贡献者： addis
未完成：标量场的线积分
我们先来通过一个物理的例子引入曲线积分的概念，见 “功、功率”。
下面讨论如何在直角坐标系中具体计算线积分。为书写方便，以下省略积分路径 $C_{ab}$。
将被积曲线的参数方程表示为1 $x(t),y(t),z(t)$，则曲线上任意一点都唯一对应一个 $t$ 值。根据微分关系，当 $t$ 增加 $ \,\mathrm{d}{t} $ 时，曲线上的一小段位移矢量 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = ( \,\mathrm{d}{x} , \,\mathrm{d}{y} , \,\mathrm{d}{z} )$ 中
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{x} = x'(t) \,\mathrm{d}{t} ~, \qquad \,\mathrm{d}{y} = y'(t) \,\mathrm{d}{t} ~,\qquad \,\mathrm{d}{z} = z'(t) \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{equation}
这样，对曲线上任意一点（对应参数 $t$），$ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 可表示成 $t$ 的矢量函数 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} (t) = \boldsymbol{\mathbf{F}} [x(t),y(t),z(t)]$。 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 的三个分量
2 则表示为关于 $t$ 的单变量标量函数
\begin{equation}
F_{x_i}(t) = F_{x_i}[x(t),y(t),z(t)] \quad (i = 1,2,3)~.
\end{equation}
下面将三维空间的线积分转换为三个一元定积分
\begin{equation} \begin{aligned}
\int \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } &= \lim_{n \to \infty } \sum_{i = 1}^n \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) \boldsymbol\cdot \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i\\
&= \lim_{n \to \infty } \sum_{i = 1}^n F_x( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i)\Delta {x_i} + \lim_{n \to \infty } \sum_{i = 1}^n F_y( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i)\Delta{y_i} + \lim_{n \to \infty } \sum_{i = 1}^n F_z( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i)\Delta{z_i} \\
&= \int {F_x}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{x} + \int {F_y}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{y} + \int {F_z}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{z} ~.
\end{aligned} \end{equation}
设积分路径 $C_{ab}$ 的起点对应 $t = a$，终点对应 $t = b$。结合
式 1 ，上面每一项积分可以表示为
\begin{equation}
\int F_{x_i}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{x_i} = \int_a^b F_{x_i} [ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t)] x_i'(t) \,\mathrm{d}{t} \quad (i=1,2,3)~.
\end{equation}
计算这三个关于 $t$ 的定积分再相加，就可以得出线积分结果。
例 1 计算力场对质点的做功
令力场为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = \alpha r \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $，一质点从原点出发，沿轨迹 $(x-a)^2 + y^2 = a^2$ 的上半部分移动到 $(a,0)$，求力对质点做的功。若起点终点不变，轨迹改为延 $x$ 轴，结果又如何？
我们先来建立运动轨迹的参数方程。由于运动是一个圆，我们可以使用圆的参数方程。把角度作为参数 $t$，$t\in [0,\pi]$。
\begin{equation}
\begin{cases}
x(t) = a(1-\cos t)\\
y(t) = a \sin t
\end{cases}~,
\qquad
\begin{cases}
x'(t) = a \sin t\\
y'(t) = a \cos t
\end{cases}~.
\end{equation}
把力场在直角坐标系中表示为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} (x,y) = \alpha (x\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + y\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} )$，两个分量分别为 $F_x = \alpha x, F_y = \alpha y$。由
式 4 $(i=1,2)$，力场对质点做功等于两个定积分之和
\begin{equation}
W = \int \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } =\int_0^\pi \alpha a(1-\cos t) \cdot a \sin t \,\mathrm{d}{t} + \int_0^\pi \alpha a \sin t \cdot a \cos t \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{equation}
注意到第一个积分中的第二项恰好是第二个积分的相反数，所以上式变为
\begin{equation}
\int_0^\pi \alpha a^2 \sin t \,\mathrm{d}{t} =2 \alpha a^2~.
\end{equation}
现在来计算延 $x$ 轴的直线轨迹运动的情况。由于轨迹上处处都有 $y=0$，$F_y = 0$，积分只有 $F_x$ 一项。另外 $x$ 本身就可以作为轨道参数，即 $x(t) = t, y(t) = 0, x\in [0, 2a]$。代入式 4 得做功为
\begin{equation}
W = \int_0^{2a} \alpha x \,\mathrm{d}{x} = 2 \alpha a^2~.
\end{equation}
在上例中，我们发现对于给定的矢量场，即使路径不同，当起点和终点相同时，线积分的结果也相同（虽然我们只计算了两条路径，但这个结论是正确的）。具有这样性质的矢量场叫做保守场，并总存在一个势能函数。
1. 环积分
当线积分的路径是一个回路时，就可以叫做环积分，也叫回路积分，此时把积分号写作 $\oint$ 作为强调。
未完成：举例，另外解释一下类似
式 2 是什么意思。
1. ^ 注意这里的 $t$ 不一定代表时间，可以是任意参数，甚至可以是 $x,y,z$ 中的一个。
2. ^ 为了书写简洁，这里定义 $x_1\equiv x, x_2\equiv y,x_3\equiv z$。