开映射和闭映射

贡献者：零穹

预备知识　拓扑空间

　　拓扑空间中，映射是连续的当且将当对像空间的每一开集的原象是开集，或者像空间的每一闭集的原象是闭集。即若 $(X, T_{X}), (Y, T_{Y})$ 是两个拓扑空间， $f : X \to Y$ 是连续的当且将当每一 $O_{Y} \in T_{Y}$ ， $f^{- 1} (O_{Y}) \in T_{X}$ 。然而，我们可以问：在连续映射下，开集的像是否一定是开集？闭集的象是否是闭集？一些例子告诉我们，一般情况下回答是否定的。这就引出了开映射和闭映射的概念。而对理解这两个概念本身来说，我们无需知道连续映射的定义。

1. 连续映射下开（闭）集的像不是开（闭）集

例 1　

　　考虑半开区间 $X = [0, 1)$ 到圆周 $O = {(x, y) | x^{2} + y^{2} = 1, x, y \in R}$ 的映射：

\begin{matrix} (1) & f (x) = (\cos (2 π x), \sin (2 π x)) . \end{matrix}

其中

X

的开集为

[0, x), x \in (0, 1)

和普通的开区间，

O

的开集是不包括端点的圆周上的弧（当然还有它们的并和交）。那么任一

O

的开集

{(\cos (2 π x), \sin (2 π x)) | x \in (a, b), 0 < a < b < 1}

对应

X

的

(a, b)

，，显然这是

X

的开集，于是映射

f

是连续的。然而

f ([1 / 2, 1))

对应

O

的角度在

[π, 2 π)

的弧，其是

O

的非闭集，而

[1 / 2, 1)

是

X

闭集（因为其关于

X

的补集是开集

[0, 1 / 2)

）。

　　同样的， $f$ 将 $X$ 的开集 $[0, 1 / 2)$ 映到 $O$ 的角度在 $[0, π)$ 的非开集。

　　因此，一般的连续映射并不会将开（闭）集映射为开（闭）集，因此我们可以在拓扑空间中定义一种将开（闭）集映射为开（闭）集的映射，并给它们专有的名字。

2. 开映射和闭映射

定义 1　开映射，闭映射

　　设 $f$ 是拓扑空间之间的映射，若 $f$ 把任一开集映到开集，则称 $f$ 是开的。若 $f$ 把任一闭集映到闭集，则称 $f$ 是闭的。

　　由开映射和连续映射的定义，可以知道，开映射的逆是连续的。因此，尽管不能保证一一的连续映射的逆是连续的，但是我们可以专门研究那种一一的连续映射的逆是连续的那些映射，这样的映射称为同胚映射。显然，同胚映射首先是一个开映射，也是一个闭映射。

开映射和闭映射

1. 连续映射下开（闭）集的像不是开（闭）集

例 1

2. 开映射和闭映射

定义 1 开映射，闭映射

例 1　

定义 1　开映射，闭映射