散度、高斯散度定理
贡献者： addis
我们在矢量场中取一个闭合曲面 $\mathcal{S}$，其内部空间记为 $\mathcal{V}$。以向外为正方向，矢量场 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 在闭合曲面的通量 $\Phi$ 可以用以下面积分表示，积分范围默认为 $\mathcal{S}$
\begin{equation}
\Phi = \oint \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } ~.
\end{equation}
现在我们把该曲面以其内部一点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 为中心按比例不断缩小，若通量与体积 $V$ 的比值存在极限，就把该极限叫做该点的散度（divergence），用 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} $ 算符1记为（下文将介绍）
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \equiv \lim_{V \to 0} \frac{\Phi }{V}~.
\end{equation}
1. 直角坐标系中的散度
若在直角坐标系中给出矢量场
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} (x,y,z) = F_x(x,y,z) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + F_y(x,y,z) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + F_z(x,y,z) \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
F_x(x + x',y + y',z + z') \approx F_x + \frac{\partial F_x}{\partial x} x' + \frac{\partial F_x}{\partial y} y' + \frac{\partial F_x}{\partial z} z'~.
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
\Phi_x &\approx \int_0^h \int_0^h \,\mathrm{d}{y'} \,\mathrm{d}{z'} \boldsymbol\times \\
&\phantom{\approx} \left[ \left(F_x + \frac{\partial F_x}{\partial x} h + \frac{\partial F_x}{\partial y} y' + \frac{\partial F_x}{\partial z} z' \right) - \left(F_x + \frac{\partial F_x}{\partial x} 0 + \frac{\partial F_x}{\partial y} y' + \frac{\partial F_x}{\partial z} z' \right) \right] \\
&= \frac{\partial F_x}{\partial x} h \int_0^h \int_0^h \,\mathrm{d}{y'} \,\mathrm{d}{z'} = \frac{\partial F_x}{\partial x} h^3 = \frac{\partial F_x}{\partial x} V~.
\end{aligned} \end{equation}
\begin{equation}
\Phi \approx \left( \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} \right) V~.
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{F}} = \lim_{V \to 0} \frac{\Phi }{V} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} ~.
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\nabla}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \frac{\partial}{\partial{x}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \frac{\partial}{\partial{y}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \frac{\partial}{\partial{z}} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} [C_1 \boldsymbol{\mathbf{F}} _1( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) + C_2 \boldsymbol{\mathbf{F}} _2( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) + ...] = C_1 \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{F}} _1( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) + C_2 \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{F}} _2( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) + \dots~
\end{equation}
2. 散度定理
我们来考虑一个有限大的闭合曲面并计算通量 $\Phi$。我们先把曲面内的空间划分成许多体积足够小的微元，第 $i$ 个的体积微元为 $V_i$，通量为 $\Phi_i \approx \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) V_i$。现在来证明所有小曲面的通量之和等于大曲面的通量。
图 1：证明所有小曲面的通量之和等于大曲面的通量
图 1 中所有微元的曲面可划分为两部分，一是相邻两个小曲面的边界（红色），二是小曲面与大曲面重合的部分（黑色）。前者产生的通量之和为零，因为这些边界都是由正方向相反的两块小曲面重合而成，它们产生的通量等大反向，互相抵消。后者产生的通量等于大曲面的通量，这是因为每块黑色边界都是由正方向相同的小曲面和大曲面重合而成，产生的通量等大同向。所以总通量等于
\begin{equation}
\Phi = \sum_i \Phi_i \approx \sum_i \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) V_i~.
\end{equation}
\begin{equation}
\oint \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \int \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{V} ~.
\end{equation}
未完成：给出一些场和曲面，证明散度定理成立
1. ^ 符号 $ \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} $ 的名字为 nabla，作为算符时读作 del，一些教材也会在上方加矢量箭头，原因见下文。