贡献者: JierPeter
连通性的概念还不够直观,因此我们还有一个更强的性质,道路连通性。连通性的定义思路是用不相交的开集来分割不连通的各部分,而道路连通性的定义思路是用一条连续的曲线来连接任意两点,如果不连通则这条曲线应该会被截断。
道路的定义要更直观一些,而且在别的数学分支也会出现,比如复变函数中会经常讨论复平面上的道路。需要注意的是,这里定义道路所用的区间是闭区间,也就是说它有起点和终点。可以把 $I$ 看成是从 $0$ 到 $1$ 流逝的时间,而对应的 $f(I)$ 就是这段时间里,一个点在 $X$ 中连续运动的轨迹。这个点运动的 “速度” 不会是无穷大,否则就不是连续映射了;这样,在有限时间内,这个运动轨迹必然也是 “有限” 的。这里打双引号是因为 “速度” 和 “有限” 在一般情况下只是一个类比,只有在度量空间里面我们才可以讨论长度,进而有了 “速度” 的概念。
两条道路 $f(I)$ 和 $g(I)$ 可以首尾相接,得到新的道路 $h(I)$,其中
道路的概念可以用来引出一个更直观的连通性:
但是道路连通不等价于连通,连通的子集是可能不道路连通的。我们在例 1 中定义的 $ \sin\left(1/x\right) $ 空间的闭包空间 $\bar{S}$ 就是一个反例。$\bar{S}$ 是连通的,因为 $S$ 连通,根据闭包的连通性定理 2 ,$\bar{S}$ 也得连通;但是由例 1 给出的反例,我们知道 $\bar{S}$ 不是道路连通的。
但是道路连通的子集一定连通。
证明
设 $A$ 是道路连通但不是连通的。那么必然有 $A\subseteq U\cup V$,其中 $U, V$ 和 $A$ 的交集都非空。 取 $a\in U$ 和 $b\in V$,那么由道路连通性,必然存在一条道路 $f:I\rightarrow A$,使得 $f(0)=a, f(1)=b$。由于道路是连续映射,我们有 $f^{-1}(U)$ 和 $f^{-1}(V)$ 都是 $I$ 的非空开子集,而且 $I=f^{-1}(U)\cup f^{-1}(V)$。由于 $I$ 是连通的,它不可能是两个非空开子集的并。因此矛盾,所以 $A$ 必须是连通的。
证毕
从这个证明的思路可以看出,道路连通性本质上是在描述每一条道路的连通性,由于道路的端点是任意取的,这就要求 $A$ 本身必须连通了。
道路连通性也是一个同胚不变量。