状态量和过程量

                     

贡献者： addis

　　 若一个系统可以用若干参数 $x_1,x_2,\dots ,x_N$ 描述，那么我们可以把某个状态表示成一个 $N$ 维矢量 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_N)$，叫做状态点，把 $\mathbf{x}$ 所有可能的取值范围称为状态空间。系统关于时间的变化可以看作状态空间中一点划过一条轨迹，表示为矢量函数 $\mathbf{x}(t)$。

1. 状态量

　　 若系统的一个物理量 $V$ 只和状态空间的位置有关，即可以表示为多元函数 $V(\mathbf{x})=V(x_1,\dots ,x_N)$，那么就把它称为状态量。最简单地，每个 $x_i$ 本身都是一个状态量。典型的状态量例如系统的能量，动量，温度，体积，压强等。

　　 若给出 $t_1$ 时刻的初始状态 ${\mathbf{x}}_1=\mathbf{x}(t_1)$ 以及 $t_2$ 时刻的末状态 ${\mathbf{x}}_2=\mathbf{x}(t_2)$，那么该物理量的增量为

注意这个增量只与初末状态 ${\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2$ 有关，而与过程无关，也就是无论状态点以什么路径 $\mathbf{x}(t)$ 从初状态移动到末状态，都会得到同样的增量 $\mathrm{\Delta }V$。

　　 要说明的是，“系统的状态” 可能会有不同的层次。例如热力学研究气体时主要是讨论例 1 中的宏观状态，但在统计力学中，即使气体处于一个确定的宏观状态，也可能需要区分无穷种不同微观状态。微观状态在这里是指气体中每一个原子分子的运动参数。例如要完整描述气体中 $N$ 个（阿伏伽德罗常数（引用未完成）数量级）质点的微观状态，就需要每个粒子的位置和动量 $({\mathbf{r}}_i,{\mathbf{p}}_i)$（$i=1,\dots ,N$）共 $6N$ 个参数，也就是需要 $6N$ 维的状态空间。

2. 过程量

　　 若一个量 $Q$ 取决于状态空间中的一段运动过程 $\mathbf{x}(t)$（$t=[t_1,t_2]$），它就是过程量。 典型的过程量如做功，冲量，传热等。一种常见的过程量可以用线积分定义为

$\mathcal{L}$ 表示状态点的 “运动方程” $x_i(t)$（$i=1,\dots ,N$）以及起点终点 $\mathbf{x}(t_1),\mathbf{x}(t_2)$。注意这样定义的过程量只可能和轨迹 $\mathcal{L}$ 的形状有关而与状态点在轨迹上移动的快慢无关。所以这里的 $t$ 可以看作轨迹的参数随时间变化而未必是时间本身。一个具体的例子是力场对单个质点的做功，下面会在例 2 详细讨论。

　　 从定义上来说，$Q$ 是一个过程量，但如果在某个系统中它只取决于起点和终点的状态，那么对这个系统区分 $Q$ 是状态量和过程量将没有太大实用价值，因为它总能表示为某个状态量 $V(\mathbf{x})$ 的增量

例如在二维或三维状态空间，若令矢量函数为 $\mathbf{f}(\mathbf{x})=\sum _i{f}_i(\mathbf{x}){\hat{\mathbf{x}}}_i$，那么当旋度 $\mathbf{\nabla }\mathbf{\times }\mathbf{f}=\mathbf{0}$ 时，$\mathbf{f}(\mathbf{x})$ 就是一个保守场，必存在势函数 $V(\mathbf{x})$，使场对物体做功为 $W=V({\mathbf{x}}_2)-V({\mathbf{x}}_1)$。这中情况下区分功是过程量还是状态量意义并不大。对于高维情况，需要使用外导数 来判断保守场。

　　 但事实上远非所有情况下式 2 的积分都可以表示为两个状态量之差。此时积分的结果必须取决于路径的形状，那么区分状态量和过程量就至关重要。例如，虽然我们往往写出微分关系（未完成：其实这里也应该用 $\delta$ 不是 $\mathrm{d}$）

但是却不可能把 $Q$ 表示为 $x_i$ 的函数，$f_i$ 也不能看作偏导 $\partial Q/\partial x_i$。

　　 为了防止这种误解，一些教材中把过程量的微小变化记为 $\delta Q$ 而不是 $\mathrm{d}Q$。后者用于表示全微分，而只有 $\mathbf{x}$ 的函数可以做全微分。

　　 这里的下标表示求偏导时把 $E,V$ 分别看作常数（子节 2 ）。