贡献者: 叶月2_; JierPeter; addis
1. 同构
让我们来观察两个群 $(\mathbb{Z}, +)$ 和 $(2\mathbb{Z},+)$。如果我们把 $2\mathbb{Z}$ 中的 $2$ 都看成 $1$,$4$ 都看成 $2$,以此类推,将 $2k$ 都看成 $k$,那么两个群的运算规则是一模一样的。比如说,$2\mathbb{Z}$ 中有 $2+4=6$,对应的是 $\mathbb{Z}$ 中 $1+2=3$ 的等式。
我们研究集合和群的时候,元素叫什么名字并不重要,重要的是元素之间是否相同以及运算规则是怎样的。那么,如果我们真的将 $2\mathbb{Z}$ 中的元素 $2k$ 都重命名为 $k$,它就和 $\mathbb{Z}$ 没什么区别了。所以在群的意义上,如果不考虑子群关系,单独把 $\mathbb{Z}$ 和 $2\mathbb{Z}$ 拿出来的时候,我们就认为它们是不可区分的,完全相同的两个群。
如果我们建立一个映射 $f:\mathbb{Z}\rightarrow2\mathbb{Z}$,定义为 $f(k)=2k$,那么这个 $f$ 就是一个双射,它在两个群的元素之间一一对应地建立了联系。这样,对于任意整数 $m, n$,有 $f(m)+f(n)=f(m+n)$,也就是说 “先运算再映射” 和 “先映射再运算” 结果是相同的。
类似地,对于任意的两个群 $G$ 和 $K$,如果存在一个双射 $f:G\rightarrow K$,使得对于任意的 $x, y\in G$ 都满足 $f(x)f(y)=f(xy)$,那么这两个群的运算结构就是一模一样的。这时我们说这两个群是同构(isomorphic)的,而这个使得它们同构的双射就被称为 $G$ 和 $K$ 之间的同构映射(isomorphic mapping),也可以简称同构(isomorphism)这里加粗的两个 “同构”,前者是形容词,后者是名词。
定义 1 自同构
称群到自身的同构为一个自同构(automorphism)1。
群 $G$ 的全体自同构配合映射的复合,又构成一个群,称为 $G$ 的自同构群,记为 $ \operatorname {Aut}(G)$。
由于同构使得两个群各方面表现一模一样,研究同构其实没有太大意义,我们甚至直接把同构的两个群看成同一个群,不管元素具体怎么命名的。有意思的结构,是以下定义的 “同态映射”。
2. 同态
同构映射是一个双射。如果把这个要求拿掉,我们就得到同态的概念:
定义 2 同态映射
对于两个群 $G$ 和 $K$,如果映射(不一定是双射)$f:G\rightarrow K$ 使得 $\forall x, y\in G, f(x)f(y)=f(xy)$,那么称 $G$ 和 $K$ 是同态(homomorphic)的,称 $f$ 是同态映射(homomorphic mapping)或同态(homomorphism)。
定义 3 像和核
沿用定义 2 的设定。$K$ 中被映射到的元素构成的集合,称为 $f$ 的像(image),记作 $f(G)$。$G$ 中映射到 $K$ 的单位元 $e_K$ 的元素构成的集合,称为 $f$ 的核(kernal),记为 $\ker(f)$。
注意,$f(G)\subset K$,$\ker(f)\subset G$。
同态的两个群,运算结构很相似但又不完全一样。在以上定义的例子中,$K$ 的行为就像是一个弱化版的 $G$,可能会丢失一些细节,但保留的方面和 $G$ 是一模一样的。这么说可能不够具体,我们用习题 1 和习题 2 来理解同态的 “似而不同”。
习题 1
设两个群 $G$ 和 $K$,$f:G\rightarrow K$ 是一个同态,$x\in G$,求证 $f(x^{-1})=(f(x))^{-1}$。
习题 2 群同态基本定理
设两个群 $G$ 和 $K$,$f:G\rightarrow K$ 是一个满同态。求证:
- $\ker(f)$ 是 $G$ 的一个正规子群2。
- 对于 $x_1, x_2, y_1, y_2\in G$,如果3$x_1^{-1}x_2\in \ker(f)$ 和 $y_1^{-1}y_2\in \ker(f)$,那么 $f(x)=f(x_1)$,$f(y)=f(y_1)$。
- 由前两条的结论,证明可以用 $f$ 来导出一个映射 $f': G/\ker(f)\rightarrow K$,它是一个群同构。
由习题 2 ,同态的实质就是商群 $G/\ker(f)$ 和 $K$ 之间的同构。$G/\ker(f)$ 继承了 $G$ 的运算,但是由于把同余的元素全都当作同一个了,也就丢失了一部分细节。因此我们说同态的两个群也是 “似而不同” 的。
对于两个存在满同态关系的群,我们可以利用群同态定理,进一步找到结构上的相似之处。
定理 1
设 $f:G_1\to G_2$ 是满同态,$N= \operatorname {ker}f$,则
- 若 $B$ 是 $G_1$ 的子群,则 $f(B)$ 是 $G_2$ 的子群。反之,若 $K$ 是 $G_2$ 的子群,则 $f^{-1}(K)=\{x\in G_1\mid f(x)\in K\}$ 是 $G_1$ 的子群且 $f^{-1}(K)\supseteq N$。
- 对于任意 $H\supseteq N,f:H\to f(H)$ 建立了子群之间的一一对应;在该双射下,$H\lhd G_1$ 当且仅当 $f(H)\lhd G_2$。
- $H$ 同上设。$G_1/H\cong G_2/f(H)$。
证明:
- 设任意 $f(x),f(y)\in f(B)$,则 $f(x)f(y)^{-1}=f(xy^{-1})$。又因为 $xy^{-1}\in B$,所以 $f(xy^{-1})\in f(H)$。所以 $f(B)$ 是 $G_2$ 的子群。反之也同理易证 $f^{-1}(K)$ 是 $G_1$ 的子群4。设 $e'=f(e)$,由于 $e'\in K$,所以 $f^{-1}(e')=N\subseteq f^{-1}(K) $。
-
由前文讨论可知,$f(H)$ 必然是 $G_2$ 的子群,因此 $f^{-1}f(H)$ 必然是包含 $N$ 的子群。所以 $f$ 确实建立了包含 $N$ 的 $G_1$子群集合与 $f(H)$ 构成的子群集合之间的映射。在该集合意义上,$f$ 是满射($f^{-1}f(H)\supseteq H,N$),所以接下来我们只需要证明这是单射即可。
假设这不是单射,即至少存在两个包含 $N$ 的子群 $A,B$ 使得 $f(A)=f(B)$。对于任意 $a\in A$,存在 $b\in B$ 使得 $f(a)=f(b)$,则 $f(ab^{-1})=e'$,所以 $ab^{-1}\in N\subseteq B$,则 $a\in B, A\subseteq B$。反之,对于任意 $b'\in B$,存在 $a'\in A$ 使得 $f(a'b'^{-1})=e'$,则 $a'b'^{-1}\subseteq A$,则 $b'\in A,B\subseteq A$,所以 $A=B$,映射是单射;
下面证最后一个性质。设 $H\lhd G_1$。对于任意 $f(a)\in G_2$ 有 $f(a)f(H)f(a)^{-1}=f(aHa^{-1})=f(H)$,因此 $f(H)\lhd G_2$。反之由 $f$ 是满同态,易证若 $K\lhd G_2$,则 $f^{-1}(K)\lhd G_1$。
- 由上文知 $f(H)\lhd G_2$。现设 $f'=\pi \circ f:G_1\to G_2\to G_2/f(H)$5。这是满同态的复合,因此 $f'$ 也是满同态。因为 $ \operatorname {ker}f'=f^{-1}f(H)=H$,由群同态基本定理得证此条性质。
应用定理 1 在自然同态 $\pi:G\to G/N$ 上,可以清楚看到,商群是如何继承原群结构的,具体如下图所示。
图 1:正规子群的一一对应。红色圆代表正规子群 $N$,所有圆都是群 $G$ 关于 $N$ 的陪集分解。紫色部分加上红色圆代表在群 $G$ 意义上的正规子群 $N_2$,$N_2\supseteq N$。黄色圆加上红色圆则代表在商集意义上的正规子群,即 $N_2/N\lhd G/N$。
推论 1
$G$ 是群,若 $H,N$ 都是 $G$ 的正规子群且 $H\supseteq N$,我们有6
\begin{equation}G/H\cong (G/N)/(H/N)~.\end{equation}
3. 内自同构和外自同构
回顾线性代数中的知识:给定线性空间的基以后,线性变换和矩阵就一一对应(我们称之为给定基下用矩阵表示线性变换),而改变基以后同一个线性变换的基也会变。因此,群 $(\{\text{线性变换}\}, \text{映射的复合})$ 与群 $(\{\text{矩阵}\}, \text{矩阵乘法})$ 之间可以建立同构。这样的同构不是唯一的,而是依赖于基的选择。
不同的矩阵可以看成同一个线性变换在不同基下的表示,也可以看成两个不同的线性变换在同一个基下的表示。因此,我们可以用一个基来将矩阵对应到线性变换上,再用另一个基将线性变换对应到另一个矩阵上,由此就得到了矩阵之间的对应,这个对应就是矩阵乘法群到自身的同构。同一个线性变换在不同基之间的矩阵表示的关系是相似,具体参见过渡矩阵小节。
由上段论述可知,给定可逆矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{Q}} $,则矩阵到自身的映射 $f$ 是一个自同构,其中 $f( \boldsymbol{\mathbf{M}} )= \boldsymbol{\mathbf{Q}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{MQ}} $。这提示我们一种构建群自同构的方法。
定义 4 内自同构
给定群 $G$。取 $g\in G$,定义映射 $ \operatorname {Ad}_g:G\to G$ 如下:对于任意 $x\in G$,都有 $ \operatorname {Ad}_g(x)=gxg^{-1}$。
称 $ \operatorname {Ad}_g$ 是 $G$ 上的内自同构(inner automorphism),或者共轭自同构(cogredient automorphism)。
群 $G$ 的全体内自同构构成 $ \operatorname {Aut}(G)$ 的一个子群,称为 $G$ 的内自同构群,记为 $ \operatorname {Inn}(G)$。
证明:
给定群 $G$,设 $f\in \operatorname {Aut}(G)$。任取 $g, x\in G$,则由习题 1 可得,
\begin{equation}
\begin{aligned}
f^{-1} \left(gf(x)g^{-1} \right) &=f^{-1} \left(g \right) f^{-1} \left(f(x) \right) f^{-1} \left(g^{-1} \right) \\
&=f^{-1} \left(g \right) xf^{-1} \left(g^{-1} \right) \\
&=f^{-1} \left(g \right) x \left(f^{-1} \left(g \right) \right) ^{-1}
\end{aligned}~
\end{equation}
由 $x$ 的任意性,式 2 意味着 $f\circ \operatorname {Ad}_g\circ f^{-1}= \operatorname {Ad}_{f^{-1}(g)}$。因此 $f\circ \operatorname {Inn}(G)\circ f^{-1}\subseteq \operatorname {Inn}(G)$,故 $ \operatorname {Inn}(G)$ 是 $ \operatorname {Aut}(G)$ 的正规子群。
证毕。
由定理 2 ,我们可以计算商群 $ \operatorname {Aut}(G)/ \operatorname {Inn}(G)$。
定义 5 外自同构
给定群 $G$,称 $ \operatorname {Aut}(G)/ \operatorname {Inn}(G)$ 为 $G$ 的外自同构群(outer automorphism),记为 $ \operatorname {Out} (G)$。
例 1 不是内自同构的自同构
取复数乘法群 $(\mathbb{C}, \times)$,则取共轭映射 $f(z)=\bar{z}$ 是其上一个自同构,但它显然不是内自同构。由于复数乘法的交换性,复数乘法群上的内自同构只有恒等映射一种。
对于任意群而言,内自同构群的结构是清楚的,由下述定理给出。这个定理其实是群同态基本定理的一个简单应用。
定理 3
$ \operatorname {Inn}(G)$ 同构于 $G/C(G)$。
证明:
我们只需要给出 $G$ 到 $ \operatorname {Inn}(G)$ 的一个满同态并证明其核为 $C(G)$ 即可。
定义映射 $f:G\to \operatorname {Inn} G$ 为 $f(x)= \operatorname {Ad}_x$,容易知道这是个满射,又因为对任意 $g\in G$,有
\begin{equation}
\begin{split}
(f(x)f(y))(g)&=( \operatorname {Ad}_x \operatorname {Ad}_y)(g)= \operatorname {Ad}_x(( \operatorname {Ad}_y)(g))\\
&=xygy^{-1}x^{-1}=(xy)g(xy)^{-1}\\
&= \operatorname {Ad}_{xy}(g)\\
&=(f(xy))(g),
\end{split}~
\end{equation}
即 $f(x)f(y)=f(xy)$,所以这是一个同态映射。
其核 $\ker(f)=C(G)$,因为若 $x\in\ker(f)$,则对任意 $g\in G$,有 $xgx^{-1}=g$.
所以由习题 2 ,$ \operatorname {Inn}(G)$ 同构于 $G/C(G)$。
证毕。
特别地,由于当 $n\geq 3$ 时 $C(S_n)=\{e\}$,故 $ \operatorname {Inn} S_n$ 与 $S_n$ 同构。
相比内自同构群,自同构群的结构复杂得多。这里单就置换群给出结果。
定理 4
当 $n\neq 2,6$ 时,置换群 $S_n$ 的自同构群同构于自身。
$S_2$ 的自同构群是平凡群。
$ \operatorname {Out} S_6$ 是 2 阶循环群。
1. ^ 这个词是用词根 “auto(自身的)” 和单词 “isomorphism(同构)” 组合而成的。
2. ^ 这保证了群 $G/\ker(f)$ 存在。
3. ^ 即 $x_1$ 与 $x_2$ 模 $\ker(f)$ 同余,$y_1$ 与 $y_2$ 模 $\ker(f)$ 同余。
4. ^ 需要注意映射的逆和群元的逆的区别,$[f^{-1}(a)]^{-1}=f^{-1}(a^{-1})$。
5. ^ $\pi$ 为自然同态,即若 $N\lhd G,\pi(g)=gN$,易见这是一个满同态。
6. ^ 对任意 $h,h_1,h_2\in H$ 有 $\pi(h)=hN$,$h_1N=h_2N$ 当且仅当 $h_1h_2^{-1}\in H$。因此这实际上是 $H$ 关于 $N$ 的陪集分解 $H/N$。