群的同态与同构

贡献者：叶月2_; JierPeter; addis

预备知识　正规子群

1. 同构

　　让我们来观察两个群 $(Z, +)$ 和 $(2 Z, +)$ 。如果我们把 $2 Z$ 中的 $2$ 都看成 $1$ ， $4$ 都看成 $2$ ，以此类推，将 $2 k$ 都看成 $k$ ，那么两个群的运算规则是一模一样的。比如说， $2 Z$ 中有 $2 + 4 = 6$ ，对应的是 $Z$ 中 $1 + 2 = 3$ 的等式。

　　我们研究集合和群的时候，元素叫什么名字并不重要，重要的是元素之间是否相同以及运算规则是怎样的。那么，如果我们真的将 $2 Z$ 中的元素 $2 k$ 都重命名为 $k$ ，它就和 $Z$ 没什么区别了。所以在群的意义上，如果不考虑子群关系，单独把 $Z$ 和 $2 Z$ 拿出来的时候，我们就认为它们是不可区分的，完全相同的两个群。

　　如果我们建立一个映射 $f : Z \to 2 Z$ ，定义为 $f (k) = 2 k$ ，那么这个 $f$ 就是一个双射，它在两个群的元素之间一一对应地建立了联系。这样，对于任意整数 $m, n$ ，有 $f (m) + f (n) = f (m + n)$ ，也就是说 “先运算再映射” 和 “先映射再运算” 结果是相同的。

　　类似地，对于任意的两个群 $G$ 和 $K$ ，如果存在一个双射 $f : G \to K$ ，使得对于任意的 $x, y \in G$ 都满足 $f (x) f (y) = f (x y)$ ，那么这两个群的运算结构就是一模一样的。这时我们说这两个群是同构（isomorphic）的，而这个使得它们同构的双射就被称为 $G$ 和 $K$ 之间的同构映射（isomorphic mapping），也可以简称同构（isomorphism）这里加粗的两个 “同构”，前者是形容词，后者是名词。

定义 1　自同构

　　称群到自身的同构为一个自同构（automorphism）¹。

　　群 $G$ 的全体自同构配合映射的复合，又构成一个群，称为 $G$ 的自同构群，记为 $Aut (G)$ 。

　　由于同构使得两个群各方面表现一模一样，研究同构其实没有太大意义，我们甚至直接把同构的两个群看成同一个群，不管元素具体怎么命名的。有意思的结构，是以下定义的 “同态映射”。

2. 同态

　　同构映射是一个双射。如果把这个要求拿掉，我们就得到同态的概念：

定义 2　同态映射

　　对于两个群 $G$ 和 $K$ ，如果映射（不一定是双射） $f : G \to K$ 使得 $\forall x, y \in G, f (x) f (y) = f (x y)$ ，那么称 $G$ 和 $K$ 是同态（homomorphic）的，称 $f$ 是同态映射（homomorphic mapping）或同态（homomorphism）。

定义 3　像和核

　　沿用定义 2 的设定。 $K$ 中被映射到的元素构成的集合，称为 $f$ 的像（image），记作 $f (G)$ 。 $G$ 中映射到 $K$ 的单位元 $e_{K}$ 的元素构成的集合，称为 $f$ 的核（kernal），记为 $\ker (f)$ 。

　　注意， $f (G) \subset K$ ， $\ker (f) \subset G$ 。

　　同态的两个群，运算结构很相似但又不完全一样。在以上定义的例子中， $K$ 的行为就像是一个弱化版的 $G$ ，可能会丢失一些细节，但保留的方面和 $G$ 是一模一样的。这么说可能不够具体，我们用习题 1 和习题 2 来理解同态的 “似而不同”。

习题 1　

　　设两个群 $G$ 和 $K$ ， $f : G \to K$ 是一个同态， $x \in G$ ，求证 $f (x^{- 1}) = (f (x))^{- 1}$ 。

习题 2　群同态基本定理

　　设两个群 $G$ 和 $K$ ， $f : G \to K$ 是一个满同态。求证：

$\ker (f)$ 是 $G$ 的一个正规子群²。
对于 $x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2} \in G$ ，如果³ $x_{1}^{- 1} x_{2} \in \ker (f)$ 和 $y_{1}^{- 1} y_{2} \in \ker (f)$ ，那么 $f (x) = f (x_{1})$ ， $f (y) = f (y_{1})$ 。
由前两条的结论，证明可以用 $f$ 来导出一个映射 $f^{'} : G / \ker (f) \to K$ ，它是一个群同构。

　　由习题 2 ，同态的实质就是商群 $G / \ker (f)$ 和 $K$ 之间的同构。 $G / \ker (f)$ 继承了 $G$ 的运算，但是由于把同余的元素全都当作同一个了，也就丢失了一部分细节。因此我们说同态的两个群也是 “似而不同” 的。

　　对于两个存在满同态关系的群，我们可以利用群同态定理，进一步找到结构上的相似之处。

定理 1　

　　设 $f : G_{1} \to G_{2}$ 是满同态， $N = \ker f$ ，则

若 $B$ 是 $G_{1}$ 的子群，则 $f (B)$ 是 $G_{2}$ 的子群。反之，若 $K$ 是 $G_{2}$ 的子群，则 $f^{- 1} (K) = {x \in G_{1} ∣ f (x) \in K}$ 是 $G_{1}$ 的子群且 $f^{- 1} (K) \supseteq N$ 。
对于任意 $H \supseteq N, f : H \to f (H)$ 建立了子群之间的一一对应；在该双射下， $H ⊲ G_{1}$ 当且仅当 $f (H) ⊲ G_{2}$ 。
$H$ 同上设。 $G_{1} / H ≅ G_{2} / f (H)$ 。

　　 证明：

设任意 $f (x), f (y) \in f (B)$ ，则 $f (x) f (y)^{- 1} = f (x y^{- 1})$ 。又因为 $x y^{- 1} \in B$ ，所以 $f (x y^{- 1}) \in f (H)$ 。所以 $f (B)$ 是 $G_{2}$ 的子群。反之也同理易证 $f^{- 1} (K)$ 是 $G_{1}$ 的子群⁴。设 $e^{'} = f (e)$ ，由于 $e^{'} \in K$ ，所以 $f^{- 1} (e^{'}) = N \subseteq f^{- 1} (K)$ 。
由前文讨论可知， $f (H)$ 必然是 $G_{2}$ 的子群，因此 $f^{- 1} f (H)$ 必然是包含 $N$ 的子群。所以 $f$ 确实建立了包含 $N$ 的 $G_{1}$ 子群集合与 $f (H)$ 构成的子群集合之间的映射。在该集合意义上， $f$ 是满射（ $f^{- 1} f (H) \supseteq H, N$ ），所以接下来我们只需要证明这是单射即可。
假设这不是单射，即至少存在两个包含 $N$ 的子群 $A, B$ 使得 $f (A) = f (B)$ 。对于任意 $a \in A$ ，存在 $b \in B$ 使得 $f (a) = f (b)$ ，则 $f (a b^{- 1}) = e^{'}$ ，所以 $a b^{- 1} \in N \subseteq B$ ，则 $a \in B, A \subseteq B$ 。反之，对于任意 $b^{'} \in B$ ，存在 $a^{'} \in A$ 使得 $f (a^{'} b^{' - 1}) = e^{'}$ ，则 $a^{'} b^{' - 1} \subseteq A$ ，则 $b^{'} \in A, B \subseteq A$ ，所以 $A = B$ ，映射是单射；
下面证最后一个性质。设 $H ⊲ G_{1}$ 。对于任意 $f (a) \in G_{2}$ 有 $f (a) f (H) f (a)^{- 1} = f (a H a^{- 1}) = f (H)$ ，因此 $f (H) ⊲ G_{2}$ 。反之由 $f$ 是满同态，易证若 $K ⊲ G_{2}$ ，则 $f^{- 1} (K) ⊲ G_{1}$ 。
由上文知 $f (H) ⊲ G_{2}$ 。现设 $f^{'} = π \circ f : G_{1} \to G_{2} \to G_{2} / f (H)$ ⁵。这是满同态的复合，因此 $f^{'}$ 也是满同态。因为 $\ker f^{'} = f^{- 1} f (H) = H$ ，由群同态基本定理得证此条性质。

　　应用定理 1 在自然同态 $π : G \to G / N$ 上，可以清楚看到，商群是如何继承原群结构的，具体如下图所示。

图 1：正规子群的一一对应。红色圆代表正规子群

N

，所有圆都是群

G

关于

N

的陪集分解。紫色部分加上红色圆代表在群

G

意义上的正规子群

N_{2}

，

N_{2} \supseteq N

。黄色圆加上红色圆则代表在商集意义上的正规子群，即

N_{2} / N ⊲ G / N

。

推论 1　

　　 $G$ 是群，若 $H, N$ 都是 $G$ 的正规子群且 $H \supseteq N$ ，我们有⁶

\begin{matrix} (1) & G / H ≅ (G / N) / (H / N) . \end{matrix}

3. 内自同构和外自同构

　　回顾线性代数中的知识：给定线性空间的基以后，线性变换和矩阵就一一对应（我们称之为给定基下用矩阵表示线性变换），而改变基以后同一个线性变换的基也会变。因此，群 $({线性变换}, 映射的复合)$ 与群 $({矩阵}, 矩阵乘法)$ 之间可以建立同构。这样的同构不是唯一的，而是依赖于基的选择。

　　不同的矩阵可以看成同一个线性变换在不同基下的表示，也可以看成两个不同的线性变换在同一个基下的表示。因此，我们可以用一个基来将矩阵对应到线性变换上，再用另一个基将线性变换对应到另一个矩阵上，由此就得到了矩阵之间的对应，这个对应就是矩阵乘法群到自身的同构。同一个线性变换在不同基之间的矩阵表示的关系是相似，具体参见过渡矩阵小节。

　　由上段论述可知，给定可逆矩阵 $Q$ ，则矩阵到自身的映射 $f$ 是一个自同构，其中 $f (M) = Q^{- 1} MQ$ 。这提示我们一种构建群自同构的方法。

定义 4　内自同构

　　给定群 $G$ 。取 $g \in G$ ，定义映射 ${Ad}_{g} : G \to G$ 如下：对于任意 $x \in G$ ，都有 ${Ad}_{g} (x) = g x g^{- 1}$ 。

　　称 ${Ad}_{g}$ 是 $G$ 上的内自同构（inner automorphism），或者共轭自同构（cogredient automorphism）。

　　群 $G$ 的全体内自同构构成 $Aut (G)$ 的一个子群，称为 $G$ 的内自同构群，记为 $Inn (G)$ 。

定理 2　

　　内自同构群是自同构群的正规子群。

　　证明：

　　给定群 $G$ ，设 $f \in Aut (G)$ 。任取 $g, x \in G$ ，则由习题 1 可得，

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} f^{- 1} (g f (x) g^{- 1}) & = f^{- 1} (g) f^{- 1} (f (x)) f^{- 1} (g^{- 1}) \\ = f^{- 1} (g) x f^{- 1} (g^{- 1}) \\ = f^{- 1} (g) x {(f^{- 1} (g))}^{- 1} \end{aligned} \end{matrix}

　　由 $x$ 的任意性，式 2 意味着 $f \circ {Ad}_{g} \circ f^{- 1} = {Ad}_{f^{- 1} (g)}$ 。因此 $f \circ Inn (G) \circ f^{- 1} \subseteq Inn (G)$ ，故 $Inn (G)$ 是 $Aut (G)$ 的正规子群。

　　证毕。

　　由定理 2 ，我们可以计算商群 $Aut (G) / Inn (G)$ 。

定义 5　外自同构

　　给定群 $G$ ，称 $Aut (G) / Inn (G)$ 为 $G$ 的外自同构群（outer automorphism），记为 $Out (G)$ 。

例 1　不是内自同构的自同构

　　取复数乘法群 $(C, \times)$ ，则取共轭映射 $f (z) = \bar{z}$ 是其上一个自同构，但它显然不是内自同构。由于复数乘法的交换性，复数乘法群上的内自同构只有恒等映射一种。

　　对于任意群而言，内自同构群的结构是清楚的，由下述定理给出。这个定理其实是群同态基本定理的一个简单应用。

定理 3　

　　 $Inn (G)$ 同构于 $G / C (G)$ 。

　　证明：

　　我们只需要给出 $G$ 到 $Inn (G)$ 的一个满同态并证明其核为 $C (G)$ 即可。

　　定义映射 $f : G \to Inn G$ 为 $f (x) = {Ad}_{x}$ ，容易知道这是个满射，又因为对任意 $g \in G$ ,有

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} (f (x) f (y)) (g) & = ({Ad}_{x} {Ad}_{y}) (g) = {Ad}_{x} (({Ad}_{y}) (g)) \\ = x y g y^{- 1} x^{- 1} = (x y) g (x y)^{- 1} \\ = {Ad}_{x y} (g) \\ = (f (x y)) (g), \end{aligned} \end{matrix}

即

f (x) f (y) = f (x y)

，所以这是一个同态映射。

　　其核 $\ker (f) = C (G)$ ，因为若 $x \in \ker (f)$ ，则对任意 $g \in G$ ，有 $x g x^{- 1} = g$ .

　　所以由习题 2 ， $Inn (G)$ 同构于 $G / C (G)$ 。

　　证毕。

　　特别地，由于当 $n \geq 3$ 时 $C (S_{n}) = {e}$ ，故 $Inn S_{n}$ 与 $S_{n}$ 同构。

　　相比内自同构群，自同构群的结构复杂得多。这里单就置换群给出结果。

定理 4　

　　当 $n \neq 2, 6$ 时，置换群 $S_{n}$ 的自同构群同构于自身。

　　 $S_{2}$ 的自同构群是平凡群。

　　 $Out S_{6}$ 是 2 阶循环群。

1. ^ 这个词是用词根 “auto（自身的）” 和单词 “isomorphism（同构）” 组合而成的。
2. ^ 这保证了群 $G / \ker (f)$ 存在。
3. ^ 即 $x_{1}$ 与 $x_{2}$ 模 $\ker (f)$ 同余， $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 模 $\ker (f)$ 同余。
4. ^ 需要注意映射的逆和群元的逆的区别， $[f^{- 1} (a)]^{- 1} = f^{- 1} (a^{- 1})$ 。
5. ^ $π$ 为自然同态，即若 $N ⊲ G, π (g) = g N$ ，易见这是一个满同态。
6. ^ 对任意 $h, h_{1}, h_{2} \in H$ 有 $π (h) = h N$ ， $h_{1} N = h_{2} N$ 当且仅当 $h_{1} h_{2}^{- 1} \in H$ 。因此这实际上是 $H$ 关于 $N$ 的陪集分解 $H / N$ 。

群的同态与同构

1. 同构

定义 1 自同构

2. 同态

定义 2 同态映射

定义 3 像和核

习题 1

习题 2 群同态基本定理

定理 1

推论 1

3. 内自同构和外自同构

定义 4 内自同构

定理 2

定义 5 外自同构

例 1 不是内自同构的自同构

定理 3

定理 4

定义 1　自同构

定义 2　同态映射

定义 3　像和核

习题 1　

习题 2　群同态基本定理

定理 1　

推论 1　

定义 4　内自同构

定理 2　

定义 5　外自同构

例 1　不是内自同构的自同构

定理 3　

定理 4　