贡献者: addis; JierPeter; Giacomo
拓扑空间(topological space)是能够定义连续性,连通性,收敛等性质的最一般化的数学空间。度量空间和流形等都是拓扑空间的例子。
从实函数的连续性中我们知道开集是讨论连续性的基础,所以拓扑学首先要定义什么是开集。我们提取了开集最重要的特征,然后用这些特征来定义开集。
其中,拓扑空间的第一条公理有时会略去不写。因为我们只要在第二条公理处取指标集为空即可得到 $X \in \mathcal{T}$,取第三条公理的指标集为空就有 $\varnothing \in \mathcal{T}$。
$X$ 的全体子集构成一个族,即 $X$ 的幂集 $2^X$,显然有 $\mathcal{T}\subset2^X$。同一个集合上的拓扑一般不止一种。
每一个开集 $U$ 的补集 $U^C=X-U$,被称为一个闭集(closed set)。$2^X$ 的元素中,有些是开集,有些是闭集,有的既开又闭,也有的既不开也不闭。
光有正例也并不容易建立对 “拓扑” 这一概念的直观,我们再看一个简单的反例:
拓扑基的定义中,要求 $\mathcal{B}$ 中的元素都是 $X$ 的开集,而 $X$ 中一切开集都可以由这些元素取并集而得到。事实上,也可以不用强调 $\mathcal{B}$ 中的元素都是开集,而是简单地说一个集合 $U$ 是开集当且仅当 $U$ 是 $\mathcal{B}$ 中若干元素的并,这其中当然也包括单个元素,所以这种说法蕴含了 “$\mathcal{B}$ 中的元素都是开集”。
任意拿一些 $X$ 的子集来构成一个族 $\mathcal{A}$,这个族不一定是某个拓扑的拓扑基;也就是说,$\mathcal{A}$ 中任意多个元素的并集所构成的集合,并不一定是一个拓扑。所以不是所有的 $\mathcal{A}$ 都可以成为某个拓扑的拓扑基。如果 $\mathcal{A}$ 是某个拓扑的拓扑基,则简单称其为一个拓扑基1。
子拓扑的开集,就是原拓扑空间 $X$ 的开集和子空间集合 $A$ 的交。
给定集合 $X$ 上的一个拓扑 $\mathcal{T}$,就是 $X$ 上所有开集的集合。也就是说,一个拓扑是 $X$ 的幂集2的子集:$\mathcal{T}\subset 2^X$。给定拓扑,相当于规定了哪些子集是开集。一个子集可以是开集,也可以是闭集;可以既开又闭,还可以既不开也不闭。
我们如上定义了拓扑基的概念,一个拓扑基 $\mathcal{B}$ 也是 $2^X$ 的一个子集,但是它不一定成为拓扑,因为它不要求满足任意并封闭和有限交封闭。
事实上,任意给定 $2^X$ 的一个子集 $\mathcal{S}$,即使它不是一个拓扑,我们也可以找到一个包含它的最小拓扑 $T(\mathcal{S})$,这个时候称 $\mathcal{S}$ 是 $T(\mathcal{S})$ 的一个子基(sub-basis)。可以证明,先把 $\mathcal{S}$ 的有限多个元素3拿出来计算出交集,把一切这样的有限交放在一起,构成一个新的集合 $U(\mathcal{S})$;然后再把 $U(\mathcal{S})$ 中的任意多元素拿出来,取并集,再构成一个新的集合 $I(U(\mathcal{S}))$。这样先取全体有限交、再取全体任意并所得到的集合 $I(U(\mathcal{S}))$,就是 $T(\mathcal{S})$。
拓扑基也是子基,但是它特殊的地方在于,一个拓扑基 $\mathcal{B}$ 只需要进行一次任意并运算就可以得到拓扑了:$T(\mathcal{B})=I(\mathcal{B})$,省去了考虑交集的麻烦。
对于任意的 $\mathcal{S}\subset2^X$,判定它是否是(某个拓扑的)拓扑基的一个常用等价条件是:对于任意的 $S_1, S_2\in \mathcal{S}$ 以及任意的 $x\in S_1\cap S_2$,总能找到一个 $S_3\in\mathcal{S}$,使得 $x\in S_3\subset S_1\cap S_2$。
1. ^ $2^X$ 的子族 $\mathcal{A}$ 是一个拓扑基,当且仅当任意 $A_1, A_2\in\mathcal{A}$ 以及任意的 $x\in A_1\cap A_2$,则存在 $A_x\subseteq A_1\cap A_2$,使得 $x\in A_x$ 且 $A_x\in \mathcal{A}$。这是拓扑基的判别法,不要求掌握,感兴趣的读者可以自行证明。
2. ^ 幂集的概念请见集合中脚注。
3. ^ 注意,$\mathcal{S}$ 的元素本身是集合。