仿射空间

                     

贡献者: 零穹; addis

预备知识 矢量空间

   在任一矢量空间 $V$ 中,与零矢量 $0$ 结合在一起的坐标原点总是起着特殊的作用,因为在空间 $V$ 的所有到其自身的线性双射 $f:V\rightarrow V$ 下(这样的映射也称作矢量空间的自同构映射),零矢量 $0$ 是不变的(推论 1 ),这意味着坐标原点具有突出于其它空间点的性质.然而,对身处 3 维空间中的我们来说,放置在不同位置的点线面显然不依赖于一个挑选出来的坐标原点.因此,为了满足我们的需求,我们希望把矢量空间的自同构群加以扩展,使得所有的空间点都等价.完成这一任务的属于仿射空间

1. 仿射空间

   仿射空间的定义是基于矢量空间的.

定义 1 仿射空间

   设 $V$ 是域 $\mathbb F$ 上的矢量空间.且 $\mathbb A$ 是一个集合,其元素称作,并用 $\dot{p},\dot{q},\dot{r},\cdots$ 表示.称 $\mathbb A$(或 $(\mathbb A,V)$)是和 $V$ 相伴(连带的)的仿射空间,若给定笛卡尔积 $\mathbb A\times V$ 到 $\mathbb A$ 的映射(记该映射的像 $f(\dot p,v)$ 为 $\dot p+v$):

\begin{equation} f:(\dot p,v)\mapsto\dot p+v \end{equation}
其具有性质:

  1. \begin{equation} \forall \dot p\in\mathbb A,\qquad \forall u,v\in V\Rightarrow\dot p+0=\dot p, \qquad (\dot p+u)+v=\dot p+(u+v) \end{equation}
    其中,0 是空间 $V$ 的零矢量;
  2. $\forall \dot p,\dot q\in\mathbb A$,有且仅有一个矢量 $v\in V$ 使得 $\dot p+v=\dot q$.通常用 $\overrightarrow{pq}$ 或 $\dot q-\dot p$ 代表矢量 $v$.

   并把 $V$ 的维数 $n$ 称为 $\mathbb A$ 的维数,有时记成 $\mathbb A^n$.

   在定义中,用了 $\dot p+v$,这和矢量空间中的 $u+v$ 的+号一样,但这并不会引起混淆.因为,一个是 $\mathbb A$ 中的点和 $V$ 中矢量的相作用,一个是 $V$ 中的两矢量相作用,当写出表达式时,“+” 两边的对象是已知的,就能立刻知道是哪种情况.

   由仿射空间的定义,可推出下面两个性质(留做习题):

  1. 每个点 $\dot p\in \mathbb A$ 都对应一个从 $V$ 到 $\mathbb A$ 的双射:
    \begin{equation} v\mapsto \dot p+v \end{equation}
  2. 有 $\mathbb A\rightarrow\mathbb A$ 上的双射:
    \begin{equation} t_v:\dot p\mapsto\dot p+v \end{equation}
    称其为用矢量 $v$ 平移 $\mathbb A$(或平行移动 $\mathbb A$).由定义中的 1,2,有
    \begin{equation} t_u\cdot t_v=t_{u+v},\quad t_v\cdot t_{-v}=e \end{equation}
    其中 $e=t_0$ 是恒等映射.显然所有的平移构成一个群

定义 2 平移空间

   令

\begin{equation} \alpha t_u+\beta t_v:= t_{\alpha u+\beta v} \end{equation}
则所有平移的集合构成一个矢量空间,称为平移空间,记作 $\mathbb A^{\#}$.

例 1 

   由仿射空间的定义,试证明:

\begin{equation} \overrightarrow{pq}+\overrightarrow{qr}=\overrightarrow{pr},\quad \overrightarrow{pq}=-\overrightarrow{qp},\quad\overrightarrow{pp}=0 \end{equation}
亦即
\begin{equation} (\dot q-\dot p )+(\dot r-\dot q)=\dot r-\dot p,\quad(\dot q-\dot p)=-(\dot p-\dot q),\quad\dot p-\dot p=0 \end{equation}

习题 1 

   试证明:平移空间 $\mathbb A^{\#}$ 同构于矢量空间 $V$ 的加法群.

2. 仿射空间的同构

   仿射空间的同构和一般的同构定义实质上相同,都是起说明两个集合结构相同的作用,即集合上元素之间运算,对应于另一集合对应元素之间的运算,这个 “对应” 是靠双射来完成的.

定义 3 仿射映射,同构

   设 $\mathbb A,\mathbb A'$ 是同一域 $\mathbb F$ 上分别与矢量空间 $V,V'$ 相伴随的仿射空间.称映射

\begin{equation} f:\mathbb A\rightarrow\mathbb A' \end{equation}
是个仿射映射(或线性仿射映射),如果,所有的 $\dot p\in \mathbb A,v\in V$ 都满足
\begin{equation} f(\dot p+v)=f(\dot p)+Df\cdot v \end{equation}
其中,$Df:V\rightarrow V'$ 是矢量空间上的线性映射,称 $Df$ 是映射 $f$ 的线性部分(或微分).若仿射映射 $f$ 为双射,则称 $\mathbb A$ 和 $\mathbb A'$ 是同构的,若此外 $\mathbb A=\mathbb A'$,则称 $\mathbb A$ 借助 $f$ 实现自同构

定理 1 

   仿射映射

\begin{equation} f:\mathbb A\rightarrow\mathbb A' \end{equation}
是双射,当且仅当线性部分
\begin{equation} Df:V\rightarrow V' \end{equation}
是双射

   证明:

  1. $f\Rightarrow Df$
    因为 $f$ 是双射,所以对 $v_1\neq v_2\Rightarrow \dot p+v_1\neq\dot p+v_2$,有
    \begin{equation} \begin{aligned} f(\dot p)+Df\cdot v_1=f(\dot p+v_1)&\neq f(\dot p+v_2)=f(\dot p)+Df\cdot v_2\\ &\Downarrow\\ Df\cdot v_1&\neq Df\cdot v_2 \end{aligned} \end{equation}
    这就证明了 $Df$ 的单射性. $\forall v'\in V'$,对 $\forall f(\dot p)+v'$, $f$ 双射意味着 $\exists v$,使得
    \begin{equation} f(\dot p)+v'=f(\dot p+v)=f(\dot p)+Df\cdot v \end{equation}
    即 $v'=Df\cdot v$,这就证明了满射性.于是 $Df$ 双射得证.
  2. $Df\Rightarrow f$
    设 $\dot p\neq \dot q$,固定一点 $\dot o\in \mathbb A$,由仿射空间性质,$\exists \overrightarrow{op}\neq\overrightarrow{oq}\in V$,使得
    \begin{equation} \dot p=\dot o+\overrightarrow{op},\quad\dot q=\dot o+\overrightarrow{oq} \end{equation}
    由 $Df$ 的单射性
    \begin{equation} \begin{aligned} Df\cdot \overrightarrow{op}&\neq Df\cdot \overrightarrow{oq}\\ &\Downarrow\\ f(\dot p)=f(\dot o)+Df\cdot \overrightarrow{op}&\neq f(\dot o)+Df\cdot \overrightarrow{oq}=f(\dot q) \end{aligned} \end{equation}
    即有 $f(\dot p)\neq f(\dot q)$,这就证明了 $f$ 的单射性.
    $\forall \dot p'\in\mathbb A'$,同样 $\exists\overrightarrow{o'p'}\in V'$ 使得 $\dot p'=o'+\overrightarrow{o'p'}$,其中 $\dot o'=f(\dot o)$,由 $Df$ 的满射性,
    \begin{equation} \exists v\in V,\quad st.\; Df\cdot v=\overrightarrow{o'p'} \end{equation}
    于是
    \begin{equation} f(\dot o+v)=f(\dot o)+Df\cdot v=\dot o'+\overrightarrow{o'p'}=\dot p' \end{equation}
    这就证明了满射性.

   证毕!

推论 1 

   具有相同维数的仿射空间 $(\mathbb A,V),(\mathbb A',V')$ 必同构.

   证明: 由于维数相同的矢量空间必同构,所以存在双射 $F:V\rightarrow V'$,令其作为 $Df$,由定理 1 ,即得证!

定理 2 

   任意仿射变换 $f:\mathbb E\rightarrow\mathbb E$,设其线性部分为 $\mathcal F$,则必有

\begin{equation} f=t_a g \end{equation}
其中 $t_a$ 是矢量 $a=\overrightarrow{of(o)}$ 对应的平移,$g$ 是一个在给定点 $\dot o$ 处保持不动的仿射变换.

   现在,若将固定点改为 $\dot o'$,那么需取 $a'=a+(\mathcal F-\mathcal E)\overrightarrow{oo'}$ 来代替 $a$.

   证明: 设 $V$ 是与空间 $\mathbb E$ 伴随的矢量空间,则 $\forall v\in V$,有

\begin{equation} f(\dot o+v)=f(\dot o)+\mathcal F v=\dot o+\overrightarrow{of(o)}+\mathcal F v \end{equation}
若令
\begin{equation} g(\dot o+v)=\dot o+\mathcal F v,\quad a=\overrightarrow{of(o)} \end{equation}
式 20 可写为
\begin{equation} f(\dot o+v)=g(\dot o+v)+a=t_a g(\dot o+v) \end{equation}
由于 $v$ 的任意性,故 $f=t_ag$.由,$g$ 显然对 $\dot o$ 不变.

   当用固定点取 $\dot o'$,显然 $\overrightarrow{of(o)}$ 需用 $\overrightarrow{o'f(o')}$ 替换,而

\begin{equation} \begin{aligned} f(\dot o')=f(\dot o)+\mathcal F \overrightarrow{oo'}\quad\Rightarrow \quad \dot o'+\overrightarrow{o'f(o')}&=\dot o+\overrightarrow{of(o)}+\mathcal F \overrightarrow{oo'}\\ &\Downarrow\\ \overrightarrow{o'f(o')}&=\overrightarrow{of(o)}+(\mathcal F-\mathcal E)\overrightarrow{oo'} \end{aligned} \end{equation}
注意 $a=\overrightarrow{of(o)}$,并令 $a'=o'f(o')$,即得 $a'=a+(\mathcal F-\mathcal E)\overrightarrow{oo'}$.

   证毕!

3. 坐标

定义 4 坐标系(坐标架)

   称点 $\dot o\in\mathbb A$ 和 $V$ 的一个基底 $\{e_1,\cdots,e_n\}$ 的集合 $\{\dot o;e_1,\cdots,e_n\}$ 是 $n$ 维仿射空间 $(\mathbb A,V)$ 的一个坐标系(或坐标架).矢量 $\overrightarrow{op}$ 在基底 ${e_i}$ 下

\begin{equation} \overrightarrow{op}=\sum_{i=1}^n x_ie_i \end{equation}
的坐标就被认为是点 $\dot p$ 在坐标系 $\{\dot o;e_1,\cdots,e_n\}$ 之下的坐标

   坐标系同样也可以用这样的 $n+1$ 个点 $\{\dot p_0;\dot p_1,\cdots,\dot p_n\}$ 给出,只要矢量 $\overrightarrow{p_0p_1},\cdots,\overrightarrow{p_0p_n}$ 构成空间 $V$ 的一个基底即可.

定理 3 

   设 $\{\dot p_0;\dot p_1,\cdots,\dot p_n\}$ 是空间 $V$ 的一个坐标系:

\begin{equation} e_i:=\overrightarrow{p_0 p_i},\quad i=1,\cdots,n \end{equation}
若 $\dot p,\dot q$ 在此坐标系中的坐标分别为 $x_1,\cdots,x_n$ 和 $y_1,\cdots,y_n$,那么:

  1. 矢量 $\overrightarrow{pq}$ 在此基底之下的坐标为 $y_1-x_1,\cdots,y_n-x_n$;
  2. 对任意矢量 $a=\sum\limits_{i=1}^n a_ie_i$,点 $\dot p+a$ 的坐标是 $x_1+a_1,\cdots,x_n+a_n$.

   证明: 由:

\begin{equation} \overrightarrow{pq}=\overrightarrow{pp_0}+\overrightarrow{p_0q}=\overrightarrow{p_0q}-\overrightarrow{p_0p} \end{equation}
由矢量加法定义,即证得定理中的 1.

   设 $\dot q=\dot p+a$,于是 $a=\overrightarrow{pq}$,结合式 26 ,有

\begin{equation} a=\overrightarrow{p_0q}-\overrightarrow{p_0p}\Rightarrow \overrightarrow{p_0q}=a+\overrightarrow{p_0p} \end{equation}
由矢量加法和点的坐标定义,即证得定理中的 2.

   证毕!

不同坐标系下坐标的转换关系

定理 4 

   设 $\{\dot o;e_1,\cdots,e_n\},\{\dot o';e'_1,\cdots,e'_n\}$ 是仿射空间 $\mathbb A$ 中的两个坐标系.$\dot p,\dot o'$ 在前一坐标系下的坐标分别为 $x_1,\cdots,x_n$ 和 $b_1,\cdots,b_n$.则 $\dot p$ 在后一坐标系下的坐标 $x_i'$ 满足

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{x}} '= \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{b}} \end{equation}
其中,$ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是前一坐标系到后一坐标系的转换矩阵.
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{x}} =(x_1,\cdots,x_n)^T,\; \boldsymbol{\mathbf{x}} '=(x_1',\cdots,x_n')^T,\; \boldsymbol{\mathbf{b}} =(b_1,\cdots,b_n)^T \end{equation}

   证明:

\begin{equation} \begin{aligned} \sum_{i}x_ie_i&=\overrightarrow{op}=\overrightarrow{oo'}-\overrightarrow{po'}=\sum_{i}b_ie_i+\sum_{j}x'_je'_j\\ &=\sum_i b_ie_i+\sum_{j}x'_j\sum_{i}a_{ij}e_i\\ &=\sum_{i} \left(\sum_{j}a_{ij}x_j'+b_i \right) e_i \end{aligned} \end{equation}
其中 $a_{ij}$ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的矩阵元.上式翻译成矩阵语言就是:
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} '+ \boldsymbol{\mathbf{b}} \end{equation}
由于 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 必定可逆,则
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{x}} '= \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{b}} \end{equation}
证毕!


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