贡献者： addis; JierPeter; Giacomo
定义 1 映射
给定集合 $A$ 和 $B$，我们可以假想从 $A$ 中每一个元素上拉一根有方向的线连接到 $B$ 中的一个元素，这些线的连接方式就被称为一个从 $A$ 到 $B$ 的映射（mapping），也叫算符(operator)。将这个映射记为 $f$，$A$ 叫做 $f$ 的定义域（domain），$B$ 叫做到达域（codomain）1。对于 $A$ 的子集 $C$，$B$ 中被线连接到的元素的集合叫做 $C$（关于 $f$）的像（image），记做 $f(C)$；$f(A)$ 被称为 $f$ 的值域（range）2（有时也称为 $f$ 的像（image）），记为 $ \operatorname{Im} (f)$。
我们一般将 “$f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的映射” 记为
\begin{equation}
f: A \to B~,
\end{equation}
也就是说从 $A$ 的元素上拉线到 $B$ 的元素上。有时候，为了表示映射的定义域 $A$ 或到达域 $B$ 是另一个集合的 $S$ 的子集，我们也会将映射记为
\begin{equation}
f: A\subseteq S \to B \quad\text{或}\quad f: A \to B \subseteq S~.
\end{equation}
注意映射是有方向区分的，$A$ 中每个元素都
有且只有一根线拉出去，但是 $B$ 中的元素可以同时被一根或多根线连接，也可以没有连接（即不在值域中）。换一种简单的说法，“一对一” 和 “多对一” 连线是允许的，但 “一对多” 是不允许的。
例 1
映射的典型例子是一元实函数 $y = f(x)$，其中定义域和值域都是实数集 $R$ 的某个子集。
1. 映射的类型
定义 2
如果映射 $f: A \to B$ 中每个 $B$ 中元素只被 1 根或者 0 根线连接，那么称 $f$ 是一个单射（injection）。如果 $f: A \to B$ 中每个 $B$ 中元素都被至少 1 根线连接，那么称 $f$ 是一个满射（surjection）。如果 $f$ 既是单射又是满射，那么称它为一个双射（bijection），或者叫一一对应（one-to-one correspondence）。
图 1：映射的分类
如果 $f: A \to B$ 是一个双射，那么 $A$ 中每一个元素都唯一地连接到 $B$ 中某一个元素，并且 $B$ 中每一个元素也都唯一被 $A$ 中某一个元素所连接，因此很明显可以将这个过程可以反过来，从 $B$ 中向 $A$ 中拉连接线，即我们有逆映射 $f^{-1}: B \to A$。另外，如果 $A$ 和 $B$ 存在双射，意味着 $A$ 和 $B$ 的元素数量应该一致3。
实函数是一种常见的映射，例如 $f(x) = 2x$ 可以看作映射 $f: \mathbb R \to \mathbb R$。但是映射可以从任意集合到任意集合。例如将整数映射到正多边形，将函数的映射到函数或实数（一般把这种映射称为算符）等。
注意当一个集合中有无限个元素时，我们有可能在它的子集和它本身之间建立一一映射，例如函数 $ \tan\left(x\right) $ 可以从实轴的开区间 $(-\pi/2, \pi/2)$ 一一映射到整个实轴 $\mathbb R$，又例如我们可以将全体整数 $\mathbb Z$ 乘以二后一一映射到全体偶数 $2\mathbb Z$ 上。这时我们仍然认为这两个集合的元素一样多，虽然直觉上可能不容易接受。
Cantor-Bernstein 定理显示，如果集合 $A$ 到集合 $B$ 上存在一个单射 $f$ 和一个满射 $g$，那么总可以利用 $f$ 和 $g$ 来构造出一个双射。
2. 多元运算
有时候我们需要将两个集合 $A, B$ 中任意各取一个元素，然后映射另一个集合 $C$ 中的元素，称为二元运算（binary operation）。我们可以使用笛卡尔积（式 2 ）将这个映射表示为
\begin{equation}
A \times B \to C~.
\end{equation}
一个简单的例子就是两个实数的的加法减法或乘法可以表示为 $\mathbb R \times \mathbb R \to \mathbb R$（或简记为 $\mathbb R^2 \to \mathbb R$），但除法不可以，因为除数的集合不是 $\mathbb R$ 而是 $\mathbb R$ 去掉 $0$。
未完成：定义笛卡尔积
同理，多元运算可以用多个卡氏积（笛卡尔积）表示为
\begin{equation}
A_1 \times \dots \times A_N \to C~,
\end{equation}
例如含有 $N$ 个自变量的函数就是一个 $N$ 元运算。特殊地，$N$ 个相同集合 $A$ 做卡氏积可以简单表示为 $A^N$，例如 $N$ 个有序复数的集合为 $\mathbb C^N$。
3. 映射间的关系
定义 3 相等
当映射（算符）$f: A\to B$ 和 $g: A \to B$（定义域和到达域都相同），对任意 $x \in A$ 都有 $f(x) = g(x)$，那么我们就说两个映射（算符）相等，记为 $f = g$，否则它们就不相等。
定义 4 限制与拓展
对于映射 $f: A \to B$，考虑子集 $C \subseteq A$，$D \subseteq B$，满足 $f(C) \subseteq D$，我们可以定义一个新的映射 $g: C \to D$，满足对任意 $x \in C$，$g(x): = f(x)$，$g$ 被称为 $f$ 的限制（restriction），反过来 $f$ 被称为 $g$ 的拓展（extension）；当 $B = D$ 时，我们记 $g$ 为 $f|_C$，称为 $f$ 在 $C$ 上的限制。
若 $A$ 是 $C$ 的子集（$A\subseteq C$），我们就说 $g$ 是 $f$ 的，记为 $f \subseteq g$。特殊地，当 $A$ 是 $C$ 的真子集（$A\subset C$），就记为 $f \subset g$。
4. 恒等映射
定义 5 恒等映射
若一个集合到它自身的映射 $f: X\to X$ 把任意 $x\in X$ 映射到 $x$ 本身，我们就叫它恒等映射（identity map）或者单位算符（unit operator），通常用 $I_X$（$I$），$E_X$（$E$）或者 $\text{id}_X$（$\text{id}$）表示。
注意对不同集合 $X$，它们的单位算符定义域并不相等，所以它们的单位算符也不相等。
5. 复合映射
定义 6
给定两个映射 $f: A \to B$ 和 $g: C \to D$，如果 $f$ 的到达域 $B$ 是 $g$ 的定义域 $C$ 的一个子集（$B \subseteq C$），则可以定义复合映射（composition of maps） $g\circ f: A\to D$，即先将 $A$ 中的元素通过 $f$ 映射到 $B \subseteq C$，再通过 $g$ 映射到 $D$ 的元素，即对任意的 $x \in A$，$(g \circ f)(x): = g(f(x))$。
注意 “先 $f$ 后 $g$” 记做 $g \circ f$，顺序与自然语言是相反的。
在没有歧义的情况下也可以将 “$\circ$” 省略，尤其是将映射称为算符时。
复合映射常见的例子是复合函数，令 $\mathbb R$ 上的函数 $f(x) = \sin x$，$g(x) = x^2$，则复合函数 $g\circ f: \mathbb R \to [0, 1]$ 为 $(g\circ f)(x) = g(f(x)) = \sin^2 x$。
根据定义，复合映射满足结合律，令 $f, g, h$ 为映射，则
\begin{equation}
h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f~.
\end{equation}
6. 映射的乘积
定义 7
给定两个映射 $f: A \to B$ 和 $g: C \to D$，则可以定义两个映射的乘积（product）为 $f\times g: A \times C \to B\times D$，其中对于任意 $a\in A, b\in B$ 有 $f\times g(a, b)=(f(a), g(b))$。
当两个函数的定义域相等时，我们也可以只考虑到达域的乘积，
定义 8
给定两个映射 $f: A \to B$ 和 $g: A \to D$，则可以定义另一种乘积（product）为 $(f, g): A \to B\times D$，其中对于任意 $a\in A, b\in B$ 有 $(f, g)(a)=(f(a), g(a))$；实际上考虑 $A$ 的对角线映射 $\Delta: A \to A \times A, a \mapsto (a, a)$，我们有
\begin{equation}
(f, g) = (f \times g) \circ \Delta~.
\end{equation}
7. 逆映射
若已知一个映射 $f: A\to B$，如何构造一个逆映射？注意我们要求逆映射必须是一个映射。我们可以先试着把所有定义域和到达域互换，然后把所有 “连线” 的方向逆转。但一般情况下，我们不能保证这样得到的关系符合映射的定义：例如若 $f$ 是多对一映射，那么方向逆转后，就会出现 “一对多” 的情况，而这是不允许的。又例如 $B$ 中有些元素没被 $f$ 射到，那么 $B$ 就不能作为逆映射的定义域，因为定义域要求每个元素都要射出一条线。加上最少的限制以后，可以定义逆映射如下：
定义 9 逆映射
如果 $f: A\subseteq A' \to B$ 是单射，$A'$ 是 $A$ 的任意父集，令 $R \subseteq B$ 为映射的值域，那么可以把它的逆映射记为 $f^{-1}: R \to A'$，把任意 $y \in R$，映射到 $x \in A$，并满足 $f(x) = y$。
也就是说，只有单射存在逆映射。对于非单射，我们可以先通过限制它的定义域找到一个单射，再寻找逆映射。
例 2
如果取正弦函数 $y = \sin x$ 的值域为 $R = [-1, 1]$ 如果取定义域为 $\mathbb R$， 那么它不是一个单射，因为每一个 $y \in R$ 都对应无穷个 $x$，所以不存在反函数。但如果取定义域为 $[-\pi/2, \pi/2]$，那么它是一个单射，存在反三角函数 $\sin^{-1}: [-1, 1] \to [-\pi/2, \pi/2]$。
根据以上定义，$\sin^{-1} ( \sin\left(x\right) )$ 是定义在 $[-\pi/2, \pi/2]$ 上的恒等函数，而 $ \sin\left(\sin^{-1}(x)\right) $ 是定义在 $[-1, 1]$ 上的恒等函数，所以有 $\sin \circ \sin^{-1} \subseteq \sin^{-1} \circ \sin$。
推论 1
若映射 $f: A \to R \subseteq B$ 存在逆映射 $f^{-1}: R \to A$，那么复合映射 $f^{-1} \circ f: A \to A$ 是恒等映射。
根据定义可证。
给定集合 $A, B$，定义 $B^A$ 为 “从 $A$ 到 $B$ 的所有可能的映射所构成的集合”。如果 $B$ 是一个二元集合，即它只有两个元素，不妨记为 $B=\{0,1\}$，那么 $B^A$ 可以用来表示 $A$ 的幂集（定义 1 ），即由 $A$ 的所有子集所构成的集合。这是因为对于任意的 $f\in B^A$，我们可以把这个 $f$ 对应到 $A$ 的子集 $S$，其中 $S$ 的元素全都被 $f$ 映射到 1 上，$A-S$ 的元素全都被 $f$ 映射到 0 上。当然，0 和 1 的地位反过来也可以，$\{0, 1\}$ 也可以被替换成任何一个二元集合。由于这个特点，我们简单地把 $A$ 的幂集记为4 $2^A$.
利用映射 $f: A \to B$，可以导出一个映射 $f^{-1}:2^B \to 2^A$，称为映射 $f$ 的逆像映射。对于 $B$ 的任意子集 $C$，有
\begin{equation}
f^{-1}(C) = \left\{x | x \in A, f(x) \in C \right\} ~.
\end{equation}
此时，$f^{-1}(C)$ 称为 $C$ 在 $f$ 下的
逆像（inverse image）或
原像（preimage）。
特别地，和 $f$ 的值域中不相交的 $C$ 被 $f^{-1}$ 映射到空集上，而空集也是 $A$ 的一个子集。如果 $f$ 是一个双射，那么对于任意 $y\in B$，单元素子集 $\{y\}$ 都被 $f^{-1}$ 映射在 $A$ 的某个单元素子集上，那么我们也可以认为此时 $f^{-1}$ 实际上是单个元素映射在单个元素上，也就是从 $B$ 到 $A$ 的映射。
如果 $f: A \to B$ 是双射，那么 $f^{-1}$ 总是把单点集映射到单点集上，而且 $B$ 任何点都有被映射到，因此这时我们可以定义 $f^{-1}:B \to A$，使得 $\forall x \in A$ 都有 $f^{-1}(f(x)) = x$，$\forall y \in A$，$f(f^{-1}(y)) = y$。特别地，此时我们将 $f^{-1}$ 称为 $f$ 的逆映射（inverse map）5，双射的逆映射是唯一确定的。
未完成：证明逆映射是唯一的
从另一个方面来说，$f\circ f^{-1}$ 和 $f^{-1}\circ f$ 都是单位算符（恒等映射）。注意两者的定义域分别为 $A$ 和 $B$，当 $A \ne B$ 时不能写成 $f\circ f^{-1} = f^{-1}\circ f$。如果把 $A$，$B$ 到自身的恒等映射分别记为 $I_A$ 和 $I_B$，那么 $f\circ f^{-1}=I_B$，$f^{-1}\circ f=I_A$。
对于一般的映射，我们不一定能定义逆映射，实际上
定理 1 双射的等价定义
映射 $f: A \to B$，是一个双射等价于存在逆映射。
未完成：证明
对于单射/满射，虽然不能定义逆映射，但我们可以定义更弱一点的 “逆” 映射。
定义 10 左逆/右逆映射
映射 $f: A \to B$，另一个映射 $g: B \to A$ 被称为 $f$ 的
- 左逆映射，如果 $g \circ f = I_A$;
- 右逆映射，如果 $f \circ g = I_B$;
定理 2 单射/满射的等价定义
映射 $f: A \to B$，
- 是一个单射等价于存在左逆映射;
- 是一个满射等价于存在右逆映射。
未完成：证明
左/右逆映射可以理解成 “相对的”，考虑 $g \circ f = I_A$，我们发现 $g: B \to A$ 是 $f: A \to B$ 的左逆映射，而同时 $f$ 又是 $g$ 的右逆映射，因此我们有推论：
推论 2
单射的左逆映射是满射，满射的左逆映射是单射。
例 3 左逆是不唯一的
考虑单射,
$$
\begin{aligned}
f: \{0, 1\} &\to \{a, b, c\} , \\
0 &\mapsto a , \\
1 &\mapsto b ,
\end{aligned}~
$$
我们有 $g_0, g_1: \{a, b, c\} \to \{0, 1\}$，两个左逆映射，它们都把 $a \mapsto 0$，$b \mapsto 1$，但是
$$
\begin{aligned}
g_0: c \mapsto 0 , \\
g_1: c \mapsto 1 .
\end{aligned}~
$$
未完成：画图
1. ^ 也叫陪域、上域、目标集（target set）
2. ^ 值域在一些文献中指的是到达域。
3. ^ 小时百科中统一使用这种定义。一些其他教材中也把我们的 “单射” 称为 “一一映射”，把 “满射” 称为 “到上”，把 “双射” 称为 “一一到上”，需要特别小心。
4. ^ 当 $A$，$B$ 都是有限集的时候，$|B^A|=|B|^{|A|}$。特别地，$|2^A|=2^{|A|}$。
5. ^ 注意 “逆像映射” 和 “逆映射” 的区别。逆像映射是子集到子集的映射，而逆映射是点到点的映射。任何映射都有逆像映射，但是只有双射才有逆映射。
