磁场的高斯定律

贡献者： addis; _Eden_; lrqlrqlrq

本文处于草稿阶段。

预备知识　电场的高斯定律

　　¹磁场的高斯定律（Gauss's law for magnetism）是麦克斯韦方程组中的一条方程，它描述了空间中磁场的散度为零这一性质，也就是说如果用磁感线的疏密表达磁场的强度，那么空间中任意一条磁感线都不会有起点和终点（这与电场不同，从一个正电荷出发可以有多条电场线延伸至远处）。

1. 磁场高斯定律

　　磁场的高斯定律：对于任意磁场 $B (r)$ 和任意闭合曲面，曲面上的磁通量为零。

\begin{matrix} (1) & \oint B (r) \cdot d s = 0, \end{matrix}

从电场线的角度看，这意味着如果统计穿过任意的闭合曲面的磁感线数量，那么从内部穿到外面和从外面穿到内部的磁感线是相等的。

　　也就是说空间任意一点的磁场散度为零。适用高斯定理可以写成微分形式：

\begin{matrix} (2) & \nabla \cdot B = 0 . \end{matrix}

上式表达的意思就是磁场的散度为零。如果将空间中某一点的磁场矢量看作是流体在该点的流速，那么磁场是无源无汇的。

　　接下来我们试着验证一下这一结论是否和毕奥—萨伐尔定律是一致的，也就是说我们能否直接从毕奥—萨伐尔定律所给出的磁场 $B (r)$ 的表达式推出磁场散度为零的共识。首先我们考虑静磁场下，电流是恒定的，因此电流密度 $j$ 不会在某一个点聚集或者散开，根据电流守恒方程 $\partial ρ / \partial t + \nabla \cdot j = 0$ 因此有：

\begin{matrix} (3) & \nabla \cdot j = 0 . \end{matrix}

结合毕奥—萨伐尔：

\begin{matrix} (4) & B (r) = \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{j (r^{'}) \times (r - r^{'})}{{| r - r^{'} |}^{3}} d V^{'} . \end{matrix}

利用矢量乘法的规则可得：

\begin{matrix} (5) & \nabla \cdot (j \times \frac{(r - r^{'})}{{| r - r^{'} |}^{3}}) = \frac{(r - r^{'})}{{| r - r^{'} |}^{3}} \cdot (\nabla \times j) - j \cdot (\nabla \times \frac{(r - r^{'})}{{| r - r^{'} |}^{3}}) . \end{matrix}

由于

\nabla \times \frac{(r - r^{'})}{{| r - r^{'} |}^{3}} = 0

：

\begin{matrix} (6) & \nabla \cdot B = 0 . \end{matrix}

　　注意磁场高斯定律适用于经典电动力学的任何情况，而毕奥—萨伐尔定律只适用于静态（电流密度不随时间发生变化）的情况。

　　磁场的高斯定律实际上是电场的高斯定律在磁学中的对应，它反映了自然界没有孤立的磁单极（或者我们还没找到）。形象地看，任意一条磁感线都不会起始或终止于空间中的某一点，它要么是闭合的回路，要么从无穷远来延伸到无穷远去。正因为磁场的这条性质，我们可以将磁感应强度 $B$ 写成某个矢量场 $A$ 的旋度，其中 $A$ 称为矢量势（矢势）。

1. ^ 本文参考 Wikipedia 相关页面。