外导数

贡献者： JierPeter; addis

预备知识　微分形式，外代数

1. 外导数的定义

　　外导数是一种流形上的微分形式外代数¹上的映射，其术语分为两部分，“外” 和 “导数”。“外”，指的是它把各 $Ω^{k} (M)$ 中的元素映射到 $Ω^{k} (M)$ 之外；“导数”，指的是它具有和求导类似的性质。实际上，矢量分析中的求导就是外导数的一个特例——你可能会问，求导并不具有 “外” 的特点，怎么就是特例了呢？我们会在本节中解释这一点。

定义 1　外导数

　　给定流形 $M$ ，其外微分代数是 $Ω (M)$ 。定义映射 $d : Ω (M) \to Ω (M)$ ，满足：

$\forall ω \in Ω^{k} (M)$ ，有 $d ω \in Ω^{k + 1} (M)$ 。
对于光滑函数 $f \in C^{\infty} (M)$ ， $d f$ 就是 $f$ 的方向导数（1-形式）。
线性性：任取 $a, b \in R$ 和 $ω, μ \in Ω (M)$ ，有 $d (a ω + b μ) = a d ω + b d μ$ 。
Leibniz 性：对于 $ω \in Ω^{k} (M), μ \in Ω (M)$ ，我们有 $d (ω \land μ) = d ω \land μ + (- 1)^{k} ω \land d μ$ 。
幂零性：任取 $ω \in Ω (M)$ ，都有 $d (d ω) = 0$ 。

　　称这个映射为 $Ω (M)$ 或者说 $M$ 上的一个外导数（exterior derivative），又称外微分。

　　定义中的 Leibniz 性要特别注意，其中 $(- 1)^{k}$ 项是为了配合外代数的反对称性。

2. 三维欧几里得空间

　　在外代数中我们提到过， $R^{3}$ 和 $\overset{2}{⋀} R^{3}$ 同构。在流形 $R^{3}$ 上，2-形式构成的线性空间 $Ω^{1} (R^{3}) ≅ R^{3}$ ，因为是由基 ${d x, d y, d z}$ 张成的。这样，我们也可以定义 $Ω^{2} (R^{3})$ 到 $Ω^{1} (R^{3})$ 之间的同构。这个同构的存在，意味着我们可以把旋度和散度视为外导数的特例。我们观察以下例子来说明这一点：

旋度

　　考虑 $R^{3}$ 中任意的 1-形式 $ω_{x} d x + ω_{y} d y + ω_{z} d z$ ，其中各 $ω_{i}$ 是 0-形式，即光滑函数。考虑到外导数对于光滑函数就是方向导数，我们可以得知，对于任意的 $a \in {x, y, z}$ ，有 $d ω_{a} = \partial_{x} ω_{a} d x + \partial_{y} ω_{a} d y + \partial_{z} ω_{a} d z$ 。这样，我们就可以计算出：

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} d (ω_{x} d x + ω_{y} d y + ω_{z} d z) = & (\partial_{y} ω_{z} - \partial_{z} ω_{y}) d y \land d z + \\ (\partial_{z} ω_{x} - \partial_{x} ω_{z}) d z \land d x + \\ (\partial_{x} ω_{y} - \partial_{y} ω_{x}) d x \land d y . \end{aligned} \end{matrix}

　　如果我们把 $d y \land d z$ 、 $d z \land d x$ 、 $d x \land d y$ 分别看成三维直角坐标系的三个 $x, y, z$ 方向单位向量，那么式 1 右边各项系数刚好对应向量场 ${(\begin{matrix} ω_{x}, ω_{y}, ω_{z} \end{matrix})}^{T}$ 的旋度。因此，我们把三维欧几里得空间中的旋度，看成是 $Ω^{1} (R^{3}) \to Ω^{2} (R^{3})$ 的外导数。

散度

　　考虑 $R^{3}$ 中任意的 2-形式 $ω_{x} d y \land d z + ω_{y} d z \land d x + ω_{z} d x \land d y$ 。同样，考虑到 $d ω_{a} = \partial_{x} ω_{a} d x + \partial_{y} ω_{a} d y + \partial_{z} ω_{a} d z$ ，我们可以计算得：

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} d (ω_{x} d y \land d z + ω_{y} d z \land d x + ω_{z} d x \land d y) \\ = & (\partial_{x} ω_{x} + \partial_{y} ω_{y} + \partial_{z} ω_{z}) d x \land d y \land d z . \end{aligned} \end{matrix}

　　观察结果的系数可见，2-形式的外导数实际上就是其散度。因此，我们把三维欧几里得空间中的散度，看成是 $Ω^{2} (R^{3}) \to Ω^{3} (R^{3})$ 的外导数。

习题 1　旋度和散度

　　利用外导数的定义，证明式 1 和式 2 .

梯度

　　由定义 1 的第二条，三维欧几里得空间中的梯度，是 $Ω^{0} (R^{3}) \to Ω^{1} (R^{3})$ 的外导数。

　　自此，三维空间中的梯度、旋度和散度都可以统一为一个概念了：外导数。值得注意的是，矢量分析中的定理 “梯度的旋度为零” 和 “旋度的散度为零”，可以统一理解为外导数的幂零性： $d^{2} = 0$ 。

三维空间的特殊性

　　尝试求解下列代数方程：

\begin{matrix} (3) & \frac{n (n - 1)}{2} = n . \end{matrix}

　　答案是 $0$ 和 $3$ ，对吧？非零解只有 $3$ ，这就是三维空间的特殊之处，也是三维向量分析如此丰富的原因。只有在三维空间中，我们才能用以上外导数的概念来导出散度、旋度等概念。

　　式 3 究竟是什么呢？ $n$ 代表的是一个线性空间 $V$ 的维度，而 $n (n - 1) / 2$ 代表的是 $\overset{2}{⋀} V$ 的维度。式 3 想求解的是，什么情况下 $V$ 会和 $\overset{2}{⋀} V$ 同构，而 “非零解只有 $3$ ” 意味着唯一的情况就是，“ $V$ 是一个三维空间”。

　　向量叉乘的 “右手定则”，实际上就是一个同构 $f : \overset{2}{⋀} V \to V$ ，其中 $V$ 是 $M$ 上各点的微分形式空间，或者说 “余切向量空间”，而 $f (d y \land d z) = d x, f (d z \land d x) = d y, f (d x \land d y) = d z$ 。我们当然可以定义其它的同构，比如 $f (d y \land d z) = - d x, f (d z \land d x) = - d y, f (d x \land d y) = - d z$ 的同构，此时导出的向量叉乘遵循的就是 “左手定则” 了。

3. 外导数的计算

　　本小节我们希望讨论的是，如果我们已知某个微分形式 $ω$ 是如何作用于各切向量的，那么 $d ω$ 又是如何作用的。

外积

　　首先要讨论的是 $1 -$ 形式的外积。设 $ω, μ$ 为两个 $1 -$ 形式，为了满足 $ω \land μ = - μ \land ω$ ，我们令

\begin{matrix} (4) & ω \land μ (X, Y) = ω (X) μ (Y) - μ (X) ω (Y) \end{matrix}

对所有

X, Y \in X (M)

成立。

　　把这条推广开来，就是对于 $m -$ 形式 $ω$ 和 $n -$ 形式 $μ$ ，有如下关系：

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} ω \land μ (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{m}, X_{m + 1}, \dots, X_{m + n}) \\ = & \sum_{σ \in S_{m + n}} sgn σ [ω (X_{σ (1)}, \dots, X_{σ (m)}) μ (X_{σ (m + 1)}, \dots, X_{σ (m + n)})] . \end{aligned} \end{matrix}

　　其中 $σ$ 是置换群 $S_{m + n}$ 中的置换， $sgn σ$ 对于偶置换取值为 $1$ ，否则为 $- 1$ 。

　　如果用指标表示的话，式 4 相当于

\begin{matrix} (6) & (ω \land μ)_{a b} = ω_{a} μ_{b} - ω_{b} μ_{a} . \end{matrix}

　　而式 5 则相当于

\begin{matrix} (7) & \begin{array}{r} (ω \land μ)_{i_{1} i_{2} i_{3} \dots i_{m + n}} = \sum_{σ \in S_{m + n}} ω_{i_{σ (1)} i_{σ (2)} \dots i_{σ (m)}} μ_{i_{σ (m + 1)} i_{σ (m + 2)} \dots i_{σ (m + n)}} . \end{array} \end{matrix}

外导数

　　现在我们要考虑的是，如果对于一切 $X, Y \in X (M)$ 都已知 $ω (X)$ ，那么 $d ω (X, Y)$ 是哪个函数。

　　设所讨论的流形维度为 $n$ 。

　　在某坐标系下，令

\begin{matrix} (8) & {\begin{aligned} X & = f_{1} \partial_{1} + f_{2} \partial_{2} + \dots + f_{n} \partial_{n} \\ Y & = g_{1} \partial_{1} + g_{2} \partial_{2} + \dots + g_{n} \partial_{n} \\ ω & = ω_{1} d x_{1} + ω_{2} d x_{2} + \dots + ω_{n} d x_{n} \end{aligned} \end{matrix}

其中各

f_{i}, g_{i}, ω_{i}

为

M

上的光滑函数。

　　那么 $ω (X) = f_{1} ω_{1} + f_{2} ω_{2} + \dots + f_{n} ω_{n}$ ， $ω (Y) = g_{1} ω_{1} + g_{2} ω_{2} + \dots + g_{n} ω_{n}$

　　坐标系给定了， $d ω$ 可以直接算出来。这是因为

\begin{matrix} (9) & d (ω_{i} d x_{i}) = (d ω_{i}) \land d x_{i} = \sum_{j} \partial_{j} ω_{i} d x_{j} \land d x_{i} . \end{matrix}

　　因此，

\begin{matrix} (10) & d ω = \sum_{i} d (ω_{i} d x_{i}) = \sum_{i} (d ω_{i}) \land d x_{i} = \sum_{i, j} \partial_{j} ω_{i} d x_{j} \land d x_{i} . \end{matrix}

　　 $d x_{j} \land d x_{i}$ 是哪个映射，我们上面已经讨论过了。应用式 4 ，并考虑到 $d x_{i} (\partial_{j}) = δ_{i j}$ ²，可以计算出 $d ω (X, Y)$ ，整理后得到

\begin{matrix} (11) & d ω (X, Y) = X ω (Y) - Y ω (X) - ω ([X, Y]) . \end{matrix}

这里

X ω (Y)

是指切向量作用在函数

ω (Y)

上，得到一个函数；

Y ω (X)

同理。

1. ^ 即流形上的余切向量场集合作为线性空间所生成的外代数。
2. ^ 即 $d x_{i} \land d x_{j} (\partial_{a}, \partial_{b}) = δ_{i a} δ_{j b} - δ_{i b} δ_{j a}$ 。

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