贡献者： addis; DTSIo; Giacomo
预备知识 阶乘
，高阶导数
，分部积分法
，幂级数（简明微积分）
1若函数 $f$ 在开区间 $I$ 内可以求任意阶的导数（例如多项式，幂函数，三角函数，指数函数，对数函数等），那么这个函数可以用多项式近似，且在某种意义下，总项数 $N$ 越多，近似得越精确。确切地说，对于任何 $x_0\in I$, 存在唯一一个数列 $\{c_n\}$, 使得对于任何正整数 $N$, 皆有（其中 $(x-x_0)^0$ 始终视为 $1$，即使 $x = x_0$）
\begin{equation}
f(x) = \sum_{n = 0}^N c_n (x - x_0)^n + \mathcal{O}\left(|x-x_0|^{N+1} \right) ~.
\end{equation}
每一个系数 $c_n$ 由函数在 $x_0$ 处的第 $n$ 阶导数求得
\begin{equation}
c_n = \frac{1}{n!} f^{(n)}(x_0)~.
\end{equation}
注意其中 0 的阶乘为 $0! = 1$。另外由
式 1 得，当 $x=x_0$ 时，函数值等于多项式值。当项数 $N$ 有限时，通常 $ \left\lvert x-x_0 \right\rvert $ 越小多项式就越接近函数。以上这种把函数展开成多项式的方法就叫
泰勒展开（Taylor expansion），得到的多项式叫做
泰勒级数（Taylor series）。我们先来看一个例子：
例 1 正弦函数
我们在 $x_0=0$ 处展开 $\sin x$，由式 1 和式 2 得
\begin{equation}
\sin x = x - \frac{1}{3!}{x^3} + \frac{1}{5!}{x^5} - \frac{1}{7!} x^7 + \ldots ~
\end{equation}
取不同的项数 $N$ 求和，画图如
图 1 。可见随着项数增加，多项式慢慢趋近正弦函数。
图 1：$\sin x$ 在原点处的泰勒展开的前 $N$ 项求和。容易看出，求和的项数越多，多项式（橙）与 $\sin x$（蓝）吻合得越好。
习题 1 一些常见函数关于原点的泰勒展开
关于原点的泰勒展开又叫麦克劳林展开，请验证以下的麦克劳林展开：
\begin{equation}
\sin x = x - \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{5!} x^5 - \frac{1}{7!} x^7 \ldots
\qquad (x \in \mathbb R)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\cos x = 1 - \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{4!} x^4 -\frac{1}{6!} x^6 \ldots
\qquad (x \in \mathbb R)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\mathrm{e} ^x =1 + x + \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{3!} x^3 \ldots
\qquad (x \in \mathbb R)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\ln\left(1+x\right) = x - \frac12 x^2 + \frac13 x^3 - \frac14 x^4 \ldots
\qquad (-1 < x < 1)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{1}{1 \pm x} = 1 \mp x + x^2 \mp x^3 + x^4 \ldots
\qquad (-1 < x < 1)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\sqrt{1\pm x} = 1 \pm \frac12 x - \frac18 x^2 \pm \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128}x^4 \ldots
\qquad (-1 < x < 1)~.
\end{equation}
1. 收敛半径
我们把形如 $\sum_{n=0}^\infty c_n (x-x_0)^n$ 的表达式叫做幂级数（power series）。泰勒展开就是在用幂级数表示函数。如果某幂级数收敛的点不止 $x_0$ 一点，那么必定存在一个收敛半径（radius of convergence） $0 < r < 1$，使得当 $ \left\lvert x-x_0 \right\rvert < r$ 时级数必定收敛，而 $ \left\lvert x-x_0 \right\rvert > r$ 是必定发散（不收敛）。
所以在进行泰勒展开时，如果函数在除了若干发散点2外都无穷阶可导，令离 $x_0$ 最近的发散点为 $a$，那么 $f(x)$ 关于 $x_0$ 泰勒展开后，幂级数的收敛半径就是 $r = \left\lvert a - x_0 \right\rvert $。
例如在式 7 到式 9 中，函数的发散点距离原点都是 1，所以幂级数收敛半径为 1，所以即使在 $x_0$ 的另一侧 $f(x)$ 处处无穷可导，仍然不能取 $ \left\lvert x \right\rvert > 1$。
2. 幼稚的推导
这里给出一个比较直观的对比系数推导方法，可能对初学者有一定启发或者帮助记忆。但以后会看到这是不严谨的。
我们假设当项数 $N \to \infty$ 时，存在唯一的多项式在某区间内处处趋于无穷可导函数 $f(x)$，即
\begin{equation}
f(x) = \sum_{n = 0}^\infty c_n (x - x_0)^n~.
\end{equation}
首先代入 $x = x_0$，可得第一个系数 $c_0 = f(x_0)$。现在我们对上式两边在 $x_0$ 处求导，得
\begin{equation}
f'(x_0) = c_1 + \left. \sum_{n = 2}^\infty n c_n (x - x_0)^{n - 1} \right\rvert _{x = x_0} = c_1~,
\end{equation}
如果对
式 10 两边在 $x_0$ 处求二阶导数，得
\begin{equation}
f''(x_0) = 2 c_2 + \left. \sum_{n = 3}^\infty n(n - 1) c_n (x - x_0)^{n - 2} \right\rvert _{x = x_0} = 2 c_2~,
\end{equation}
即 $c_2 = f''(x_0)/2!$。 以此类推，如果对
式 10 两边在 $x_0$ 处求 $m$ 阶导数得
\begin{equation}
f^{(m)}(x_0) = m! c_m + \left. \sum_{n = m + 1}^\infty \frac{n!}{(n - m)!} c_n (x - x_0)^{n - m} \right\rvert _{x = x_0} = m! c_m~.
\end{equation}
所以系数公式为
\begin{equation}
{c_m} = \frac{1}{m!} f^{(m)}(x_0)~.
\end{equation}
泰勒展开的存在说明了一些函数（称为解析函数）具有这样的性质：任何一点的性质都能决定完整的函数曲线，这可以类比生物中用一个细胞克隆出一个完整生物体。
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。
2. ^ 如式 7 中的 $x = -1$，式 8 和式 9 中的 $x = \mp 1$
