贡献者： addis
以二元函数为例，在偏微分的几何意义中，若 $z = f(x,y)$ 在某点 $(x_0, y_0)$ 附近的曲面光滑1，那么如果考虑一个足够小的区域，可以把曲面近似为平面。设平面方程为
\begin{equation}
z = c_0 + c_x(x - x_0) + c_y(y - y_0)~.
\end{equation}
当 $x=x_0$，$y=y_0$ 时显然有 $c_0 = f(x_0, y_0)$，求两个偏导，又有
\begin{equation}
c_x = \frac{\partial f}{\partial x} ~, \qquad c_y = \frac{\partial f}{\partial y} ~.
\end{equation}
令坐标增量为 $\Delta x \equiv x - x_0$，$\Delta y \equiv y - y_0$， $\Delta z \equiv z - c_0$，则平面方程变为
\begin{equation}
\Delta z = \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y} \Delta y~.
\end{equation}
令增量为无穷小，即
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{z} = \frac{\partial f}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} + \frac{\partial f}{\partial y} \,\mathrm{d}{y} ~,
\end{equation}
这就是
全微分关系。全微分的意义是，从某一点开始向任意方向移动 $( \,\mathrm{d}{x} , \,\mathrm{d}{y} )$，函数的增量等于只向 $x$ 方向移动 $ \,\mathrm{d}{x} $ 的增量加上只向 $y$ 方向移动 $ \,\mathrm{d}{y} $ 的增量。类似地，$N$ 元函数的全微分关系为
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{z} = \sum_{i = 1}^{N} \frac{\partial f}{\partial x_i} \,\mathrm{d}{x_i} ~.
\end{equation}
事实上，偏微分也可以理解为是由该式定义的。
1. 全微分近似
类比一元函数的微分近似 $\Delta y \approx \mathrm{d}{f}/\mathrm{d}{x} \cdot \Delta x$，若 $N$ 元函数各个变量的一阶偏导在一小块区域内变化不大，那么函数值的变化可近似为
\begin{equation} \begin{aligned}
\Delta z &= f(x_1+\Delta x_1, \dots, x_N + \Delta x_N) - f(x_1, \dots, x_N) \\
&\approx \frac{\partial f}{\partial x_1} \Delta {x_1} +\ldots + \frac{\partial f}{\partial x_N} \Delta {x_N}~.
\end{aligned} \end{equation}
例 1 测量误差
测量一个边长各不相同的长方体的体积，若三边的测量值和最大测量误差分别为 $a, \sigma_a, b, \sigma_b, c, \sigma_c$（假设不确定度远小于边长），求体积的最大测量误差 $\sigma_V$ 及最大相对误差 $\sigma_V/V$。
类比 “一元函数微分” 中的例 1 ，长方体的体积为 $V(a,b,c) = abc$，由全微分近似得
\begin{equation}
\sigma_V \approx \frac{\partial V}{\partial a} \sigma_a + \frac{\partial V}{\partial b} \sigma_b + \frac{\partial V}{\partial c} \sigma_c = bc \sigma_a + ac \sigma_b + ab \sigma_c~.
\end{equation}
相对不确定度为
\begin{equation}
\frac{\sigma_V}{V} \approx \frac{\sigma_a}{a} + \frac{\sigma_b}{b} + \frac{\sigma_c}{c}~.
\end{equation}
1. ^ “光滑” 即可以进行任意多次求导，对于多元函数则是任意多次偏微分。