贡献者： 零穹
[1] 度量空间中，收敛序列起着奠基性的作用，例如数列的极限就是重要的例子，而数列的极限是微积分的基石。收敛序列的概念很容易搬到拓扑空间中来，但是它在拓扑空间中的地位不像度量空间中那样。主要的原因在于在度量空间中，序列收敛到 $x$ 是 $x$ 为接触点的充要条件，而在拓扑空间中，这一论断失效了。
本文将始终假设构造拓扑空间 $\mathcal T$ 的基础集合为 $X$，而 $x\in\mathcal T$ 表示 $x\in X$。
拓扑空间 $\mathcal T$ 中序列的定义本质是不变的，仅在于每一点 $x_n$ 都属于 $\mathcal T$ 的基础集合 $X$。
$M\subset\mathcal X$ 的接触点 $x$ 是指 $x\in X$ 的任一邻域都含有 $M$ 的点（即 $x\in[M]$1）。
证明： 设 $\{x_n\}$ 是 $\mathcal T$ 中任意这样的一个序列：对任意整数 $N>0$，都有 $n,m\geq N$，使得 $x_n\neq x_m$。下面用反证法证明。
假设 $\{x_n\}$ 收敛到 $x\in\mathcal T$，则对任一 $x$ 的邻域 $O$，存在整数 $N>0$，使得 $x_n\in O,n\geq N$。然而，$[0,1]$ 中删掉了一切点 $x_i\neq x$ 得到的子集 $O'$ 满足 $\mathcal T$ 上开集的定义，因此 $O'$ 是 $x$ 的邻域。然而任一 $N>0$，存在 $x_i\neq x,i\geq N$，因此邻域 $O'$ 不能包含从某一项开始的序列中的点。 这一矛盾证明了定理。
证毕!
证明：第二部分可以由引理 1 直接证得：$[0,1]$ 中收敛于 $0$ 的点列只能是从某一项开始全为 0 的点列 $\{x_n\}$。而这在 $(0,1]$ 中是不可能的。
第一部分证明如下：由开集的定义，任一 $0$ 的邻域，都包含有包含 $0$ 的开集 $O$，其中 $O$ 至多去掉可数个 $[0,1]$ 中的点，这表明 $O$ 是不可数的，因此必定包含有 $(0,1]$ 中的点。即任意 $0$ 的邻域都含有 $(0,1]$ 中的点，因此 $0$ 是 $(0,1]$ 的接触点。
证毕！
证明：推论 1 直接表明了这一论断。
证毕！
既然度量空间是拓扑空间的特殊情形，而在度量空间中，序列收敛到 $x$ 是 $x$ 为接触点的充要条件。那么什么情况下，即给拓扑空间加上什么条件，就能使得这一论断成立呢？下面定理给出了保证。
证明：设 $\{O_n\}$ 是 $x$ 的可数确定邻域族。可以认为 $O_{n+1}\subset O_n$（否则用 $\bigcap_{k=1}^{n+1} O_{k}$ 代替 $O_{n+1}$）。设 $x_k\subset O_k\cap M$，则 $\{x_n\}$ 收敛到 $x$（因为任一 $x$ 的邻域必然包含某一 $O_i$，而 $O_{i+k}\subset O_{i},k=1,\cdots$）。这样的 $x_k$ 必然存在，否则 $x$ 就不是接触点了。
证毕！
因为收敛序列的极限点显然就是接触点（有接触点的定义），因此上面定理也表明在第一可数性拓扑空间，序列收敛到 $x$ 是 $x$ 为接触点的充要条件。任一度量空间都是满足第一可数性公理的拓扑空间。因为每一点 $x$，开球族 $\{B(x,1/n)|n=1,2,\cdots\}$ 是它的可数确定邻域族。
1. ^ $[M]$ 指 $M$ 的闭包
2. ^ 即对每一包含 $x$ 的开集，都能在该族中找到一个邻域，使它完全包含在该开集中
[1] ^ A.H.柯尔莫哥洛夫，C.B.佛明.函数论与泛函分析初步（段虞荣等译）第七版