贡献者： addis
定理 1
1令 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 为无散场，即
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{F}} = 0~.
\end{equation}
则 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 总能表示为另一个矢量场 $ \boldsymbol{\mathbf{G}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 的旋度，即
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{G}} ~.
\end{equation}
且 $ \boldsymbol{\mathbf{G}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 可以通过以下公式计算：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{G}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{4\pi}\int \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \boldsymbol\times \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} \,\mathrm{d}{V'} ~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{G}} $ 通常被称为
矢势（vector potential），$ \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 分别是坐标原点指向三维直角坐标 $(x, y, z)$ 和 $(x', y', z')$ 的位置矢量，$ \boldsymbol{\mathbf{R}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '$，$R = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{R}} \right\rvert $，体积分 $\int \,\mathrm{d}{V'} = \int \,\mathrm{d}{x'} \,\mathrm{d}{y'} \,\mathrm{d}{z'} $ 的区域是空间中 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 不为零的区域，$ \boldsymbol\times $ 表示
矢量叉乘。
推论 1
$ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 是无散场的充分必要条件是它可以表示为另一个矢量场的旋度 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{G}} $。
证明：定理 1 提供了充分性。必要性：我们知道 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} G) \equiv 0$。证毕。
定理 1 在电动力学中有两个重要的应用：一个是证明毕奥—萨伐尔定律满足安培环路定律，另一个是证明磁矢势 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 必定存在（因为磁场是无散场）。
推论 2
在定理 1 中，给 $ \boldsymbol{\mathbf{G}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 加上任意一个无旋场 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$（满足 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{H}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $），也能使式 2 成立。通过这种方法可以得到式 2 中所有可能的 $ \boldsymbol{\mathbf{G}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$。
证明：第一句话证明显然。第二句话：若 $ \boldsymbol{\mathbf{G}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{G}} '$ 同时满足式 2 ，那么相减得到 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\mathbf{G}} ' - \boldsymbol{\mathbf{G}} ) = \boldsymbol{\mathbf{0}} $。所以二者之差只能是无旋场。证毕。
注意 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 也可以表示为任意标量函数 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 的梯度 $ \boldsymbol\nabla V$。
我们可以认为式 3 是旋度运算的逆运算，这可以类比不定积分是求导的逆运算。而无旋场 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 可以类比不定积分中的任意常数。散度也有类似的逆运算。
定理 2
令 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 为无散场，则式 3 得到的 $ \boldsymbol{\mathbf{G}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 仍然是一个无散场。
显然，给 $ \boldsymbol{\mathbf{G}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 加上一个任意的无散场 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 后仍然是一个无散场。若需要满足式 2 ，则 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 必须也是无旋的，即 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 是调和场。
我们已经知道一个矢量场无论求几次旋度，都一直是无散场。而这个定理告诉我们任意无散场无论求几次 “逆旋度” 也都可以是无散场。
1. 证明定理 1
我们只需要证明式 3 右边第一项求旋度等于 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $，使用式 6 （展开的四项中对 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 微分的两项为零，因为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 的函数）：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{G}} &= \frac{1}{4\pi}\int \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \left( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\times \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} \right) \,\mathrm{d}{V'} \\
&= \frac{1}{4\pi}\int \boldsymbol{\mathbf{F}} \left( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} \right) \,\mathrm{d}{V'} - \frac{1}{4\pi}\int( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} \,\mathrm{d}{V'} ~,
\end{aligned}
\end{equation}
其中第一个等号是因为 “对一个变量积分” 再 “对另一个变量求导” 这两个操作可以交换。
先来证明上式第二项为零：被积函数中的 $x$ 分量为（$ \boldsymbol\nabla '$ 意味着对 $x', y', z'$ 求偏导，另外注意 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 的函数）
\begin{equation}
\begin{aligned}
( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \frac{x' - x}{ \left\lvert x'-x \right\rvert ^3} &= \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \left( \boldsymbol\nabla \frac{x' - x}{ \left\lvert x'-x \right\rvert ^3} \right) = - \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \left( \boldsymbol\nabla ' \frac{x' - x}{ \left\lvert x'-x \right\rvert ^3} \right) \\
&= - \boldsymbol\nabla ' \boldsymbol\cdot \left( \boldsymbol{\mathbf{F}} \frac{x' - x}{ \left\lvert x'-x \right\rvert ^3} \right) + ( \boldsymbol\nabla ' \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{F}} ) \frac{x' - x}{ \left\lvert x'-x \right\rvert ^3}~,
\end{aligned}
\end{equation}
这里使用了
式 3 。由于 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')$ 是无散场，最后一项为零。$y, z$ 分量同理。对上式做体积分得（使用散度定理
式 13 ）
\begin{equation}
- \int \boldsymbol\nabla ' \boldsymbol\cdot \left( \boldsymbol{\mathbf{F}} \frac{x' - x}{ \left\lvert x'-x \right\rvert ^3} \right) \,\mathrm{d}{V'} = -\oint \boldsymbol{\mathbf{F}} \frac{x' - x}{ \left\lvert x'-x \right\rvert ^3} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } ~,
\end{equation}
积分曲面是体积分区域的边界曲面。由于我们假设 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 只有在体积分内部（不包括边界）不为零，所以该式为零。
再来看式 4 右边第一项，有（式 5 ）
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} = 4\pi \delta^3( \boldsymbol{\mathbf{R}} )~.
\end{equation}
代入得
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{G}} = \int \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \delta^3( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \,\mathrm{d}{V'} = \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~,
\end{equation}
证毕。
2. 证明定理 2
使用式 4 ，有
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{F}} = \frac{1}{4\pi} \int \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \left( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\times \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} \right) \,\mathrm{d}{V'} \\
&= \frac{1}{4\pi} \int \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} ) \,\mathrm{d}{V'} - \frac{1}{4\pi} \int \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \left( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} \right) \,\mathrm{d}{V'} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
注意 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 的函数而不是 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的函数，所以第一项中 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $。另外由于 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\mathbf{R}} /R^3) = \boldsymbol{\mathbf{0}} $，上式恒为零。证毕。
1. ^ 参考 [1] 233 页。
[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed