全微分（简明微积分）

贡献者： addis

预备知识　偏导数

　　以二元函数为例，在偏微分的几何意义中，若 $z = f (x, y)$ 在某点 $(x_{0}, y_{0})$ 附近的曲面光滑¹，那么如果考虑一个足够小的区域，可以把曲面近似为平面。设平面方程为

\begin{matrix} (1) & z = c_{0} + c_{x} (x - x_{0}) + c_{y} (y - y_{0}) . \end{matrix}

当

x = x_{0}

，

y = y_{0}

时显然有

c_{0} = f (x_{0}, y_{0})

，求两个偏导，又有

\begin{matrix} (2) & c_{x} = \frac{\partial f}{\partial x}, c_{y} = \frac{\partial f}{\partial y} . \end{matrix}

令坐标增量为

Δ x \equiv x - x_{0}

，

Δ y \equiv y - y_{0}

，

Δ z \equiv z - c_{0}

，则平面方程变为

\begin{matrix} (3) & Δ z = \frac{\partial f}{\partial x} Δ x + \frac{\partial f}{\partial y} Δ y . \end{matrix}

令增量为无穷小，即

\begin{matrix} (4) & d z = \frac{\partial f}{\partial x} d x + \frac{\partial f}{\partial y} d y, \end{matrix}

这就是全微分关系。全微分的意义是，从某一点开始向任意方向移动

(d x, d y)

，函数的增量等于只向

x

方向移动

d x

的增量加上只向

y

方向移动

d y

的增量。类似地，

N

元函数的全微分关系为

\begin{matrix} (5) & d z = \sum_{i = 1}^{N} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} d x_{i} . \end{matrix}

事实上，偏微分也可以理解为是由该式定义的。

1. 全微分近似

　　类比一元函数的微分近似 $Δ y \approx d f / d x \cdot Δ x$ ，若 $N$ 元函数各个变量的一阶偏导在一小块区域内变化不大，那么函数值的变化可近似为

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} Δ z & = f (x_{1} + Δ x_{1}, \dots, x_{N} + Δ x_{N}) - f (x_{1}, \dots, x_{N}) \\ \approx \frac{\partial f}{\partial x_{1}} Δ x_{1} + \dots + \frac{\partial f}{\partial x_{N}} Δ x_{N} . \end{aligned} \end{matrix}

　　测量一个边长各不相同的长方体的体积，若三边的测量值和最大测量误差分别为 $a, σ_{a}, b, σ_{b}, c, σ_{c}$ （假设不确定度远小于边长），求体积的最大测量误差 $σ_{V}$ 及最大相对误差 $σ_{V} / V$ 。

　　类比 “一元函数微分” 中的例 1 ，长方体的体积为 $V (a, b, c) = a b c$ ，由全微分近似得

\begin{matrix} (7) & σ_{V} \approx \frac{\partial V}{\partial a} σ_{a} + \frac{\partial V}{\partial b} σ_{b} + \frac{\partial V}{\partial c} σ_{c} = b c σ_{a} + a c σ_{b} + a b σ_{c} . \end{matrix}

相对不确定度为

\begin{matrix} (8) & \frac{σ_{V}}{V} \approx \frac{σ_{a}}{a} + \frac{σ_{b}}{b} + \frac{σ_{c}}{c} . \end{matrix}

1. ^ “光滑” 即可以进行任意多次求导，对于多元函数则是任意多次偏微分。