连续映射和同胚

                     

贡献者： JierPeter; addis

预备知识　映射，拓扑空间，函数的连续性

　　 给定两个拓扑空间 (X,TX) 和 (Y,TY)，定义一个映射 f:X→Y。在集合论意义上，这个映射 f 可以有任何可能的形式，但是在拓扑学意义上，我们只研究满足特定条件的一类映射，称为连续映射。那么什么是连续映射呢？

1. 连续映射

定义 1　连续映射1

　　 给定两拓扑空间 (X,TX) 和 (Y,TY)。映射 f:X→Y 在某一点 xo∈X 上连续，当且仅当对于任意 Y 中的开集 U∋f(x0)，存在 X 中的开集 V∋x0，使得 f(V)⊆U。

　　 如果 f 在 X 中的任意一点上都连续，那么称 f 是一个连续映射（continuous mapping）。

习题 1　连续映射的等价定义

　　 给定两拓扑空间 X，Y，那么 f:X→Y 是连续映射，当且仅当对于任意的 U∈TY，有 f−1(U)∈TX。即开集的原像还是开集。

　　 证明这一点。

　　 习题 1 中的等价定义，可以简单记为 “开集的原像还是开集”，类似地，容易证明它等价于 “闭集的原像还是闭集”。这个定义和微积分中实函数的连续性定理 1 本质上是一样的。在微积分和实变函数中，这个等价定义的用途似乎没那么多，但是在点集拓扑中要更为常用。接下来讨论的同胚概念就是一个例子。

2. 同胚

　　 在代数学中我们提到了同构和同态的概念。在任何理论框架中，同构的两个对象都被看成是同一个对象，这就要求同构的两个对象在指定理论框架中有完全一样的行为。拓扑学的框架和代数学不一样，因此同构的定义也不一样。由于历史原因，拓扑学意义上的同构，被称为同胚。

定义 2　同胚

　　 对于拓扑空间 X 和 Y，如果存在一个双射 f:X→Y，使得对于任意的开集 A∈TX 和 B∈TY，都有 f(A)∈TY 和 f−1(B)∈TX，那么我们就说 X 和 Y 是同胚（homeomorphic）的；这个双射 f 被称为一个同胚映射（homeomorphic mapping）或者简称为同胚（homeomorphism），记为 X≈Y。

　　 这个定义其实就是直接要求存在一个双射，使得两个空间的开集一一对应。这个定义很直观，因为拓扑学就是定义开集的理论，开集之间一一对应的话，在拓扑意义下就有完全一样的行为了；但实践中一般不可能一个一个地比较两个空间的开集，看它们是不是都互相配对了，所以我们就引入了以下等价的定义：

定理 1　同胚的等价定义

　　 对于拓扑空间 X 和 Y，如果存在一个双射 f:X→Y，使得 f 和 f−1 都是连续映射，那么我们有 X≅Y。

　　 证明是很简单的，直接应用习题 1 的定义就可以。这个定义也可以简单记为：“同胚映射就是双向连续双射”，即同胚映射要求是个双射，并且从两个方向来看都是连续映射。

　　 下面这个例子就是一个单向连续双射，不成为同胚：

例 1　

　　 考虑单位圆 S1，表示为复平面上的集合 S1={eix∣x∈[0,1)}。考虑映射 f:[0,1)→S1，定义为 f(x)=eix，则这是一个双射，但只有 f:S1→[0,1) 连续，反过来的 f−1:[0,1)→S1 不连续。

　　 接下来是若干同胚的例子和反例。

例 2　

　　 考虑一维实数空间 R，令所有开区间的集合为拓扑基，定义其上的拓扑。取一个开区间 I=(0,1)，将 I 视为 R 的子空间。那么这两个空间是同胚的。同胚映射取 f:I→R，其中 ∀x∈I,f(x)=tan⁡(π⋅(x−12)) 即可。

例 3　

　　 类似例 2 ，R2≅I×I。其中 I×I 是一个正方形区域，去除了边界。

例 4　反例

　　 通常的度量空间 R2 和一个球表面 S2 不同胚。在 R2 平面上挖去一个点得到的空间也和 R2 不同胚。

　　 我们还可能经常接触到和同胚类似的一个概念，称为 “嵌入”。把拓扑空间 X 嵌入到空间 Y，就是说让 X 和 Y 的一个子空间同构，由于同构的空间都被看成是同一个，这就相当于 X 成为了 Y 的一部分。

定义 3　拓扑嵌入

　　 设拓扑空间 X 和 Y。若存在连续映射 f:X→Y，使得 X≅f(X)，那么称 f 是一个拓扑嵌入（映射）（topological embedding），称 X 由 f嵌入（embed）到 Y 中。在明确讨论范围为点集拓扑时，也可简称嵌入（embedding）。

　　 考虑到同胚就是 “双向连续双射”，如果单连续映射的逆映射还是连续的，那它就是嵌入映射。注意，我们这里讨论的范围是较抽象的 “点集拓扑”，在更具体的 “微分拓扑” 或 “微分几何” 中，（微分）嵌入的概念要求自然会更严格一些。

3. 同胚不变性

　　 数学中至关重要的一种研究思想，就是关注不变性（invariance）。我们所研究的对象哪些地方是恒定不变的，标志了这个对象的本质。

　　 比如说，一个 8×8 的国际象棋棋盘，可以用 1×2 的长方形木条铺满；如果把棋盘的左上角和右下角的格子去掉，还能不能铺满呢？答案是否定的，因为如果你考虑棋盘黑白格子的分布，那么每个木条肯定要覆盖一个黑色格子和一个白色格子；去掉的两个格子肯定是同色的，这样一来两种颜色的格子数量就不一样了，肯定不会被铺满。在这个例子中，被覆盖的黑白格子数量无论如何都会是相同的，利用这个不变性就可以很轻松地解答问题。

　　 在物理学中也常常见到不变性的身影。牛顿力学中有伽利略不变性，在任何惯性系下加速度都是一样的；但是由另一个不变性：光速不变原理，却可以导出不同于牛顿力学的狭义相对论。

　　 在点集拓扑中，一个拓扑空间可以有各种各样的性质，比如单位区间 I=(0,1) 具有长度 1，而 R 具有长度 ∞。但我们从例 2 中知道，这两个拓扑空间应该是同胚的，所以 “长度” 这一属性不是它们的本质属性。为了得到拓扑空间的本质属性，我们可以探索存在哪些同胚不变性，即对于任何同胚的空间来说都一样的性质。

　　 最重要的四个同胚不变性，分别是：紧致性，连通性，道路连通性以及分离性。对每一个性质，小时百科中都单独开辟了一篇文章，请点击性质名称后面的链接查看。

1. ^ 这个定义是类比实函数中逐点连续的 ϵ−δ 表达。

                     

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