贡献者： JierPeter; addis
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1. 前两个方程
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[1]。
在 $\mathbb{R}^3$ 中考虑电磁场，三个空间轴分别为 $x, y, z$ 轴。
考虑麦克斯韦方程组中的两个方程，$\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} =0$ 和 $\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{E}} =-\partial_t \boldsymbol{\mathbf{B}} $。为了尝试用外代数来表达这两个式子，我们就要把 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $
表示成一个 2-形式 $B=B_z \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} +B_x \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{z} +B_y \,\mathrm{d}{z} \wedge \,\mathrm{d}{x} $，把 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 表示成一个 1-形式 $E=E_x \,\mathrm{d}{x} +E_y \,\mathrm{d}{y} +E_z \,\mathrm{d}{z} $，这样以上两个方程的左边就都可以写成外导数的形式，从而有：
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{B} =0~
\end{equation}
和
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{E} =\partial_tB~,
\end{equation}
其中 $\mathbb{R}^4$ 可以写成三维空间和一维时间的乘积：$\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}$。这个四维欧几里得空间中的时间轴记为 $x^0$ 轴，空间轴则记为 $x^1, x^2, x^3$ 轴。要注意在这种表示下，$\partial_tB$ 就成了 $\partial_0B$。
现在考虑用一个统一的 2-形式 $F=B+E\wedge \,\mathrm{d}{x} ^0$ 来表示电磁场1，也就是
\begin{equation}
\begin{aligned}
F = {}&B_z \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^2+B_x \,\mathrm{d}{x} ^2\wedge \,\mathrm{d}{x} ^3+B_y \,\mathrm{d}{x} ^3\wedge \,\mathrm{d}{x} ^1\\
&+E_x \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^0+E_y \,\mathrm{d}{x} ^2\wedge \,\mathrm{d}{x} ^0+E_z \,\mathrm{d}{x} ^3\wedge \,\mathrm{d}{x} ^0~.
\end{aligned}
\end{equation}
这个
电磁场形式的外导数计算如下，我们把结果分成三个部分来方便阅读：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\,\mathrm{d}{F} ={}& \partial_0 B_z \,\mathrm{d}{x} ^0\wedge \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^2 +\\& \partial_0 B_x \,\mathrm{d}{x} ^0\wedge \,\mathrm{d}{x} ^2\wedge \,\mathrm{d}{x} ^3 +\\& \partial_0 B_y \,\mathrm{d}{x} ^0\wedge \,\mathrm{d}{x} ^3\wedge \,\mathrm{d}{x} ^1\\
&+\\&(\partial_1 B_x+\partial_2 B_y+\partial_3 B_z) \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^2\wedge \,\mathrm{d}{x} ^3\\
&+\\&(\partial_2 E_z-\partial_3 E_y) \,\mathrm{d}{x} ^2\wedge \,\mathrm{d}{x} ^3\wedge \,\mathrm{d}{x} ^0+\\&(\partial_3 E_x-\partial_1 E_z) \,\mathrm{d}{x} ^3\wedge \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^0 +\\&(\partial_1 E_y-\partial_2 E_x) \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^2\wedge \,\mathrm{d}{x} ^0 ~.\\
\end{aligned}
\end{equation}
式 4 右边第一个部分和第三个部分是同类项，应该相加，而第二个部分和它们都无关。第一个部分对应 $\partial_0 \boldsymbol{\mathbf{B}} $，第三个部分对应 $\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{E}} $，第二个部分对应 $\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} $，由此易得，式 1 和式 2 可以统一用一个式子来表达：
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{F} = 0~.
\end{equation}
2. 后两个方程
2接下来看剩下的两个方程：
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} ={}& \rho\\
\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ={}& \boldsymbol{\mathbf{j}} +\partial_0 \boldsymbol{\mathbf{E}} ~.
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
形式上，这两个方程和前面两个方程有两个区别。第一，电场和磁场的位置调换了，现在电场求的是散度，磁场求的是旋度；第二，方程右边多了一项常数 $(\rho, \boldsymbol{\mathbf{J}} )$。
第一个区别提示我们要使用 Hodge 对偶，这样从$\mathbb{R}^{0,3}$的视角看来3
，电场从 $1$-形式转化为 $2$-形式，求外微分就是求其散度；而磁场从 $2$-形式转化为 $1$-形式，求外微分就是求其旋度。
定义 Hodge 星算子需要一个非退化双线性形式，我们直接用 Minkowski 度规——下面会讨论为什么不用欧几里得度量。
于是，$ \,\mathrm{d}{\star} F=0$ 就等同于
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ={}& \partial_0 \boldsymbol{\mathbf{E}} \\
\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} ={}& 0~.
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
注意和 $\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{E}} =-\partial_0 \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 区分，为什么会有这个差异？
计算一下就知道了：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\star E ={}& \star (E_1 \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^0 + E_2 \,\mathrm{d}{x} ^2\wedge \,\mathrm{d}{x} ^0 + E_3 \,\mathrm{d}{x} ^3\wedge \,\mathrm{d}{x} ^0)\\
={}& E_1 \,\mathrm{d}{x} ^2\wedge \,\mathrm{d}{x} ^3 + E_2 \,\mathrm{d}{x} ^3\wedge \,\mathrm{d}{x} ^1 + E_3 \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^2~.
\end{aligned}
\end{equation}
而
\begin{equation}
\begin{aligned}
\star B ={}& B_1 \,\mathrm{d}{x} ^2\wedge \,\mathrm{d}{x} ^3+B_2 \,\mathrm{d}{x} ^3\wedge \,\mathrm{d}{x} ^1 + B_3 \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^2\\
={}& -(B_1 \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^0 + B_2 \,\mathrm{d}{x} ^2\wedge \,\mathrm{d}{x} ^0 + B_3 \,\mathrm{d}{x} ^3\wedge \,\mathrm{d}{x} ^0)~.
\end{aligned}
\end{equation}
所以差异是因为，$\star F$ 相比 $F$，在形式上是把 $B$ 替换为 $E$，而把 $E$ 替换为 $-B$，多且仅仅多了一个负号。而仔细看计算过程会发现，这个负号是来自 Minkowski 度规的，如果换用欧几里得度量就会出现两个负号，负负得正，导致 $ \,\mathrm{d}{\star} F=0$ 对应的方程形式上就是 $ \,\mathrm{d}{F} =0$ 对应的方程中直接调换 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 的位置而已
4。
第二个区别提示我们，式子的右端不再是 $0$ 了。方程右边多出的这一项，在传统的向量分析里被认为是切向量场，即 $ \boldsymbol{\mathbf{J}} =\rho\partial_0+j^1\partial_1+j^2\partial_2+j^3\partial_3$。但是我们把电磁场 $F$ 表示为 $2$-形式，所以起码要考虑改用余切向量场，即 $ \boldsymbol{\mathbf{J}} $ 的对偶5
，记为 $J$。同样，我们用 Minkowski 度规来定义切丛与余切丛之间的同构。
综上，再考虑到 $J$ 是 $1$-形式，我们还需要额外添加一个星算子，把 $3$-形式 $ \,\mathrm{d}{\star} F$ 化为 $1$-形式 $\star \,\mathrm{d}{\star} F$。
现在，我们已经从散度、旋度、$k$-形式的概念直观猜出来式子的两端应该分别有 $\star \,\mathrm{d}{\star} F$ 和 $J$，接下来就要通过计算来进一步确定式子的形态：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\star \,\mathrm{d}{\star} F ={}& \star \,\mathrm{d}{\star} (E_1 \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^0 + E_2 \,\mathrm{d}{x} ^2\wedge \,\mathrm{d}{x} ^0 + E_3 \,\mathrm{d}{x} ^3\wedge \,\mathrm{d}{x} ^0)+\\
& \star \,\mathrm{d}{\star} (B_1 \,\mathrm{d}{x} ^2\wedge \,\mathrm{d}{x} ^3+B_2 \,\mathrm{d}{x} ^3\wedge \,\mathrm{d}{x} ^1 + B_3 \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^2)\\
={}
& \star \,\mathrm{d}\left(E_1 \,\mathrm{d}{x} ^2\wedge \,\mathrm{d}{x} ^3 + E_2 \,\mathrm{d}{x} ^3\wedge \,\mathrm{d}{x} ^1 + E_3 \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^2 \right) -\\
& \star \,\mathrm{d}\left(B_1 \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^0 + B_2 \,\mathrm{d}{x} ^2\wedge \,\mathrm{d}{x} ^0 + B_3 \,\mathrm{d}{x} ^3\wedge \,\mathrm{d}{x} ^0 \right) \\
={}
& \star (\partial_1E_1+\partial_2E_2+\partial_3E_3) \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^2\wedge \,\mathrm{d}{x} ^3+\\
& \star \partial_0E_1 \,\mathrm{d}{x} ^0\wedge \,\mathrm{d}{x} ^2\wedge \,\mathrm{d}{x} ^3 +\\
& \star \partial_0E_2 \,\mathrm{d}{x} ^0\wedge \,\mathrm{d}{x} ^3\wedge \,\mathrm{d}{x} ^1 +\\
& \star \partial_0E_3 \,\mathrm{d}{x} ^0\wedge \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^2+\\
& \star (\partial_2B_1-\partial_1B_2) \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^2 \wedge \,\mathrm{d}{x} ^0+\\
& \star (\partial_3B_2-\partial_2B_3) \,\mathrm{d}{x} ^2\wedge \,\mathrm{d}{x} ^3 \wedge \,\mathrm{d}{x} ^0+\\
& \star (\partial_1B_3-\partial_3B_1) \,\mathrm{d}{x} ^3\wedge \,\mathrm{d}{x} ^1 \wedge \,\mathrm{d}{x} ^0\\
={}
& (\partial_1E_1+\partial_2E_2+\partial_3E_3) \,\mathrm{d}{x} ^0+\\
& (\partial_0 E_1 \,\mathrm{d}{x} ^1+\partial_0 E_2 \,\mathrm{d}{x} ^2+\partial_0 E_3 \,\mathrm{d}{x} ^3)+\\
& (\partial_2B_1-\partial_1B_2) \,\mathrm{d}{x} ^3+\\
& (\partial_3B_2-\partial_2B_3) \,\mathrm{d}{x} ^1+\\
& (\partial_1B_3-\partial_3B_1) \,\mathrm{d}{x} ^2~.
\end{aligned}
\end{equation}
由于 $J$ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{J}} =\rho\partial_0+j^1\partial_1+j^2\partial_2+j^3\partial_3$ 关于 Minkowski 度规的对偶，故
\begin{equation}
J = \rho \,\mathrm{d}{x} ^0 - j^1 \,\mathrm{d}{x} ^1 - j^2 \,\mathrm{d}{x} ^2 - j^3 \,\mathrm{d}{x} ^3~.
\end{equation}
比较各 $ \,\mathrm{d}{x} ^i$ 前的系数可得，$\star \,\mathrm{d}{\star} F = J$ 等价于
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\partial_1E_1+\partial_2E_2+\partial_3E_3 = \rho&\implies \nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} =\rho\\
\left.
\begin{aligned}
(\partial_3B_2-\partial_2B_3)+\partial_0E_1 ={}& -j^1\\
(\partial_1B_3-\partial_3B_1)+\partial_0E_2 ={}& -j^2\\
(\partial_2B_1-\partial_1B_2)+\partial_0E_3 ={}& -j^3
\end{aligned}
\right\}&
\implies -\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{B}} +\partial_0 \boldsymbol{\mathbf{E}} =- \boldsymbol{\mathbf{j}} ~.
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
因此，剩下两个方程可以写为
\begin{equation}
\star \,\mathrm{d}{\star} F = J~.
\end{equation}
1. ^ 电场外积一个 $ \,\mathrm{d}{x} ^0$ 是为了凑成合适的 2-形式。
2. ^ 该小节节选自《代数学基础》，故所用符号与上一小节有所不同。
3. ^ $\mathbb{R}^{s, t}$ 指配备了一个二次型的实线性空间 $\mathbb{R}^{s+t}$，且 $s, t$ 分别为这个二次型的正号、负号之数量。
4. ^ 这也反映出电动力学与经典力学不适配，应使用相对论时空观。
5. ^ 就像量子力学里一样，虽然有两个互为对偶的空间（左矢空间和右矢空间），但它们都是量子态的表示空间，同一个态有左矢和右矢两种表示。
[1] ^ John Baez, Javier P. Muniain. Gauge Fields, Knots and Gravity, Series on Knots and Everthing-Vol. 4, World Scientific press. ISBN-13: 978-981-02-2034-1.