开映射和闭映射
贡献者： 零穹
拓扑空间中，映射是连续的当且将当对像空间的每一开集的原象是开集，或者像空间的每一闭集的原象是闭集。即若 $(X,\mathcal T_X),(Y,\mathcal T_Y)$ 是两个拓扑空间，$f:\mathcal X\rightarrow\mathcal Y$ 是连续的当且将当每一 $O_Y\in\mathcal T_Y$，$f^{-1}(O_Y)\in\mathcal T_X$。然而，我们可以问：在连续映射下，开集的像是否一定是开集？闭集的象是否是闭集？一些例子告诉我们，一般情况下回答是否定的。这就引出了开映射和闭映射的概念。而对理解这两个概念本身来说，我们无需知道连续映射的定义。
1. 连续映射下开（闭）集的像不是开（闭）集
例 1
考虑半开区间 $X=[0,1)$ 到圆周 $O=\{(x,y)|x^2+y^2=1,x,y\in\mathbb R\}$ 的映射：
\begin{equation}
f(x)=( \cos\left(2\pi x\right) , \sin\left(2\pi x\right) ).~
\end{equation}
其中 $X$ 的开集为 $[0,x),x\in (0,1)$ 和普通的开区间，$O$ 的开集是不包括端点的圆周上的弧（当然还有它们的并和交）。
那么任一 $O$ 的开集 $\{( \cos\left(2\pi x\right) , \sin\left(2\pi x\right) )|x\in(a,b),0< a< b<1\}$ 对应 $X$ 的 $(a,b)$，
，显然这是 $X$ 的开集，于是映射 $f$ 是连续的。然而 $f([1/2,1))$ 对应 $O$ 的角度在 $[\pi,2\pi)$ 的弧，其是 $O$ 的非闭集，而 $[1/2,1)$ 是 $X$ 闭集（因为其关于 $X$ 的补集是开集 $[0,1/2)$）。
同样的，$f$ 将 $X$ 的开集 $[0,1/2)$ 映到 $O$ 的角度在 $[0,\pi)$ 的非开集。
因此，一般的连续映射并不会将开（闭）集映射为开（闭）集，因此我们可以在拓扑空间中定义一种将开（闭）集映射为开（闭）集的映射，并给它们专有的名字。
2. 开映射和闭映射
定义 1 开映射，闭映射
设 $f$ 是拓扑空间之间的映射，若 $f$ 把任一开集映到开集，则称 $f$ 是开的。若 $f$ 把任一闭集映到闭集，则称 $f$ 是闭的。
由开映射和连续映射的定义，可以知道，开映射的逆是连续的。因此，尽管不能保证一一的连续映射的逆是连续的，但是我们可以专门研究那种一一的连续映射的逆是连续的那些映射，这样的映射称为同胚映射。显然，同胚映射首先是一个开映射，也是一个闭映射。