贡献者： addis
定理 1 亥姆霍兹分解
1任何处处可导的矢量场都可以分解为一个无旋场 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _{d}( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$，一个无散场 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _{c}( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$，和一个调和场 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$。
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \boldsymbol{\mathbf{F}} _{d}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) + \boldsymbol{\mathbf{F}} _{c}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) + \boldsymbol{\mathbf{H}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~.
\end{equation}
一种分解的具体方法是，令
\begin{equation}
\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \equiv \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) ~,\qquad
\boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \equiv \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} _{d}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \equiv \frac{1}{4\pi}\int \frac{\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} \,\mathrm{d}{V'} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} _{c}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \equiv \frac{1}{4\pi}\int \frac{ \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} \,\mathrm{d}{V'} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{H}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \equiv \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) - \boldsymbol{\mathbf{F}} _{d}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) - \boldsymbol{\mathbf{F}} _{c}( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 分别是坐标原点指向三维直角坐标 $(x, y, z)$ 和 $(x', y', z')$ 的位置矢量，$ \boldsymbol{\mathbf{R}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} ' - \boldsymbol{\mathbf{r}} $，$R = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{R}} \right\rvert $，体积分 $\int \,\mathrm{d}{V'} = \int \,\mathrm{d}{x'} \,\mathrm{d}{y'} \,\mathrm{d}{z'} $ 的区域是整个三维空间或者其中 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 不为零的区域，$ \boldsymbol\times $ 表示
矢量叉乘。
亥姆霍兹分解分解不是唯一的，我们也可以给式 3 和式 4 右边分别加上一个任意调和场，分解依然成立。除此之外不存在其他分解方法。
特殊地（例如在电磁学中），如果要求 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _d, \boldsymbol{\mathbf{F}} _c$ 在无穷远处都趋于零，这就要求式 3 和式 4 右边不能加上非零调和场（见定理 2 ），所以该条件下亥姆霍兹分解是唯一的。
式 3 和式 4 可以分别类比静电学中的库仑定律（式 6 ）和静磁学中的毕奥—萨伐尔定律（式 2 ）：把 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _c$ 看作静电场，$\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 看作电荷密度，满足高斯定律（式 2 ）；把 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _c$ 看作静磁场，$ \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 看作电流密度，满足安培环路定律（式 2 ）。也可以把 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} $ 看成磁场的负时间偏导 $- \partial \boldsymbol{\mathbf{B}} /\partial t $，$ \boldsymbol{\mathbf{F}} _c$ 看成感生电场，满足电磁感应定律（式 6 ）。
现在我们可以回答一个问题：已知一个矢量场的散度和旋度，是否能唯一确定该矢量场？答案是不能，因为还可以叠加一个任意调和场。但如果该矢量场在无穷远处趋于零，那么就可以唯一确定。
证明
根据定理 2 以及定理 2 ，式 3 和式 4 中定义的 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _{d}( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _{c}( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 分别是无旋场和无散场，且满足
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{F}} _d( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} _c( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~.
\end{equation}
容易证明 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 必定是调和场（无散且无旋）：
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{H}} = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\mathbf{F}} - \boldsymbol{\mathbf{F}} _d) = 0~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{H}} = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\mathbf{F}} - \boldsymbol{\mathbf{F}} _d) = \boldsymbol{\mathbf{0}} ~,
\end{equation}
证毕。
1. 另一种表示
上述分解采用的是积分的方法，我们也可以用微分来描述。无旋场总能表示为某个标量函数 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 的梯度（证明见势能），而无散场总能表示为另一个矢量场 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的旋度，所以
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} _{d} = \boldsymbol\nabla V~,\qquad \boldsymbol{\mathbf{F}} _{c} = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} ~.
\end{equation}
所以亥姆霍兹分解也可以记为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} = \boldsymbol\nabla V + \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol{\mathbf{H}} ~.
\end{equation}
但是求解 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 并不那么直接，一般还是需要先用上一节中的办法进行分解才能求得。
1. ^ 参考 [1] 相关章节。
[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed