双曲线（高中）

贡献者：欄、停敘; addis

本文处于草稿阶段。

预备知识　解析几何，圆，椭圆，复数

　　在发电厂中，有一种高大耸立的冷却装置，其外形类似一个中间收紧、两端张开的沙漏。这种造型并非出于美观考虑，而是源于精巧的工程设计：它不仅能有效抵御强风、节省材料，还能提升散热效率。工程师们发现，这一形状可以通过某种特定的曲线绕一条轴旋转而成。在数学中，这类曲线早已被深入研究，其图像由两条彼此对称、互不相交的分支组成，虽然共享同一个坐标原点，但各自无限延伸，永不相遇。这种曲线被称为 “双曲线”。

　　许多读者最早接触 “双曲线” 这一术语，往往是在初中阶段学习反比例函数时。当时一定听到过这样一句话：“反比例函数的图像是双曲线。” 彼时对双曲线的理解可能还很模糊，仅仅认为它是 “两根”“曲线”，所以叫 “双曲线”，至于更深入的结构特征，老师不会说，学生自然也不会问。

　　既然反比例函数的图像是双曲线，那么读者也许还记得，双曲线的一个重要几何特性是它具有渐近线。尽管高中阶段对渐近线的讲解较为有限，但这一概念在双曲线中却具有核心意义：双曲线的两个分支会无限接近各自的渐近线，却始终不会与之相交。本文在介绍双曲线的过程中，将进一步探讨其与渐近线之间的关系，以拓展对这一曲线的理解和认识。

1. “反比例函数的图像是双曲线”

　　如前面所说，“反比例函数的图像是双曲线”。既然双曲线是比较陌生的概念，下面就从熟悉的反比例函数入手，来仔细研究一下这件事。

例 1　求反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图像逆时针旋转 $45^{\circ}$ 后的表达式。

　　根据图像旋转的规律，将 $y = \frac{1}{x}$ 逆时针旋转 $45^{\circ}$ ，即 $θ = - \frac{π}{4}$ 。

\begin{matrix} (1) & {\begin{cases} X_{0} & = X_{1} \cos (- \frac{π}{4}) + Y_{1} \sin (- \frac{π}{4}) \\ Y_{0} & = Y_{1} \cos (- \frac{π}{4}) - X_{1} \sin (- \frac{π}{4}) \end{cases} ⟹ {\begin{cases} X_{0} & = \frac{1}{\sqrt{2}} (X_{1} - Y_{1}) \\ Y_{0} & = \frac{1}{\sqrt{2}} (Y_{1} + X_{1}) \end{cases} . \end{matrix}

将式 1 代入

x y = 1

有：

\begin{matrix} (2) & \frac{1}{\sqrt{2}} (X_{1} - Y_{1}) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} (Y_{1} + X_{1}) = 1 ⟹ \frac{X_{1}^{2}}{2} - \frac{Y_{1}^{2}}{2} = 1 . \end{matrix}

即旋转后的方程是：

\begin{matrix} (3) & \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1 . \end{matrix}

未完成：旋转图像

　　由于旋转变换不会改变图形的形状，因此，原本反比例函数图像的两条渐近线—— $x$ 轴和 $y$ 轴，在经过旋转后，会变为 $y = \pm x$ 。换句话说，旋转后的图像虽然向两个方向无限延伸，却始终不会越过 $y = \pm x$ 这两条直线所构成的 “边界”。

　　再来看式 3 ，这个式子的形式可能会让人感到熟悉。它与半径为 $\sqrt{2}$ 的圆方程极为相似，唯一的差别在于 $y^{2}$ 前的符号不同。这个细微的差异不禁让人联想到椭圆：椭圆的方程与标准圆的方程之间，同样只是系数上的区别。然而，双曲线的图像与圆或椭圆在外形上差别如此之大，甚至都不是封闭曲线，它们之间会存在什么联系呢？

2. 双曲线的几何定义

　　在研究椭圆时曾提到，若从圆的定义出发，尝试进行推广，就需要改变原有定义的表达方式。对 $| O_{1} P | = | O_{2} P | = r$ 。其中第二个等号可以被 “打开” 为垂直平分线的集合，而第一个等号打开时，则将 $| O_{1} P | = r, | O_{2} P | = r$ 作为初始条件，而不要求两者始终相等。若将两个距离的和固定，即 $| O_{1} P | + | O_{2} P | = m$ ，便得到了椭圆。那么，如果考虑的是两点间距离的差，即 $| O_{1} P | - | O_{2} P | = 0$ ，这看似回到了 $| O_{1} P | = | O_{2} P |$ 的情形，但如果进一步类比椭圆的定义，将这个差固定为一个非零常数 $m$ ，即 $| | O_{1} P | - | O_{2} P | | = m$ 将会得到什么样的图形？

例 2　对两定点 $F_{1} (c, 0)$ 和 $F_{2} (- c, 0), (c > 0)$ ，若点 $P$ 满足 $| P F_{1} | - | P F_{2} | = m, (0 < m < 2 c)$ ，求 $P$ 方程。

　　解：

　　设椭圆上的任意点为 $P (x, y)$ ，根据题意有：

\begin{matrix} (4) & \sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}} - \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}} = m . \end{matrix}

移项后，两边平方有：

\begin{matrix} (5) & (x + c)^{2} + y^{2} = m^{2} + 2 m \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}} + (x - c)^{2} + y^{2} . \end{matrix}

打开整理有：

\begin{matrix} (6) & 2 m \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}} = 4 c x - m^{2} . \end{matrix}

两边平方，打开有：

\begin{matrix} (7) & 4 m^{2} (x^{2} - 2 c x + c^{2}) + 4 m^{2} y^{2} = m^{4} - 4 m^{2} \cdot 2 c x + 16 c^{2} x^{2} . \end{matrix}

整理后得到：

\begin{matrix} (8) & 4 (m^{2} - 4 c^{2}) x^{2} + 4 m^{2} y^{2} = m^{2} (m^{2} - 4 c^{2}) . \end{matrix}

两侧同时除以

(m^{2} - 4 c^{2}) m^{2}

后得到：

\begin{matrix} (9) & \frac{x^{2}}{{(\frac{m}{2})}^{2}} - \frac{y^{2}}{c^{2} - {(\frac{m}{2})}^{2}} = 1 . \end{matrix}

由于

2 c > m > 0

，也就是

c^{2} - {(\frac{m}{2})}^{2} > 0

。

　　关于例 1 有几点需要特别注意：

虽然题目将不变量由椭圆中的 “距离和” 变为了 “距离差”，但对比椭圆的推导过程可以发现，推导的过程和从式 7 开始的结果其实完全一致。唯一的区别在于参数大小关系的变化：原本椭圆中为 $m > 2 c$ ，而在这里变为 $m < 2 c$ 。为了使分母保持正值，这一变化最终导致式 9 与椭圆的推导结果在形式上有所差异。
题目中隐含了一个默认条件，即 $| P F_{1} | > | P F_{2} |$ ，这使得最终得到的表达式只对应图像的右半部分，即 $x > 0$ 的区域。如果将条件改为 $| | P F_{1} | - | P F_{2} | | = m$ ，其中 $0 < m < 2 c$ ，则会对应完整的式 9 表达式，图像也将呈现左右对称的完整双曲线。

　　可以看到，推导得到的式 9 与式 3 在形式上完全一致，这正是 “双曲线” 的标准代数表达式。而题目所给出的，正是双曲线的几何定义，也被称为双曲线的第一定义。

定义 1　双曲线的几何定义

　　在平面上，所有满足到两个定点 $F_{1}$ 与 $F_{2}$ 的距离之差的绝对值为常数 $2 a$ 的点 $P$ 的轨迹，构成一个几何图形，称为双曲线（hyperbola）。即，对于双曲线上的任意一点 $P$ ，都有：

\begin{matrix} (10) & | | P F_{1} | - | P F_{2} | | = 2 a, (2 a < | F_{1} F_{2} |) . \end{matrix}

其中，

F_{1}

和

F_{2}

被称为双曲线的两个焦点（focus），两焦点之间的距离

| F_{1} F_{2} |

称为椭圆的焦距（focal distance），记作

2 c

，其中

c

被称为半焦距（semi-focal distance），也称为双曲线的线性离心率（linear eccentricity）。

　　此外，从例 1 中还可以进一步得到以下结论：

若将两个定点设为 $F_{1} (0, - c)$ 和 $F_{2} (0, c)$ ，其中 $c > 0$ ，相当于将原来的 $x$ 轴和 $y$ 轴互换，得到的表达式为：
$\begin{matrix} (11) & \frac{y^{2}}{{(\frac{m}{2})}^{2}} - \frac{x^{2}}{c^{2} - {(\frac{m}{2})}^{2}} = 1 . \end{matrix}$
与椭圆不同的是，这里不仅分母位置发生了变化，符号也要随之调整。
对于式 9 ，当令 $y = 0$ 时，得到 $x$ 轴上的两个交点 $x = \pm \frac{m}{2}$ ，而当令 $x = 0$ 时，方程在实数范围内无解，但在复数范围内的解为： $y = \pm i \sqrt{c^{2} - {(\frac{m}{2})}^{2}}$ 。这一情况与椭圆存在显著区别：标准椭圆图像与坐标轴有四个交点，而该双曲线仅与 $x$ 轴相交于两点，与 $y$ 轴无实数交点。

　　为了便于记录，同时与椭圆的表示方式统一，规定符号为正的参数记作 $a^{2}$ ，符号为负的参数分母记作 $b^{2}$ 。需要注意的是，这里 $a$ 与 $b$ 的定义与椭圆中的选取略有不同，并未要求二者的大小关系。根据这一约定，有：

\begin{matrix} (12) & {(\frac{m}{2})}^{2} = a^{2} c^{2} - {(\frac{m}{2})}^{2} = b^{2} . \end{matrix}

整理后可得：

\begin{matrix} (13) & m = 2 a a^{2} + b^{2} = c^{2} . \end{matrix}

　　是的，熟悉的平方和形式再次出现了，不过这一次，参数的位置发生了变化，这一点需要特别注意。

　　结合前面对实解与虚解的讨论，这里也引入 “实轴（transverse axis）” 与 “虚轴（conjugate axis）” 的概念¹。双曲线与坐标轴的交点称为顶点（vertex），连接两个顶点的线段称为实轴（transverse axis），长度为 $2 a$ ，其中 $a$ 被称为半实轴（semi-transverse axis）。就像椭圆的焦点始终位于长轴上一样，双曲线的焦点也始终位于实轴上。

　　将复数解中虚部所对应的位置标在另一条坐标轴上，得到虚顶点（co-vertex），这两个虚顶点之间的连线称为虚轴（conjugate axis），长度为 $2 b$ ，其中 $b$ 被称为半虚轴（semi-conjugate axis）。

　　许多学生在学习至此时常感到疑惑：既然是 “虚” 的，为什么还要在图像中标出？虚轴到底有什么意义？事实上，这些虚轴和虚顶点在复变函数的理论中具有重要作用。当函数的定义域拓展至复数范围时，它们对应的图像结构就会真实展现出来。不过由于高中阶段不涉及复变函数，这里仅作简单介绍，以满足读者的好奇心。

图 1：复数域下的双曲线

3. 双曲线的方程

　　从式 9 和式 11 下手，整理代换后可以得到双曲线的标准方程：

定理 1　双曲线的标准方程

实轴在 $x$ 轴上，虚轴在 $y$ 轴上的双曲线方程为：
$\begin{matrix} (14) & \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 . \end{matrix}$
实轴在 $y$ 轴上，虚轴在 $x$ 轴上的双曲线方程为：
$\begin{matrix} (15) & \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{x^{2}}{a^{2}} = 1 . \end{matrix}$

　　大多数情况都会认为双曲线是开放的或者说不封闭的，不过转换一下视角，想象一下，当视角来到无穷远处，如果把它们两支相互对称的地方连起来，似乎就形成了一个封闭的环，只不过这个环太大了。不知道你看到双曲线时是否会有这样的想象，他们要是能连起来就太好了。其实，在射影几何的视角下，它们正是在无穷远处相交。而这也带来了非常重要的视角。

定理 2　双曲线的参数方程

4. 渐近线

图 2：双曲线的渐近线

　　 渐近线（asymptotes）

　　当 $x, y$ 都无穷大时，式 14 中的 $1$ 可以忽略不计，有 $y / x = \pm b / a$ ，渐近线与 $x$ 轴夹角为

\begin{matrix} (16) & θ_{0} = \arctan (b / a) . \end{matrix}

两条渐近线到两个焦点的距离都为

\begin{matrix} (17) & c \sin θ_{0} = c \cdot b / c = b . \end{matrix}

　　事实上这么推导渐近线并不严谨，在学习了高数的相关内容（见 “泰勒展开”）后，由式 14 得

\begin{matrix} (18) & y = \frac{b x}{a} \sqrt{1 - \frac{a^{2}}{x^{2}}} . \end{matrix}

把根号部分关于

a^{2} / x^{2}

进行泰勒展开，有

\begin{matrix} (19) & y = \frac{b}{a} x - \frac{a b}{2 x} + O (\frac{1}{x^{3}}) . \end{matrix}

所以当

x \to \infty

时，就有渐进线

y = b x / a

。之所以要这样做，是为了防止式 19 右边出现常数项。如果存在常数项

λ

，那么双曲线的渐近线就是

y = b x / a + λ

了。

5. 双曲线的性质

　　面积

1. ^ 注意区分这里与复平面的 “实轴” 和 “虚轴” 的区别。

双曲线（高中）

1. “反比例函数的图像是双曲线”

例 1 求反比例函数 y=1x 的图像逆时针旋转 45∘ 后的表达式。

2. 双曲线的几何定义

例 2 对两定点 F1(c,0) 和 F2(−c,0),(c>0)，若点 P 满足 |PF1|−|PF2|=m,(0<m<2c)，求 P 方程。

定义 1 双曲线的几何定义