函数的连续性

贡献者： addis; JierPeter

　　 简单来说，连续函数定义为：在某个区间内，函数曲线是连续的。例如常见的 $\sin x$，$\exp x$，$x^2$ 都在整个实数域上连续，又例如 $\ln x$ 和 $1/x$ 在区间 $(0,\mathrm{\infty })$ 上连续，$\tan x$ 在所有 $x_n=(1/2+n)\pi$（$n$ 为自然数）处不连续，$1/x$ 在 $x=0$ 处不连续。但这只是一些简单的情况。在一些情况下这种判断方法则显得不严谨，例如函数

　　 首先我们要讨论函数在一个点附近是否是连续的。这个概念的思想核心是，在函数曲线的某一点附近 $(x_0,f(x_0))$，无论我们要求 $f(x)$ 有多接近 $f(x_0)$，只要 $x$ 足够靠近 $x_0$，就一定能满足条件。比如说，如果定义函数 $f$ 为当 $x<0$ 的时候，$f(x)=0$，其它时候 $f(x)=1$，那么在 $x=0$ 这一点处 $f$ 就是跳跃的。如果我们要求的接近程度小于 $1$，那么无论 $x$ 多接近 $0$，只要 $x<0$，$f(x)$ 和 $f(0)=1$ 的距离就永远满足不了需要。

　　 准确地描述以上 “连续” 的概念，如下所示：

　　 注意这里要求 $x$ 从左边和右边趋近于 $x_0$ 时的极限（即左极限和右极限）都成立。

1. 一致连续

　　 以上所定义的连续性是针对一个个点 $x_0$ 而言的，就算函数在每一个点都连续，我们也只能说这个函数是逐点连续的（pointwise continuous）。事实上，还有一种更强的连续性，它着眼于整体的性质，这就是一致连续（uniformly continuous）。它的准确定义如下：

　　 一致连续着眼于整个区间的性质，而不是一个个点。显然，一致连续的函数肯定逐点连续，但是逐点连续的函数不一定一致连续，我们举一个反例。

　　 这个定理还可以等价地用闭区间来表达：$f$ 在 $S$ 上逐点连续的充分必要条件是，任何闭区间的逆映射是闭区间的并集。

　　 在实数轴上，开集被定义为任何开区间的并集，而闭集是开集的补集。如果 $S$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个子集，那么 $S$ 上的开集被定义为 $\mathbb{R}$ 的开集和 $S$ 的交集。这样一来，定理 1 就可以扩展为：$f$ 在 $S$ 上逐点连续，等价于对于任何开集 $A$，$f^{-1}(A)\cap S$ 是 $S$ 上的开集，等价于对于任何闭集 $B$，$f^{-1}(B)\cap S$ 是 $S$ 上的闭集。

　　 用逆映射来刻画连续性是一个非常好用的方法。