高斯单位制

贡献者： addis

预备知识　厘米—克—秒单位制

　　高斯单位制是在 CGS 单位制的基础上添加了一些电磁学相关的单位。以下先来定义各个物理量的转换常数，已知 CGS 的转换常数为

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} β_{x} = 0.01 m / cm, & β_{m} = 0.001 kg / g, \\ β_{t} = 1, & β_{F} = β_{x} β_{m} = 10^{- 5} N / dyn . \end{aligned} \end{matrix}

电荷

　　为了满足式 6 ，与国际单位相比，高斯单位制中电荷的量纲发生变化，单位为 $\sqrt{{cm}^{3} g} / s$ ，为了方便我们不妨记为¹ $C_{g}$ 。则电荷的转换常数为

\begin{matrix} (2) & β_{q} = \sqrt{4 π ϵ_{0} β_{F}} β_{x} \approx 3.3356409510736 \times 10^{- 10} C / C_{g} . \end{matrix}

假如把

C

和

C_{g}

看成是相同的量纲，则以下除了磁场

β_{B}

外其他转换常数都是无量纲的 1，

β_{B}

量纲为速度分之一。

电场

　　为满足式 7 ，电场单位为 $\sqrt{g / cm} / s = C_{g} / {cm}^{2}$ 。转换常数为

\begin{matrix} (3) & β_{E} = \frac{β_{F}}{β_{q}} = \sqrt{\frac{β_{m}}{4 π ϵ_{0} β_{x}}} \approx 2.997924580815998 \times 10^{4} \frac{C_{g} \cdot m \cdot kg}{C \cdot cm \cdot g} . \end{matrix}

若采用 2020 年 5 月以前的国际单位标准，数值上等于

10^{- 4} c_{s}

，

c_{s}

是国际单位的光速。

磁场

　　为满足式 7 ，电场和磁场应具有相同的单位 $C_{g} / {cm}^{2}$ 。转换常数为²

\begin{matrix} (4) & β_{B} = \frac{β_{m} β_{x}}{c_{s} β_{q}} = \frac{β_{E}}{c_{s}} \approx 1.000000000272 \times 10^{- 4} \frac{C_{g} \cdot kg \cdot s}{C \cdot g \cdot m}, \end{matrix}

其中

c_{s}

是国际单位的光速。

未完成：普朗克常数（不为 1）

1. 高斯单位制公式

　　高斯单位制下的电磁学公式比其国际单位要更简洁对称。以下 $c$ 为 CGS 单位下的光速³。

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} \nabla \cdot E = 4 π ρ \\ \nabla \times E = - \frac{1}{c} \frac{\partial B}{\partial t} \\ \nabla \cdot B = 0 \\ \nabla \times B = \frac{4 π}{c} j + \frac{1}{c} \frac{\partial E}{\partial t} \end{aligned} （麦克斯韦方程组） . \end{matrix}

\begin{matrix} (6) & F = \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}} （库仑定律） . \end{matrix}

\begin{matrix} (7) & F = q E + \frac{q}{c} v \times B （广义洛伦兹力） . \end{matrix}

\begin{matrix} (8) & \nabla \times A = B （磁矢势） . \end{matrix}

\begin{matrix} (9) & E = - \nabla φ - \frac{1}{c} \frac{\partial A}{\partial t} （标量势） . \end{matrix}

\begin{matrix} (10) & A = A^{'} + \nabla χ φ = φ^{'} - \frac{1}{c} \frac{\partial χ}{\partial t} （规范变换） . \end{matrix}

\begin{matrix} (11) & \nabla^{2} E - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} E}{\partial t^{2}} = 0 （波动方程） . \end{matrix}

真空中的平面电磁波若用高斯单位表示，有

E_{0} = B_{0}

。

\begin{matrix} (12) & ρ_{E} = \frac{1}{8 π} (E^{2} + B^{2}) （场能量密度） . \end{matrix}

\begin{matrix} (13) & s = \frac{c}{4 π} E \times B （坡印廷矢量） . \end{matrix}

\begin{matrix} (14) & ϵ_{0} = \frac{1}{4 π}, μ_{0} = 4 π, \end{matrix}

转换常数为

β_{ϵ} = 4 π ϵ_{0}

，

β_{μ} = μ_{0} / (4 π)

。

1. ^ $C_{g}$ 是笔者发明的记号，方便理解记忆。
2. ^ 2020 新国际单位标准以前，这个数值精确等于 $1 \times 10^{- 4}$ , 新标准需要乘以 $\sqrt{μ_{0} / (4 \times 10^{- 7} π)}$ 的国际单位数值。
3. ^ 如果高斯单位直接建立在国际单位制上（式 1 中的转换常数全部改为 $1$ ），以下公式同样成立（ $c$ 也要换成国际单位制）。