泰勒展开（简明微积分）

                     

贡献者： addis; DTSIo; Giacomo

　　¹若函数 $f$ 在开区间 $I$ 内可以求任意阶的导数（例如多项式，幂函数，三角函数，指数函数，对数函数等），那么这个函数可以用多项式近似，且在某种意义下，总项数 $N$ 越多，近似得越精确。确切地说，对于任何 $x_0\in I$, 存在唯一一个数列 $\{c_n\}$, 使得对于任何正整数 $N$, 皆有（其中 $(x-x_0{)}^0$ 始终视为 $1$，即使 $x=x_0$）

每一个系数 $c_n$ 由函数在 $x_0$ 处的第 $n$ 阶导数求得 注意其中 0 的阶乘为 $0!=1$。另外由式 1 得，当 $x=x_0$ 时，函数值等于多项式值。当项数 $N$ 有限时，通常 $|x-x_0|$ 越小多项式就越接近函数。以上这种把函数展开成多项式的方法就叫泰勒展开（Taylor expansion），得到的多项式叫做泰勒级数（Taylor series）。我们先来看一个例子：

1. 收敛半径

　　 我们把形如 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(x-x_0{)}^n$ 的表达式叫做幂级数（power series）。泰勒展开就是在用幂级数表示函数。如果某幂级数收敛的点不止 $x_0$ 一点，那么必定存在一个收敛半径（radius of convergence） $0<r<1$，使得当 $|x-x_0|<r$ 时级数必定收敛，而 $|x-x_0|>r$ 是必定发散（不收敛）。

　　 所以在进行泰勒展开时，如果函数在除了若干发散点²外都无穷阶可导，令离 $x_0$ 最近的发散点为 $a$，那么 $f(x)$ 关于 $x_0$ 泰勒展开后，幂级数的收敛半径就是 $r=|a-x_0|$。

　　 例如在式 7 到式 9 中，函数的发散点距离原点都是 1，所以幂级数收敛半径为 1，所以即使在 $x_0$ 的另一侧 $f(x)$ 处处无穷可导，仍然不能取 $\left|x\right|>1$。

2. 幼稚的推导

　　 这里给出一个比较直观的对比系数推导方法，可能对初学者有一定启发或者帮助记忆。但以后会看到这是不严谨的。

　　 我们假设当项数 $N\to \mathrm{\infty }$ 时，存在唯一的多项式在某区间内处处趋于无穷可导函数 $f(x)$，即

首先代入 $x=x_0$，可得第一个系数 $c_0=f(x_0)$。现在我们对上式两边在 $x_0$ 处求导，得 如果对式 10 两边在 $x_0$ 处求二阶导数，得 即 $c_2=f^{″}(x_0)/2!$。 以此类推，如果对式 10 两边在 $x_0$ 处求 $m$ 阶导数得 所以系数公式为

　　 泰勒展开的存在说明了一些函数（称为解析函数）具有这样的性质：任何一点的性质都能决定完整的函数曲线，这可以类比生物中用一个细胞克隆出一个完整生物体。

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1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。
2. ^ 如式 7 中的 $x=-1$，式 8 和式 9 中的 $x=\mp 1$