贡献者： JierPeter; addis
1. 正规子群
在上文中，我们在群上定义了元素和子集间、子集和子集间的运算，还知道了左陪集是一种等价类划分。假设我们有群 $G$ 和它的子群 $H$，能不能用 $H$ 的全部左陪集当元素，构成一个集合，并在上面定义一个和 $G$ 的运算相关的群运算呢？
最直接的想法，就是直接进行左陪集之间的运算：对于左陪集 $A$ 和 $B$，有 $AB=\{ab|a\in A, b\in B\}$。但是一般来说，如果 $G$ 的运算不是可交换的，我们这样算出来的 $AB$ 甚至不一定是一个左陪集，那么这个左陪集之间的运算甚至不满足封闭性，自然不能是个群运算了。
如何让左陪集之间的运算满足封闭性呢？
假设我们有 $x, y\in G$，它们对应的左陪集分别是 $xH$ 和 $yH$。由于 $xH=\{xh_1|h_1\in H\}$，$yH=\{yh_2|h_2\in H\}$，那么根据定义有：$xHyH=\{xh_1yh_2|h_1, h_2\in H\}$。每一个 $xh_1yh_2$ 都在左陪集 $xh_1yH$ 中，我们希望每一个 $h_1$ 对应的 $xh_1yH$ 都是同一个左陪集。
在定理 2 的证明中我们提到了一个判断两元素是否在同一个左陪集中的方法。现在假设 $xh_1y$ 和 $xh_2y$ 在同一个左陪集里，应用判断方法得到：$(xh_1y)^{-1}(xh_2y)\in H$。由于 $(xh_1y)^{-1}=y^{-1}h_1^{-1}x^{-1}$，我们有：
\begin{equation}
y^{-1}h_1^{-1}x^{-1}xh_2y\in H~,
\end{equation}
也就是说
\begin{equation}
y^{-1}h^{-1}_1h_2y\in H~.
\end{equation}
由于这里的 $y$ 是 $G$ 中任意元素，$h_1$ 和 $h_2$ 是 $H$ 中任意元素，故我们要求 $y^{-1}Hy\subseteq H$ 对于任何 $y\in G$ 都成立，其中 $y^{-1}Hy = \left\{y^{-1}h_i y|h_i \in H \right\} $。巧的是，让 $H$ 满足了这个要求之后，封闭性就满足了。
习题 1
证明：对于群 $G$ 和它的子群 $H$，如果 $H$ 满足对于任意的 $g\in G$，都有 $g^{-1}Hg\subseteq H$，那么对于任意的 $x, y\in G$，$xHyH$ 中的元素都在同一个左陪集中。
推论 1
由于群运算的唯一性，从 $g^{-1}Hg\subseteq H$ 我们还可以推知 $|g^{-1}Hg|=|H|$，因此所需要的条件等价于 $g^{-1}Hg=H$，即 $Hg = gH$，也就是左陪集等于右陪集。
定义 1 正规子群
满足推论 1 中条件的子群，被称作正规子群（normal subgroup）。我们把 “$H$ 是 $G$ 的正规子群” 简记为 $H\vartriangleleft G$ 或 $G\vartriangleright H$1。
现在我们考察一下，如果 $H$ 满足了条件，那么在左陪集的集合中通过 $G$ 的运算而导出的集合间的运算，是不是一个群运算。
- 封闭性：由习题 1 知，该运算有封闭性。
- 结合性：由于 $G$ 的运算具有结合性可知，设 $x, y, z\in G$，那么 $(xh_1yh_2)zh_3=xh_1(yh_2zh_3)$ 对任意的 $h_n\in H$ 都成立，故而 $(xHyH)zH=xH(yHzH)$ 成立。
- 单位元存在性：$H$ 就是单位元。
- 逆元存在性：$xHx^{-1}H=HH=H$。
这样一来，在左陪集的集合上也诱导了一个群运算，构成了一个群。我们把这个群叫做群 $G$ 模去正规子群 $H$ 的商群（quotient group），记作 $G/H$。由拉格朗日定理（定理 3 ）的证明过程可知，$|G/H|={|G|}/{|H|}$。
例 1 $\mathbb{Z}$ 的正规子群和商群
$n\mathbb{Z}$ 是 $\mathbb{Z}$ 的正规子群，这对任何 $n$ 都成立。证明很简单，因为 $\mathbb{Z}$ 是交换群，所以元素位置可以自由互换，因此 $g^{-1}Hg=g^{-1}gH=H$ 对任何子集都成立，因此交换群的子群都是正规子群。
考虑 $\mathbb{Z}$ 模去 $3\mathbb{Z}$ 得到的商群，我们记为 $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}=\mathbb{Z}_3$。这个商群一共有 $3$ 个元素，每个元素都是一个左陪集：$0+3\mathbb{Z}=3\mathbb{Z}=\{\cdots, -6, -3, 0, 3, 6, \cdots\}$，$1+3\mathbb{Z}=\{\cdots, -5, -2, 1, 4, 7, \cdots\}$ 和 $2+3\mathbb{Z}=\{\cdots, -4, -1, 2, 5, 8, \cdots\}$。换句话说，集合 $\mathbb{Z}_3=\{3\mathbb{Z}, 1+3\mathbb{Z}, 2+3\mathbb{Z}\}$。
注意，虽然 $\mathbb{Z}_3$ 的元素是集合，我们仍然要把它们看成一个个的元素。事实上，$\mathbb{Z}_n$ 的群结构和一个有着 $n$ 个数字的钟表（例 2 ）是一模一样的，因此我们也用 $\mathbb{Z}_n$ 来表示循环群。
例 2 置换群和交错群
我们知道，置换群 $S_n$（例 3 ）是 $n$ 个元素的变换所构成的群。为了简洁地表达变换，我们可以用以下记号：
$(1,2,3)$ 表示一个变换，它是将 $1$ 号桶中的球放入 $2$ 号桶，$2$ 号桶中的放入 $3$ 号桶，$3$ 号桶中的又放入 $1$ 号桶。显然，$(2,3,1)$ 表示的是同一个变换。$(1,2,3)(4,5)$ 表示的是先进行 $(1,2,3)$ 变换，再进行 $(4,5)$ 变换。显然，这两个变换没有涉及相同数字，所以它们是彼此分离的，可以交换：$(1,2,3)(4,5)=(4,5)(1,2,3)$。
如果两个变换有相同数字，那么我们可以把它们合并为一个括号：$(1,2)(2,3)$ 代表先 “把 $1$ 号桶中的球放入 $2$ 号桶，$2$ 号桶中的放入 $1$ 号桶”，再 “把 $2$ 号桶中的球放入 $3$ 号桶，$3$ 号桶中的放入 $2$ 号桶”，最终结果是 “$1$ 号桶中的球放入 $3$ 号桶，$2$ 号桶中的放入 $1$ 号桶，$3$ 号桶中的球放入 $2$ 号桶”，也就是说，$(1,2)(2,3)=(1,3,2)$。注意 $(1,2,3)\not=(1,3,2)$。
只涉及到两个元素之间的变换显然是最简单的，我们称之为对换。一切变换都是由若干个对换相乘（复合运算）得到的。可以证明（例 1 ），每进行一次对换，桶中球的 “逆序数” 的奇偶性会改变。初始状态下的逆序数是 $0$，一个偶数；因此如果一个变换可以被奇数个对换组合得到，那么这个变换会使得桶中球的逆序数变成奇数，这个变换就叫做奇变换；同样地，偶数个对换组合得到的变换称为偶变换，它会使得桶中球的逆序数仍为偶数。
偶变换之间的复合仍然能得到偶变换，因此全体偶变换构成置换群 $S_n$ 的一个子群，称为交错群（alternating group），记为 $A_n$。交错群是置换群的一个正规子群，元素数量是置换群的一半——也就是说，$|S_n/A_n|=2$ 对任何 $n$ 都成立。
例 3 中心
给定群 $G$ 和它的一个子集 $S$，记 $C(S)$ 为 $G$ 中所有能和 $S$ 中元素交换的元素之集合，即 $C(S)=\{g\in G|\forall s\in S, gs=sg\}$，称之为 $S$ 在 $G$ 中的中心化子（centralizer），有时为了强调也记为 $C_G(S)$。特别地，称 $C(G)$ 是 $G$ 的中心（center）。
考虑到对于任意 $c\in C(G)$ 和任意 $g\in G$ 都有 $cg=gc$，那么任取 $h\in G$，也必有 $hch^{-1}g=hh^{-1}cg=cg=gc=gchh^{-1}=ghch^{-1}$，即 $hch^{-1}\in C(G)$。因此，$C(G)\lhd G$。
任意给定群 $G$ 的子群 $H$，它不一定是正规子群，但我们可以适当 “修剪” 群 $G$ 来获得一个子群，使得 $H$ 在这个子群里是正规子群。这样的子群就是以下定义的正规化子：
定义 2 正规化子
给定群 $G$ 和它的一个子集 $S$。如果 $H$ 是包含 $S$ 的最小的子群2，记 $N(S)=\{n\in G|nH=Hn\}$，那么 $N(S)$ 构成一个子群，而 $H\vartriangleright N(S)$。称 $N(S)$ 是 $S$ 的正规化子（normalizer）。
注意区分中心化子和正规化子的定义，对于同样的 $S$，其正规化子比中心化子的定义要弱一些，并且正规化子本身不一定是 $G$ 的正规子群。
2. 小结
对于任何群 $G\vartriangleright H$，所有左陪集的元素数量都是 $|H|$，包括 $H$ 本身。这些左陪集彼此没有交集，但群 $G$ 是所有左陪集的并集，我们由此得到了拉格朗日定理，揭示了一个任何群都具有的简洁的结构特征。商群 $G/H$ 的元素数量，正是 $G$ 和 $H$ 的元素数量的商。
当子群 $H$ 满足，对于任意的 $g\in G$ 都有 $g^{-1}Hg=H$ 时，$H$ 就成了一个正规子群。只有正规子群才能生成商群；非正规的子群划分出来的等价类，按照二元关系中提到的方法构成的商集，却并不能用 $G$ 的运算来导出一个群运算。当然，你也可以把这个商集看成和 $G$ 完全无关的集合，给它独立定义一个群运算，但那样这个群就和 $G$ 没有一点关系了，不能叫做 $G$ 的商群。
$G/H$ 的群运算是 $G$ 的运算导出来的，所以继承了 $G$ 中很多相似的性质；但是 $G/H$ 把同一个左陪集中各个元素的差别都抹去了，相当于一个简化版的 $G$。所以说，商群继承了原群的部分特征，但是没有完全继承。
两个定义相似的概念：中心化子和正规化子。
接下来当我们讲到群之间的映射的时候，商群与原群 “似而不同” 的结构非常重要。
1. ^ 三角形总指向子群。
2. ^ 我们通常称 $H$ 是由 $S$ 生成的子群，用 $< S>$ 表示。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损， 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。