道路连通性

                     

贡献者： JierPeter

预备知识　连通性

　　 连通性的概念还不够直观，因此我们还有一个更强的性质，道路连通性。连通性的定义思路是用不相交的开集来分割不连通的各部分，而道路连通性的定义思路是用一条连续的曲线来连接任意两点，如果不连通则这条曲线应该会被截断。

1. 道路连通性的概念

定义 1　道路

　　 在区间 I=[0,1] 上取通常的度量（子）拓扑。对于任意的拓扑空间 X，如果存在一个连续映射 f:I→X，那么称该映射的像 f(I) 为 X 中的一条道路（path）。

　　 道路的定义要更直观一些，而且在别的数学分支也会出现，比如复变函数中会经常讨论复平面上的道路。需要注意的是，这里定义道路所用的区间是闭区间，也就是说它有起点和终点。可以把 I 看成是从 0 到 1 流逝的时间，而对应的 f(I) 就是这段时间里，一个点在 X 中连续运动的轨迹。这个点运动的 “速度” 不会是无穷大，否则就不是连续映射了；这样，在有限时间内，这个运动轨迹必然也是 “有限” 的。这里打双引号是因为 “速度” 和 “有限” 在一般情况下只是一个类比，只有在度量空间里面我们才可以讨论长度，进而有了 “速度” 的概念。

例 1　道路的例子

　　

  • 在度量空间 R 中，I 本身就是一条道路。任何闭区间都是一条道路。
  • 在 sin⁡1x1空间中，对于任何 a,b>0，从 x=a 到 x=b 的一段函数图像也构成道路
  • 还是在 sin⁡1x=S 空间中，不过考虑的是 S¯=S∪{(0,y)|y∈[−1,1]}，就是在 S 上再添加 x=0 处的一条长度为 2 的线段。如果选择 {(0,y)|y∈[−1,1]} 上的任意一点作为起点/终点，而选择 S 上的一点作为终点/起点，那么中间需要走一条无限长的曲线才能让二者相连，而道路都是有限的，所以这样的两点之间就没有道路。

　　 两条道路 f(I) 和 g(I) 可以首尾相接，得到新的道路 h(I)，其中

(1){h(t)=f(2t),t∈[0,12]h(t)=g(2t−1),t∈[12,1] .

　　 道路的概念可以用来引出一个更直观的连通性：

定义 2　道路连通性

　　 设拓扑空间 X 和它的子集 A。如果 ∀a,b∈A，总能找到一条道路连接 a 和 b，那么称 A 是道路连通（path-connected）的。

　　 但是道路连通不等价于连通，连通的子集是可能不道路连通的。我们在例 1 中定义的 sin⁡(1/x) 空间的闭包空间 S¯ 就是一个反例。S¯ 是连通的，因为 S 连通，根据闭包的连通性定理 2 ，S¯ 也得连通；但是由例 1 给出的反例，我们知道 S¯ 不是道路连通的。

　　 但是道路连通的子集一定连通。

定理 1　道路连通性推出连通性

　　 对于拓扑空间 X 及其子集 A，如果 A 是道路连通的，那么 A 必是连通的。

　　 证明

　　 设 A 是道路连通但不是连通的。那么必然有 A⊆U∪V，其中 U,V 和 A 的交集都非空。 取 a∈U 和 b∈V，那么由道路连通性，必然存在一条道路 f:I→A，使得 f(0)=a,f(1)=b。由于道路是连续映射，我们有 f−1(U) 和 f−1(V) 都是 I 的非空开子集，而且 I=f−1(U)∪f−1(V)。由于 I 是连通的，它不可能是两个非空开子集的并。因此矛盾，所以 A 必须是连通的。

　　 证毕

　　 从这个证明的思路可以看出，道路连通性本质上是在描述每一条道路的连通性，由于道路的端点是任意取的，这就要求 A 本身必须连通了。

2. 道路连通性的性质

　　 道路连通性也是一个同胚不变量。

定理 2　道路连通性的同胚不变性

　　 设有拓扑空间 X 和 Y，令 f:X→Y 是一个连续映射，那么，对于 X 的任何道路连通子集 A，f(A) 也是 Y 的道路连通子集。

1. ^ 见例 1 。

                     

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