几何与解析几何初步(高中)

                     

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预备知识 数字与函数回顾

   本文主要介绍一些在初中阶段已经学习过,并在高中阶段仍然具有重要作用的几何知识。这些知识不仅构成了高中几何的基础,也在解析几何、三角函数、立体几何等多个数学领域中发挥关键作用。理解和掌握这些概念,有助于更高效地解决高中数学中的几何问题,并为进一步学习提供坚实的基础。

1. 几何基础

基础的几何元素

   几何中最基本的用于表示位置的元素称为点(point)。尽管在人们的直观印象中,点似乎是一个小的黑色实心圆,但在数学中,点是一种没有大小的抽象概念,并不对应任何具体的实体,仅用于标示位置。通常用大写字母 A,B,C 等表示。

   由无数个点按照一定顺序排列而成、没有宽度的理想化几何对象称为线(line)。若一条线上的所有点沿固定方向向两侧无限延伸,则称为直线(straight line)。在直线上引入端点截取后,可以得到以下两种特殊情况:

   线段的度量(measurement)值称为长度(length),它是欧氏几何中最基本的几何量之一,无法通过更基本的概念加以定义。长度可用于计算两个点之间的距离(distance)1,并在比例关系等计算中发挥作用。将线段平分为两段等长部分的点称为其中点(midpoint)

   由两条射线以同一点为起点构成的几何元素称为角(angle)。该起点称为顶点(vertex),两条射线分别称为角的边(sides)

   角的度量值称为角度(measure of angle)。角的大小可以用度(degree)分(minute)秒(second)表示,例如 303456"。这种表示角大小的单位制称为角度制(Degree System)2。角度制规定,周角(full angle)被均分为 360 份,其中每一份称为 1

   根据角度的大小,可以将角分类如下:

   对于大于 180 的角,一般会采用其相对于周角另一侧的角度进行描述,以简化表达。

几何元素间的关系

   在几何中,不同的元素之间存在特定的关系,这些关系决定了它们的相对位置和相互作用方式。以下是几种常见的几何关系。

   如果两条直线相交形成 90 角,则称它们垂直(perpendicular)3,记作 ABCD,表示直线 AB 与直线 CD 相互垂直。如果两条直线位于同一平面内,并且无论如何延长都不会相交,则称它们平行(parallel),记作 AB//CDABCD

   一个点到一条直线的距离,指的是该点与直线上最近点之间的长度。具体来说,从该点作一条与该直线相交并成 90 角的直线,称作垂线(perpendicular line),交点称为垂足(perpendicular foot)。点到直线的距离即为该点与垂足之间的线段长度。

   对于一条线段,经过该线段的中点的垂线,称作该线段的垂直平分线(perpendicular bisector)。任何位于垂直平分线上的点,到线段两端点的距离相等。反之,若某个点到线段两端点的距离相等,则该点一定在这条线段的垂直平分线上。

   从角的顶点出发,将该角分成两个相等角的射线称作这个角的角平分线(angle bisector)。角平分线上任意一点到角的两边的距离相等,反之,若一个点到角的两边的距离相等,则它必定在该角的平分线上。

   若两个角的和等于 180,则称这两个角互补(supplementary angles);若两个角的和等于 90,则称它们互余(complementary angles)

平行公设

   欧几里得几何(Euclidean geometry),或简称欧氏几何,有一条著名的平行公设(Parallel Postulate),原始表述是:若一条直线与两条直线相交,并使得同侧内角之和小于 180,则这两条直线在该侧必相交。平行公设有多个等价的表达方式,其中包括:

   平行公设是欧几里得几何与非欧几何(non-Euclidean geometry)的核心区别。若改变平行公设,将会产生不同的几何体系,例如:

   尽管非欧几何在现代数学和物理学中具有深远影响,但高中阶段所接触的几何仍然基于欧几里得几何,此处仅作简要介绍,以帮助理解几何体系的多样性。

2. 三角形

   三角形(triangle)是最简单的平面几何形状,它由三条线段首尾相接围成,其基本性质构成了欧几里得几何的重要部分。由于高中阶段研究的都是欧几里得几何,根据前面提及的平行公设的等价的表达方式,任意三角形的内角和等于 180。因此,三角形的内角不会大于 180,同时至多有一个内角大于等于 90

基础概念

   从三角形的一个顶点出发,向其对边所在直线作的垂线称为三角形的高(height)。高所对的边称作这个高所对的底(base)。由此得到的三角形的面积公式为:

(1)S=12hb .
其中 h 为高,b 为对应的底。三条高所在的直线交于一点,称作垂心(orthocenter)。垂足可能在边上、与顶点重合或在边的延长线上,所以高可能位于三角形内部、与边重合或在外部。对应地,垂心在锐角三角形内部,直角三角形的直角顶点处,钝角三角形外部。

   顶点与对边中点的连线称为中线(median)。三角形的三条中线交于一点,称作重心(centroid,或质心),重心将每条中线分为 2:1 的比例(靠近顶点的一段较长)。

   若三角形至少有两条边相等,则称为等腰三角形(isosceles triangle)。相等的两边称为腰(legs),它们所夹的角称为顶角(vertex angle),其余两个角称为底角(base angles)。顶角所对的边称为底(base),底边上的高同时是顶角的平分线。在等腰三角形的基础上,若其中一个内角为 60,或两腰与底的长度相等,则该三角形为等边三角形(equilateral triangle),此时三角形的三条边相等,或三个角均为 60

三角形的关系

   两个三角形相似(similarity),意味着它们的对应角相等,对应边的长度成比例。这种关系可以类比于将一个三角形按某个比例放大或缩小——尽管大小发生了变化,但整体的形状保持不变。常见的相似判定方法包括:

   三角形的全等(congruence)是相似的特殊情况,此时对应边的比例系数为 1。这意味着,除了位置可能不同之外,它们的形状和大小完全相同,对应角相等,对应边的长度也完全相等。可以将其理解为,一个三角形可以通过平移、旋转或翻折与另一个完全重合。

直角三角形与三角函数

   一个包含直角的三角形称为直角三角形(right triangle)。在直角三角形中,每条边的命名与所考察的角 θ 相关:

定理 1 勾股定理

   在直角三角形中,三条边的长度满足勾股定理(Pythagorean Theorem),即两条直角边的平方和等于斜边的平方:

(2)a2+b2=c2 .
其中,ab 是直角三角形的两条直角边,c 是斜边。

   勾股定理既是直角三角形的必要条件,也是充分条件。勾股定理不仅描述了直角三角形的性质,还提供了一种判定三角形是否为直角三角形的方法。若已知三角形的三条边长,检验它们是否满足勾股定理,若成立,则该三角形必为直角三角形;反之,则一定不是直角三角形。

   在整数范围内,有一些满足勾股定理的边长组合,被称为勾股数(Pythagorean triple)。最常见的勾股数组合包括 (3,4,5)(5,12,13)(7,24,25) 等。他们都满足一个一般的公式:

(3)(m2n2,2mn,m2+n2),(m>n) .
它可以构造所有的原始勾股数(即最大公因数为 1 的勾股数)。之前给出的例子分分别对应 (m=2,n=1)(m=3,n=2) 以及 (m=4,n=3) 的情况。

   三角函数(Trigonometric Functions)描述了直角三角形中角度与边长之间的关系,是几何和数学分析中的核心概念。常见的三角函数包括正弦(sine)余弦(cosine)正切(tangent),分别记作 sinθcosθtanθ

   设直角三角形 ABC,其中角 C 为直角,设角 A 对应的对边、邻边和斜边分别为 |BC|,|AC|,|AB|,则角 A 的三角函数定义如下:

(4)sinA=|BC||AB|,cosA=|AC||AB|,tanA=|BC||AC| .

   三角函数的定义可以形象地理解为,在一定比例缩放下,直角三角形的形状保持不变,而三角函数值反映了角度和边长比例的稳定关系。这也是三角函数在几何测量、建筑设计、物理学等领域广泛应用的原因。下面给出一些常见的三角函数值。

表1:常见三角函数值
α 30 45 60
sinα 12 22 32
cosα 32 22 12
tanα 13 1 3

3. 圆

   圆(circle)是平面内与某个定点距离等于定值的所有点组成的图形。其中,该定点称为圆心(center),通常记作 O,并以圆心指代圆,称为圆 O。定值称为半径(radius),通常记作 r

   对于圆上任意不重合的两点 AB,有以下概念:

   在未特别说明的情况下,通常 AB 表示两点 AB 之间的劣弧。此时,两点 AB 可以唯一确定一条弦 AB,一条 AB 和一个圆心角 AOB。因此可以称他们三者对应,如:AB 称为弦 AB 所对应的弧,AOBAB 所对应的圆心角等5

   对于圆上任意不重合的三点 A,B,C,有以下概念:

   通过圆心的弦称为圆的直径(diameter),通常记作 d,满足:

(5)d=2r .
此时,所对弧称为半圆(semicircle),所对圆心角为平角,即 180,所对圆周角为直角,即 90。因此,由直径参与构成的圆内接三角形一定是直角三角形。

   圆的周长与直径之比是一个定值,其值等于数学常数 π,因此也称作圆周率8π 是数学中极为重要的常数,它是一个无理数,近似值为 π3.14159

   对半径为 r 圆有,其周长:

(6)C=πd=2πr .

   面积:

(7)S=πr2 .

4. 解析几何基础

   借助平面直角坐标系,几何形状可以通过数对来分析和研究,这一方式称为解析几何。在平面直角坐标系中,对点 A(x1,y1) 和点 B(x2,y2) 构成的线段 AB 有,AB 的长度 |AB|(或者说 A,B 之间的距离)为:

(8)d=(x2x1)2+(y2y1)2 .
线段中点 M 的坐标为:
(9)M(x1+x22,y1+y22) .

   下面给出的是常见的解析几何中使用的表达式:

定义 1 直线的斜截式

   斜率为 k 且在 y 轴上的截距为 b 的直线方程为:

(10)y=kx+b .

定义 2 直线的点斜式

   经过点 (x0,y0),且斜率为 k 点直线表达式为:

(11)yy0=k(xx0) .

   对于存在斜率的两条直线,设两个斜率分别为 k1,k2,则:

定义 3 直线的两点式

   已知直线上的两点 (x1,y1)(x2,y2) ,直线方程为:

(12)yy1y2y1=xx1x2x1 .

定义 4 圆的方程

   以点 (a,b) 为圆心,r 为半径的圆的方程为:

(13)(xa)2+(yb)2=r2 .


1. ^ 注意距离和长度的区别:长度是线段的性质,而距离是两个点之间的性质。尽管在此处二者的数值相等,但并不总是如此。
2. ^ 在角度制中,“角度” 既可指角的大小,也可指表示角大小的单位,分别类似于线段中的” 长度” 和” 米”。由于语言习惯,这两者通常都称为 “角度”。
3. ^ 这个概念在向量或更高维的数学里扩展为正交(orthogonal)
4. ^ 有的人分别称这两种为劣角和优角,以求和弧对应,但使用不广泛。劣角在英语中无对应词,优角对应的词为 “Reflex Angle”,直译是反射角,对应平面反射的情况。
5. ^ 如果有特殊情况,则不一一对应,一条弦对应两段弧,但每个弧仍对应一个圆心角。
6. ^ “所夹圆弧” 的意思是指,由 A,B 两点截得,且顶点 C 不在的圆弧。
7. ^ 这里介绍的外心、内心、旁心与之前提到的垂心和重心称作三角形的 “五心”。
8. ^ 这里并没有采用通常教材中的 “圆周长与直径之比定义为圆周率” 的表述。现代数学为了避免循环论证,采用其他方法定义 π,之后再得到 “圆的周长与直径之比是一个定值” 的结论。

                     

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