理想气体的内能
贡献者： coppersoulfate; addis; int256
理想气体的动能为（式 7 ）
\begin{equation}
E_k = \frac32 Nk_B T = \frac{3}{2}nRT~.
\end{equation}
分子运动中，三个方向的动能占三个自由度，而对于多原子分子，还可能出现转动和振动等自由度。令自由度为 $i$，则内能（即总能量）为
\begin{equation}
E = \frac{i}{2}Nk_B T = \frac{i}{2}nRT~.
\end{equation}
令平动自由度为 $t$，转动自由度为 $r$，振动自由度为 $v$。则
\begin{equation}
i=t+r+v~.
\end{equation}
在三维空间中，平动自由度 $t=3$（即：分子具有 3 个独立的速度分量），而转动自由度为 $r$ 取决于分子的形状。对于一般的非线型分子，取 $r=3$（即：分子绕 $x,y,z$ 三个方向旋转），而对线型分子，有 $r=2$（分子对于沿分子所在直线的轴旋转对称，故少 1）。而振动自由度 $v$ 在较低温度（如：常温）下不激发（即：$v=0$），在高温下可由下式决定：
\begin{equation}
v=3N-t-r~,
\end{equation}
其中 $N$ 为分子中的总原子数。则总自由度为
\begin{equation}
i=\left\{\begin{matrix}{t+r}&{\text{振动未激发}}\\{3N}&{\text{振动已激发}}\end{matrix}\right.~,
\end{equation}
或者列为如下表格：
表1：各种情况下 $i$ 的值
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| 二原子分子（如：$\text{N}_2$） | 三原子线型分子（如：$\text{CO}_2$） | 三原子非线型分子（如 $\text H_2\text O$）
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$t$ | 3 | 3 | 3
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$r$ | 2 | 2 | 3
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$v$ | 1 | 4 | 3
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$i(\text{振动未激发})$ | 5 | 5 | 6
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$i(\text{振动已激发})$ | 6 | 9 | 9
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在子节 2 一节中，我们已经得到了各种多原子分子理想气体的自由度。因为我们考虑的是理想气体，平动、转动自由度所对应的能量表达式均为典型的二次方项（平动对应质心线性动量各分量的平方、转动则对应角动量各分量的平方），而振动自由度对应的能量表达式则含有两个平方项（动能、势能各贡献一个），所以可以写出多原子分子理想气体的内能（振动均已激发）
\begin{equation}
\begin{aligned}
E(T, V) &= \frac 12 (t+r+v)Nk_B T \\
&= \left\{\begin{aligned}
&(3K-3)Nk_BT &\text{（非线性分子）}\\
&\frac12(6K-5)Nk_BT&\text{（线型分子）} ~.
\end{aligned}\right.
\end{aligned}
\end{equation}