群 $H$ 的商群（quotient group），记作 $G / H$ 。由拉格朗日定理（定理 3 ）的证明过程可知， $| G / H | = | G | / | H |$ 。

例 1　 $Z$ 的正规子群和商群

　　 $n Z$ 是 $Z$ 的正规子群，这对任何 $n$ 都成立。证明很简单，因为 $Z$ 是交换群，所以元素位置可以自由互换，因此 $g^{- 1} H g = g^{- 1} g H = H$ 对任何子集都成立，因此交换群的子群都是正规子群。

　　考虑 $Z$ 模去 $3 Z$ 得到的商群，我们记为 $Z / 3 Z = Z_{3}$ 。这个商群一共有 $3$ 个元素，每个元素都是一个左陪集： $0 + 3 Z = 3 Z = {\dots, - 6, - 3, 0, 3, 6, \dots}$ ， $1 + 3 Z = {\dots, - 5, - 2, 1, 4, 7, \dots}$ 和 $2 + 3 Z = {\dots, - 4, - 1, 2, 5, 8, \dots}$ 。换句话说，集合 $Z_{3} = {3 Z, 1 + 3 Z, 2 + 3 Z}$ 。

　　注意，虽然 $Z_{3}$ 的元素是集合，我们仍然要把它们看成一个个的元素。事实上， $Z_{n}$ 的群结构和一个有着 $n$ 个数字的钟表（例 2 ）是一模一样的，因此我们也用 $Z_{n}$ 来表示循环群。

例 2　置换群和交错群

　　我们知道，置换群 $S_{n}$ （例 3 ）是 $n$ 个元素的变换所构成的群。为了简洁地表达变换，我们可以用以下记号：

　　 $(1, 2, 3)$ 表示一个变换，它是将 $1$ 号桶中的球放入 $2$ 号桶， $2$ 号桶中的放入 $3$ 号桶， $3$ 号桶中的又放入 $1$ 号桶。显然， $(2, 3, 1)$ 表示的是同一个变换。 $(1, 2, 3) (4, 5)$ 表示的是先进行 $(1, 2, 3)$ 变换，再进行 $(4, 5)$ 变换。显然，这两个变换没有涉及相同数字，所以它们是彼此分离的，可以交换： $(1, 2, 3) (4, 5) = (4, 5) (1, 2, 3)$ 。

　　如果两个变换有相同数字，那么我们可以把它们合并为一个括号： $(1, 2) (2, 3)$ 代表先 “把 $1$ 号桶中的球放入 $2$ 号桶， $2$ 号桶中的放入 $1$ 号桶”，再 “把 $2$ 号桶中的球放入 $3$ 号桶， $3$ 号桶中的放入 $2$ 号桶”，最终结果是 “ $1$ 号桶中的球放入 $3$ 号桶， $2$ 号桶中的放入 $1$ 号桶， $3$ 号桶中的球放入 $2$ 号桶”，也就是说， $(1, 2) (2, 3) = (1, 3, 2)$ 。注意 $(1, 2, 3) \neq (1, 3, 2)$ 。

　　只涉及到两个元素之间的变换显然是最简单的，我们称之为对换。一切变换都是由若干个对换相乘（复合运算）得到的。可以证明（例 1 ），每进行一次对换，桶中球的 “逆序数” 的奇偶性会改变。初始状态下的逆序数是 $0$ ，一个偶数；因此如果一个变换可以被奇数个对换组合得到，那么这个变换会使得桶中球的逆序数变成奇数，这个变换就叫做奇变换；同样地，偶数个对换组合得到的变换称为偶变换，它会使得桶中球的逆序数仍为偶数。

　　偶变换之间的复合仍然能得到偶变换，因此全体偶变换构成置换群 $S_{n}$ 的一个子群，称为交错群（alternating group），记为 $A_{n}$ 。交错群是置换群的一个正规子群，元素数量是置换群的一半——也就是说， $| S_{n} / A_{n} | = 2$ 对任何 $n$ 都成立。

例 3　中心

　　给定群 $G$ 和它的一个子集 $S$ ，记 $C (S)$ 为 $G$ 中所有能和 $S$ 中元素交换的元素之集合，即 $C (S) = {g \in G | \forall s \in S, g s = s g}$ ，称之为 $S$ 在 $G$ 中的中心化子（centralizer），有时为了强调也记为 $C_{G} (S)$ 。特别地，称 $C (G)$ 是 $G$ 的中心（center）。

　　考虑到对于任意 $c \in C (G)$ 和任意 $g \in G$ 都有 $c g = g c$ ，那么任取 $h \in G$ ，也必有 $h c h^{- 1} g = h h^{- 1} c g = c g = g c = g c h h^{- 1} = g h c h^{- 1}$ ，即 $h c h^{- 1} \in C (G)$ 。因此， $C (G) ⊲ G$ 。

　　任意给定群 $G$ 的子群 $H$ ，它不一定是正规子群，但我们可以适当 “修剪” 群 $G$ 来获得一个子群，使得 $H$ 在这个子群里是正规子群。这样的子群就是以下定义的正规化子：

定义 2　正规化子

　　给定群 $G$ 和它的一个子集 $S$ 。如果 $H$ 是包含 $S$ 的最小的子群²，记 $N (S) = {n \in G | n H = H n}$ ，那么 $N (S)$ 构成一个子群，而 $H ⊳ N (S)$ 。称 $N (S)$ 是 $S$ 的正规化子（normalizer）。

　　注意区分中心化子和正规化子的定义，对于同样的 $S$ ，其正规化子比中心化子的定义要弱一些，并且正规化子本身不一定是 $G$ 的正规子群。

2. 商群继承原群结构

引理 1　

　　给定群 $G$ 及其正规子群 $N$ ，则对于任意 $g \in G$ 有：

\begin{matrix} (3) & N g N = g N . \end{matrix}

　　 proof.

　　因为这是陪集运算，所以在 $N$ 里取代表元素单位元 $e$ ，则 $N g N = g = g N$ 。又或者右乘 $g^{- 1}$ 并利用正规子群的定义即可得。

定理 1　

　　设 $N$ 为 $G$ 的正规子群， $H$ 是 $G$ 的另一个子群。那么 $K = {g N | g \in G, g N \cap H \neq \emptyset}$ 是 $G / N$ 的一个子群，并且在同构意义下是 $H N / N$ 。

　　 proof.

图 1：子群与左陪集相交示意图。如图，构成整个图的最大正方形表示群

G

，中心的红色小正方形表示

G

的子集

N

，旋转

45^{\circ}

的蓝色正方形表示

G

的子集

H

，注意

H

的范围也包括红色部分。其它和

N

一样大的正方形表示

N

在

G

中的各左陪集。

　　 $K$ 是从 $H$ 的所有左陪集中取与 $N$ 相交的等价类。设对于任意 $g_{i} N \in K$ 有 $h_{i} \in g_{i} N \cap H$ ，则 $g_{i} N = h_{i} N$ 。要证明 $K$ 是 $G / N$ 的一个子群，取等价元素研究即可。设任意 $h_{i}, h_{j} \in K$ 且 $h_{i} N \neq h_{j} N$ ，因为 $h_{i}^{- 1} h_{j} \in H$ ，因而 $h_{i}^{- 1} N h_{j} N = h_{i}^{- 1} h_{j} N \in K$ ，第一步得证。

　　正如图 1 所示，在把 $G$ 切分成关于 $N$ 的等价类后， $H$ 的元素全部落在不同左陪集上，为蓝色部分，对应的左陪集为 $K$ ³。下面证明 $K$ 中元素作为 $G / N$ 的部分等价类和 $H N / N$ 一一对应。

　　首先证明 $K$ 实际上就是 $H N$ ，由上述知，只需证明在 $G$ 下是子群即可。设任意两个左陪集为 $h_{1} N, h_{2} N$ ，则 $(h_{1} N)^{- 1} h_{2} N = N h_{1}^{- 1} h_{2} N$ 。由引理 1 得： $(h_{1} N)^{- 1} h_{2} N = h_{1}^{- 1} h_{2} N \in K$ ，因此 $H N$ 是 $G$ 的子群，所以 $N$ 也是 $H N$ 的正规子群，证毕。也就是说，取原群的任一子群与商群相交，可以得到商群的子群。子群的商群之间可以一一对应：

定理 2　

　　 $N$ 是群 $G$ 是正规子群， $H$ 是另一个子群，则有：

\begin{matrix} (4) & (H N / N) ≅ H / (H \cap N) . \end{matrix}

proof.

　　易证 $H \cap N$ 确实是 $H$ 的正规子群。设任意 $h \in H, n \in N, H \cap N = N^{'}$ ，下面证明 $f (h n N) = f (h N) = h N^{'}$ 是一个同构映射。

　　从定义知，该映射是满射。若对于任意 $h_{1}, h_{2} \in H$ 有 $f (h_{1} N) = f (h_{2} N)$ ，则 $h_{1} N^{'} = h_{2} N^{'}$ ，因此 $h_{1}^{- 1} h_{2} \in N^{'} = H \cap N$ ，所以 $h_{1} N = h_{2} N$ ，这是一个单射。

　　因为 $f (h_{1} N N h_{2} N) = f (h_{1} h_{2} N) = h_{1} h_{2} N^{'} = f (h_{1} N) f (h_{2} N)$ ，所以该映射保同态，是同构映射。该映射实际上是把图 1 的蓝色部分映射到其所在正方形上，把 $H \cap N$ 映射到绿色部分。

推论 2　

　　 $G, N, H$ 定义同上。若 $H N = G$ ，则 $G / N ≅ H / (H \cap N)$ 。

习题 2　

　　给定群 $G$ 及其正规子群 $N$ ，令 $Q$ 是 $G / N$ 的正规子群，证明：

　　 $π^{- 1} (Q)$ 也是 $G$ 的正规子群，且

\begin{matrix} (5) & (G / N) / Q ≅ G / (π^{- 1} (Q)) . \end{matrix}

其中

π : G \to G / N

是自然同态。

3. 小结

　　对于任何群 $G ⊳ H$ ，所有左陪集的元素数量都是 $| H |$ ，包括 $H$ 本身。这些左陪集彼此没有交集，但群 $G$ 是所有左陪集的并集，我们由此得到了拉格朗日定理，揭示了一个任何群都具有的简洁的结构特征。商群 $G / H$ 的元素数量，正是 $G$ 和 $H$ 的元素数量的商。

　　当子群 $H$ 满足，对于任意的 $g \in G$ 都有 $g^{- 1} H g = H$ 时， $H$ 就成了一个正规子群。只有正规子群才能生成商群；非正规的子群划分出来的等价类，按照二元关系中提到的方法构成的商集，却并不能用 $G$ 的运算来导出一个群运算。当然，你也可以把这个商集看成和 $G$ 完全无关的集合，给它独立定义一个群运算，但那样这个群就和 $G$ 没有一点关系了，不能叫做 $G$ 的商群。

　　 $G / H$ 的群运算是 $G$ 的运算导出来的，所以继承了 $G$ 中很多相似的性质；但是 $G / H$ 把同一个左陪集中各个元素的差别都抹去了，相当于一个简化版的 $G$ 。所以说，商群继承了原群的部分特征，但是没有完全继承。

　　两个定义相似的概念：中心化子和正规化子。

　　接下来当我们讲到群之间的映射的时候，商群与原群 “似而不同” 的结构非常重要。

1. ^ 三角形总指向子群。
2. ^ 我们通常称 $H$ 是由 $S$ 生成的子群，用 $< S >$ 表示。
3. ^ 图 1 并非很准确， $N$ 与 $H$ 起码有单位元是相交的，因此 $K$ 也包括 $N$

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正规子群和商群

1. 正规子群

习题 1

推论 1

定义 1 正规子群

例 1 Z 的正规子群和商群

例 2 置换群和交错群

例 3 中心

定义 2 正规化子

2. 商群继承原群结构

引理 1

定理 1

定理 2

推论 2

习题 2

3. 小结

习题 1　

推论 1　

定义 1　正规子群

例 1　 $Z$ 的正规子群和商群

例 2　置换群和交错群

例 3　中心

定义 2　正规化子

引理 1　

定理 1　

定理 2　

推论 2　

习题 2　