贡献者： addis
我们已经知道用焦点和准线如何定义椭圆，下面介绍另外三种。其中 “圆锥截面定义” 揭示了 “圆锥曲线” 一词的由来。
1. 用直角坐标方程定义椭圆
从椭圆的极坐标公式难以看出椭圆的对称性，另一种定义椭圆的方法是直接在直角坐标系中给出椭圆的方程
\begin{equation}
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1~.
\end{equation}
这相当于把一个单位圆（方程 $x^2 + y^2 = 1$）在 $x$ 轴和 $y$ 轴分别拉长了 $a$ 倍和 $b$ 倍。我们这里用焦点和准线的定义来推导出上式，以证明它们等价。我们不妨先以一个焦点为原点定义直角坐标系，且令 $x$ 轴指向另一个焦点，则有
\begin{equation}
r = \sqrt{x^2 + y^2}~, \qquad \cos\theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}~.
\end{equation}
代入椭圆的极坐标方程
式 1 得
\begin{equation}
\sqrt{x^2 + y^2} = p + ex~.
\end{equation}
两边平方并整理得
\begin{equation}
(1 - e^2) \left(x - \frac{ep}{1 - e^2} \right) ^2 + y^2 = \frac{p^2}{1 - e^2}~.
\end{equation}
由此可见，如果我们把椭圆左移 $ep/(1 - e^2)$，椭圆将具有
式 1 的形式。其中 $a$ 为
半长轴，$b$ 为
半短轴。这就是椭圆的第二种定义，即把单位圆沿两个垂直方向分别均匀拉长 $a$ 和 $b$。所以也可以表示为参数方程
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
&x(t) = a\cos t\\
&y(t) = b\sin t
\end{aligned}\right. \qquad
(a > b > 0)~,
\end{equation}
下面来看系数的关系。首先定义椭圆的焦距为焦点到椭圆中心的距离（即以上左移的距离）为
\begin{equation}
c = \frac{ep}{1 - e^2}~.
\end{equation}
和
式 1 对比系数得
\begin{equation}
a = \frac{p}{1 - e^2}~, \qquad b = \frac{p}{\sqrt {1 - e^2} }~.
\end{equation}
以上两式可以将椭圆的极坐标方程转为直角坐标方程。另外易证
\begin{equation}
a^2 = b^2 + c^2~.
\end{equation}
若要从直角坐标方程变回极坐标方程，将
式 6 式 7 逆转得
\begin{equation}
e = \frac{c}{a}~,\qquad
p = \frac{b^2}{a}~.
\end{equation}
2. 用焦点距离之和定义椭圆
椭圆的另一种定义是，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴 $2a$。现在我们来证明前两种定义下的椭圆满足这个条件。由直角坐标方程可知对称性，可在椭圆的两边做两条准线，令椭圆上任意一点到两焦点的距离分别为 $r_1$ 和 $r_2$，到两准线的距离分别为 $d_1$ 和 $d_2$，则有
\begin{equation}
e = \frac{r_1}{d_1} = \frac{r_2}{d_2} = \frac{r_1 + r_2}{d_1 + d_2}~,
\end{equation}
所以
\begin{equation}
r_1 + r_2 = e(d_1+d_2) = 2e(c + h) = 2\frac{c}{a} \left(c + \frac{b^2}{c} \right) = 2a~,
\end{equation}
证毕。
3. 用圆锥截面定义椭圆
椭圆之所以叫做圆锥曲线，是因为它们可以由平面截取圆锥面得到，详见 “圆锥曲线和圆锥”。