贡献者： addis; JierPeter
简单来说，连续函数定义为：在某个区间内，函数曲线是连续的。例如常见的 $\sin x$，$\exp x$，$x^2$ 都在整个实数域上连续，又例如 $\ln x$ 和 $1/x$ 在区间 $(0, \infty)$ 上连续，$\tan x$ 在所有 $x_n = (1/2 + n)\pi$（$n$ 为自然数）处不连续，$1/x$ 在 $x = 0$ 处不连续。但这只是一些简单的情况。在一些情况下这种判断方法则显得不严谨，例如函数
\begin{equation}
f(x) = \left\{\begin{aligned}
& \sin\left(1/x\right) \quad &(x \ne 0)\\
&0 \quad &(x = 0)
\end{aligned}\right. ~.
\end{equation}
在原点处的连续性（不连续）根据这个定义不好判断。所以我们需要一个更严谨的定义。
首先我们要讨论函数在一个点附近是否是连续的。这个概念的思想核心是，在函数曲线的某一点附近 $(x_0, f(x_0))$，无论我们要求 $f(x)$ 有多接近 $f(x_0)$，只要 $x$ 足够靠近 $x_0$，就一定能满足条件。比如说，如果定义函数 $f$ 为当 $x<0$ 的时候，$f(x)=0$，其它时候 $f(x)=1$，那么在 $x=0$ 这一点处 $f$ 就是跳跃的。如果我们要求的接近程度小于 $1$，那么无论 $x$ 多接近 $0$，只要 $x<0$，$f(x)$ 和 $f(0)=1$ 的距离就永远满足不了需要。
准确地描述以上 “连续” 的概念，如下所示：
定义 1 函数在一点的连续性和区间的连续性
函数 $f(x)$ 在某点 $x = x_0$ 处连续的定义是：函数 $f(x)$ 在某点 $x=x_0$ 处连续，当且仅当对于任何精度要求 $\epsilon>0$，我们都可以找到一个对应的范围 $\delta>0$，使得只要 $|x-x_0|<\delta$，就有 $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$。用极限符号来表示，就是：
\begin{equation}
\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)~.
\end{equation}
如果一个函数在某区间的所有点都连续，我们就说它在这个区间连续。
注意这里要求 $x$ 从左边和右边趋近于 $x_0$ 时的极限（即左极限和右极限）都成立。
1. 一致连续
以上所定义的连续性是针对一个个点 $x_0$ 而言的，就算函数在每一个点都连续，我们也只能说这个函数是逐点连续的（pointwise continuous）。事实上，还有一种更强的连续性，它着眼于整体的性质，这就是一致连续（uniformly continuous）。它的准确定义如下：
定义 2 一致连续
如果函数 $f(x)$ 在区间 $S$ 上，对于任意精度 $\epsilon>0$，都存在对应的范围 $\delta>0$，使得只要 $|x_1-x_2|<\delta$，那么 $|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$。
一致连续着眼于整个区间的性质，而不是一个个点。显然，一致连续的函数肯定逐点连续，但是逐点连续的函数不一定一致连续，我们举一个反例。
例 1
例如考虑函数 $f(x)=1/x$，那么在区间 $(0, \infty)$ 上，$f$ 就是逐点连续的，但它并不一致连续；对于同样的精度要求 $\epsilon>0$ 和任何范围 $\delta>0$，只要 $0< x_1<\delta$，那么就总有一个足够小的 $x_2$ 使得 $|f(x_1)-f(x_2)|>\epsilon$，毕竟当 $x_2$ 接近 $0$ 的过程中，$f(x_2)$ 的斜率绝对值会趋近于无穷大。
习题 1 连续但不一致连续的函数
试证明 $1/x$ 在区间 $(0, +\infty]$ 以及 $x^2$ 在 $\mathbb R$ 都是连续的，但不是一致连续的。
定理 1
设 $S$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个区间。函数 $f$ 在 $S$ 上逐点连续的充分必要条件是，对于任何开区间 $A\subset \mathbb{R}$，满足 $f(x)\in A$ 的所有 $x$ 构成的集合，是若干开区间的并集。用紧凑的写法来表达就是，$f^{-1}(A)$ 是开区间的并集。
这个定理还可以等价地用闭区间来表达：$f$ 在 $S$ 上逐点连续的充分必要条件是，任何闭区间的逆映射是闭区间的并集。
图 1：如图，红色水平线在 $f(X)$ 轴上划分出了一个开/闭区间，绿色垂直线是取反函数的过程，$x$ 轴上的靛蓝色线段就是取反函数的结果。从这个图可以直观地看出
定理 1 的意义。
在实数轴上，开集被定义为任何开区间的并集，而闭集是开集的补集。如果 $S$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个子集，那么 $S$ 上的开集被定义为 $\mathbb{R}$ 的开集和 $S$ 的交集。这样一来，定理 1 就可以扩展为：$f$ 在 $S$ 上逐点连续，等价于对于任何开集 $A$，$f^{-1}(A)\cap S$ 是 $S$ 上的开集，等价于对于任何闭集 $B$，$f^{-1}(B)\cap S$ 是 $S$ 上的闭集。
用逆映射来刻画连续性是一个非常好用的方法。
